Gama esencial

En matemáticas , particularmente en teoría de la medida , el rango esencial , o el conjunto de valores esenciales , de una función es intuitivamente el rango "no despreciable" de la función: no cambia entre dos funciones que son iguales en casi todas partes . Una forma de pensar en el rango esencial de una función es el conjunto en el que se "concentra" el rango de la función.

Definicion formal

Sea un espacio de medida y sea un espacio topológico. Para cualquier mensurable , decimos que el rango esencial de significa el conjunto ${\displaystyle (X,{\cal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle ({\cal {A}},\sigma ({\cal {T}}))}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{y\in Y\mid 0<\mu (f^{-1}(U)){\text{ for all }}U\in {\cal {T}}{\text{ with }}y\in U\right\}.}$^{[1] : Ejemplo 0.A.5  [2] [3]}

De manera equivalente, donde es la medida de empuje hacia adelante sobre o hacia abajo y denota el soporte de ^[4] ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$ ${\displaystyle \sigma ({\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f_{*}\mu )}$ ${\displaystyle f_{*}\mu .}$

Valores esenciales

A veces utilizamos la frase " valor esencial de " para referirnos a un elemento del rango esencial de ^{[5] : Ejercicio 4.1.6  [6] : Ejemplo 7.1.11} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

Casos especiales de interés común

Y = C

Say está equipado con su topología habitual. Entonces el rango esencial de f está dado por ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\left\{z\in \mathbb {C} \mid {\text{for all}}\ \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}:0<\mu \{x\in X:|f(x)-z|<\varepsilon \}\right\}.}$^{[7] : Definición 4.36  [8] [9] : cf. Ejercicio 6.11}

En otras palabras: el rango esencial de una función de valores complejos es el conjunto de todos los números complejos z tales que la imagen inversa de cada ε-vecindad de z bajo f tiene medida positiva.

( Y , T ) es discreto

Say es discreto , es decir, es el conjunto potencia de , es decir, la topología discreta de Entonces el rango esencial de f es el conjunto de valores y en Y con medida estrictamente positiva : ${\displaystyle (Y,{\cal {T}})}$ ${\displaystyle {\cal {T}}={\cal {P}}(Y)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f_{*}\mu }$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\{y\in Y:0<\mu (f^{\text{pre}}\{y\})\}=\{y\in Y:0<(f_{*}\mu )\{y\}\}.}$^{[10] : Ejemplo 1.1.29  [11] [12]}

Propiedades

• El rango esencial de una función medible, al ser el soporte de una medida , siempre está cerrado.
• El rango esencial ess.im(f) de una función medible es siempre un subconjunto de . ${\displaystyle {\overline {\operatorname {im} (f)}}}$
• La imagen esencial no se puede utilizar para distinguir funciones que son iguales en casi todas partes: si se cumple - en casi todas partes , entonces . ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\operatorname {ess.im} (g)}$
• Estos dos hechos caracterizan la imagen esencial: Es el mayor conjunto contenido en las clausuras de para todos los g que son ae iguales a f: ${\displaystyle \operatorname {im} (g)}$

${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)=\bigcap _{f=g\,{\text{a.e.}}}{\overline {\operatorname {im} (g)}}}$.

• La gama esencial satisface . ${\displaystyle \forall A\subseteq X:f(A)\cap \operatorname {ess.im} (f)=\emptyset \implies \mu (A)=0}$
• Este hecho caracteriza a la imagen esencial: es el subconjunto cerrado más pequeño de con esta propiedad. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• El supremo esencial de una función valorada real es igual al supremo de su imagen esencial y el mínimo esencial es igual al mínimo de su rango esencial. En consecuencia, una función es esencialmente acotada si y sólo si su rango esencial está acotado.
• El rango esencial de una función esencialmente acotada f es igual al espectro donde f se considera como un elemento del álgebra C* . ${\displaystyle \sigma (f)}$ ${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$

Ejemplos

• Si es la medida cero, entonces la imagen esencial de todas las funciones mensurables está vacía. ${\displaystyle \mu }$
• Esto también ilustra que aunque el rango esencial de una función es un subconjunto del cierre del rango de esa función, no es necesario que se cumpla la igualdad de los dos conjuntos.
• Si es abierto, continuo y la medida de Lebesgue, entonces se cumple. Esto es válido de manera más general para todas las medidas de Borel que asignan medidas distintas de cero a cada conjunto abierto no vacío. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)={\overline {\operatorname {im} (f)}}}$

Extensión

La noción de rango esencial se puede extender al caso de , donde es un espacio métrico separable. Si y son variedades diferenciables de la misma dimensión, si VMO y si , entonces . ^[13] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\in }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {ess.im} (f)\neq Y}$ ${\displaystyle \deg f=0}$

Ver también

• Esencial supremo y esencial ínfimo
• medida
• espacio Lp^​

Referencias

1. Zimmer, Robert J. (1990). Resultados esenciales del análisis funcional . Prensa de la Universidad de Chicago. pag. 2.ISBN​ 0-226-98337-4.
2. Kuksin, Sergei ; Shirikyan, Armen (2012). Matemáticas de la turbulencia bidimensional . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 292.ISBN​ 978-1-107-02282-9.
3. Kon, Mark A. (1985). Distribuciones de probabilidad en mecánica estadística cuántica . Saltador. págs.74, 84. ISBN 3-540-15690-9.
4. Conductor, Bruce (7 de mayo de 2012). Herramientas de análisis con ejemplos (PDF) . pag. 327.Cf. Ejercicio 30.5.1.
5. Segal, Irving E .; Kunze, Ray A. (1978). Integrales y operadores (segunda edición revisada y ampliada). Saltador. pag. 106.ISBN​ 0-387-08323-5.
6. Bogachev, Vladimir I.; Smolyanov, Oleg G. (2020). Análisis Real y Funcional . Conferencias de Moscú. Saltador. pag. 283.ISBN​ 978-3-030-38219-3. ISSN  2522-0314.
7. Tejedor, Nik (2013). Teoría de la medida y análisis funcional . Científico mundial. pag. 142.ISBN​ 978-981-4508-56-8.
8. Bhatia, Rajendra (2009). Notas sobre análisis funcional . Agencia de libros Hindustan. pag. 149.ISBN​ 978-81-85931-89-0.
9. Folland, Gerald B. (1999). Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones . Wiley. pag. 187.ISBN​ 0-471-31716-0.
10. Cfr. Tao, Terence (2012). Temas de la teoría de matrices aleatorias . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 29.ISBN​ 978-0-8218-7430-1.
11. Cfr. Freedman, David (1971). Cadenas de Markov . Holden-Day. pag. 1.
12. Cfr. Chung, Kai Lai (1967). Cadenas de Markov con probabilidades de transición estacionarias . Saltador. pag. 135.
13. Brezis, Haïm; Nirenberg, Louis (septiembre de 1995). "Teoría de grados y BMO. Parte I: Colectores compactos sin límites". Selecta Matemática . 1 (2): 197–263. doi :10.1007/BF01671566.

• Walter Rudin (1974). Análisis real y complejo (2ª ed.). McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054234-1.