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Operador unitario

En el análisis funcional , un operador unitario es un operador sobreyectivo acotado en un espacio de Hilbert que preserva el producto interno . Los operadores unitarios suelen considerarse como operadores que operan en un espacio de Hilbert, pero la misma noción sirve para definir el concepto de isomorfismo entre espacios de Hilbert.

Definición

Definición 1. Un operador unitario es un operador lineal acotado U  : HH en un espacio de Hilbert H que satisface U * U = UU * = I , donde U * es el adjunto de U , y I  : HH es el operador identidad .

La condición más débil U * U = I define una isometría . La otra condición más débil, UU * = I , define una coisometría . Por lo tanto, un operador unitario es un operador lineal acotado que es a la vez una isometría y una coisometría [1] o, equivalentemente, una isometría sobreyectiva [2] .

Una definición equivalente es la siguiente:

Definición 2. Un operador unitario es un operador lineal acotado U  : HH en un espacio de Hilbert H para el que se cumple lo siguiente:

La noción de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert se captura si se permite que el dominio y el rango difieran en esta definición. Las isometrías preservan las secuencias de Cauchy ; por lo tanto , se preserva la propiedad de completitud de los espacios de Hilbert [3]

La siguiente definición, aparentemente más débil, también es equivalente:

Definición 3. Un operador unitario es un operador lineal acotado U  : HH en un espacio de Hilbert H para el cual se cumple lo siguiente:

Para ver que las definiciones 1 y 3 son equivalentes, observe que el hecho de que U conserve el producto interno implica que U es una isometría (por lo tanto, un operador lineal acotado ). El hecho de que U tenga un rango denso garantiza que tenga una inversa acotada U −1 . Es claro que U −1 = U * .

Por lo tanto, los operadores unitarios son simplemente automorfismos de los espacios de Hilbert, es decir, conservan la estructura (la estructura del espacio vectorial, el producto interno y, por lo tanto, la topología ) del espacio sobre el que actúan. El grupo de todos los operadores unitarios desde un espacio de Hilbert dado H hasta sí mismo se denomina a veces grupo de Hilbert de H , denotado Hilb( H ) o U ( H ) .

Ejemplos

Linealidad

El requisito de linealidad en la definición de un operador unitario se puede descartar sin cambiar el significado porque se puede derivar de la linealidad y la definición positiva del producto escalar :

De manera análoga obtenemos

Propiedades

Véase también

Notas al pie

  1. ^ Halmos 1982, secc. 127, página 69
  2. ^ Conway 1990, Proposición I.5.2
  3. ^ Conway 1990, Definición I.5.1
  4. ^ Romano 2008, pág. 238 §10
  5. ^ Doran y Belfi 1986, pág. 55

Referencias