Descomposición del espectro (análisis funcional)

Construction in functional analysis, useful to solve differential equations

El espectro de un operador lineal que opera en un espacio de Banach es un concepto fundamental del análisis funcional . El espectro consta de todos los escalares tales que el operador no tiene un inverso acotado . El espectro tiene una descomposición estándar en tres partes: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T-\lambda }$ ${\displaystyle X}$

• un espectro de puntos , que consta de los valores propios de ; ${\displaystyle T}$
• un espectro continuo , que consta de escalares que no son valores propios pero que forman el rango de un subconjunto denso adecuado del espacio; ${\displaystyle T-\lambda }$
• un espectro residual , que consta de todos los demás escalares del espectro.

Esta descomposición es relevante para el estudio de ecuaciones diferenciales y tiene aplicaciones en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería. Un ejemplo bien conocido de la mecánica cuántica es la explicación de las líneas espectrales discretas y la banda continua en la luz emitida por átomos de hidrógeno excitados .

Descomposición en espectro puntual, espectro continuo y espectro residual

Para operadores espaciales locales de Banach

Sea X un espacio de Banach , B ( X ) la familia de operadores acotados en X y T ∈ B ( X ) . Por definición , un número complejo λ está en el espectro de T , denotado σ ( T ), si T − λ no tiene un inverso en B ( X ).

Si T − λ es uno a uno y sobre , es decir, biyectiva , entonces su inversa está acotada; esto se deriva directamente del teorema de mapeo abierto del análisis funcional. Entonces, λ está en el espectro de T si y sólo si T − λ no es uno a uno o no es uno a uno. Se distinguen tres casos distintos:

1. T − λ no es inyectivo . Es decir, existen dos elementos distintos x , y en X tales que ( T − λ )( x ) = ( T − λ )( y ) . Entonces z = x − y es un vector distinto de cero tal que T ( z ) = λz . En otras palabras, λ es un valor propio de T en el sentido del álgebra lineal . En este caso, se dice que λ está en el espectro puntual de T , denotado σ _p ( T ) .
2. T − λ es inyectivo y su rango es un subconjunto denso R de X ; pero no es la totalidad de X . En otras palabras, existe algún elemento x en X tal que ( T − λ )( y ) puede estar tan cerca de x como se desee, con y en X ; pero nunca es igual a x . Se puede demostrar que, en este caso, T − λ no está acotado por debajo (es decir, envía elementos de X muy alejados demasiado juntos). De manera equivalente, el operador lineal inverso ( T − λ ) ⁻¹ , que se define en el subconjunto denso R , no es un operador acotado y, por lo tanto ,no se puede extender a la totalidad de X. Entonces se dice que λ está en el espectro continuo , σ _c ( T ) ,de T.
3. T − λ es inyectivo pero no tiene un rango denso.Esdecir, hay algún elemento x en X y una vecindad N de x tal que ( T − λ )( y ) nunca está en N. En este caso, la aplicación ( T − λ ) ⁻¹ x → x puede ser acotada o no acotada, pero en cualquier caso no admite una extensión única a una aplicación lineal acotada sobre todo X . Entonces se dice que λ está en el espectro residual de T , σ _r ( T ) .

Entonces σ ( T ) es la unión disjunta de estos tres conjuntos,

$${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{p}(T)\cup \sigma _{c}(T)\cup \sigma _{r}(T).}$$

conjunto resolutivo, ${\displaystyle \sigma (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)}$ ${\displaystyle \rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$

Además, cuando T − λ no tiene un rango denso, ya sea inyectivo o no, entonces se dice que λ está en el espectro de compresión de T , σ _cp ( T ). El espectro de compresión consta de todo el espectro residual y parte del espectro puntual.

Para operadores ilimitados

El espectro de un operador ilimitado se puede dividir en tres partes de la misma manera que en el caso acotado, pero debido a que el operador no está definido en todas partes, las definiciones de dominio, inverso, etc. son más complicadas.

Ejemplos

Operador de multiplicación

Dado un espacio de medida σ-finita ( S , Σ , μ ), considere el espacio de Banach L ^p ( μ ) . Una función h : S → C se llama esencialmente acotada si h está acotada μ -casi en todas partes. Una h esencialmente acotada induce un operador de multiplicación acotado _Th en L p ⁽ μ ) :

$${\displaystyle (T_{h}f)(s)=h(s)\cdot f(s).}$$

La norma del operador de T es el supremo esencial de h . El rango esencial de h se define de la siguiente manera: un número complejo λ está en el rango esencial de h si para todo ε > 0, la preimagen de la bola abierta B _ε ( λ ) bajo h tiene una medida estrictamente positiva. Primero mostraremos que σ ( Th ₎ coincide con el rango esencial de h y luego examinaremos sus diversas partes.

Si λ no está en el rango esencial de h , tome ε > 0 tal que h ⁻¹ ( B _ε ( λ )) tenga medida cero. La función g ( s ) = 1/( h ( s ) − λ ) está limitada casi en todas partes por 1/ ε . El operador de multiplicación T _g satisface T _g · ( T _h − λ ) = ( T _h − λ ) · T _g = I . Entonces λ no se encuentra en el espectro _de Th . Por otro lado, si λ se encuentra en el rango esencial de h , considere la secuencia de conjuntos { S _n = h ⁻¹ ( B _{1/ n} ( λ ))} . Cada S _n tiene medida positiva. Sea f _n la función característica de S _n . Podemos calcular directamente

$${\displaystyle \|(T_{h}-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\|(h-\lambda )f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{S_{n}}|h-\lambda \;|^{p}d\mu \leq {\frac {1}{n^{p}}}\;\mu (S_{n})={\frac {1}{n^{p}}}\|f_{n}\|_{p}^{p}.}$$

Esto muestra que T _h − λ no está acotado por debajo y, por lo tanto, no es invertible.

Si λ es tal que μ ( h ⁻¹ ({ λ })) > 0, entonces λ se encuentra en el espectro puntual de T _h de la siguiente manera. Sea f la función característica del conjunto medible h ⁻¹ ( λ ), luego, considerando dos casos, encontramos

$${\displaystyle \forall s\in S,\;(T_{h}f)(s)=\lambda f(s),}$$

Th _.

Cualquier λ en el rango esencial de h que no tenga una preimagen de medida positiva está en el espectro continuo de Th _. Para demostrar esto, debemos demostrar que T _h − λ tiene un rango denso. Dado f ∈ L ^p ( μ ) , nuevamente consideramos la secuencia de conjuntos { S _n = h ⁻¹ ( B _1/n ( λ ))} . Sea g _n la función característica de S − S _n . Definir

$${\displaystyle f_{n}(s)={\frac {1}{h(s)-\lambda }}\cdot g_{n}(s)\cdot f(s).}$$

El cálculo directo muestra que f _n ∈ L ^p ( μ ), con . Entonces por el teorema de convergencia dominada , ${\displaystyle \|f_{n}\|_{p}\leq n\|f\|_{p}}$

$${\displaystyle (T_{h}-\lambda )f_{n}\rightarrow f}$$

L ^pμ

Por tanto, los operadores de multiplicación no tienen espectro residual. En particular, según el teorema espectral , los operadores normales en un espacio de Hilbert no tienen espectro residual.

Turnos

En el caso especial en el que S es el conjunto de números naturales y μ es la medida de conteo, el correspondiente L ^p ( μ ) se denota por l ^p . Este espacio consta de secuencias de valores complejos { x _n } tales que

$${\displaystyle \sum _{n\geq 0}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

Para 1 < p < ∞, l ^p es reflexivo . Defina el desplazamiento a la izquierda T  : l ^p → l ^p por

$${\displaystyle T(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\dots ).}$$

T es una isometría parcial con norma de operador 1. Entonces σ ( T ) se encuentra en el disco unitario cerrado del plano complejo.

T* es el desplazamiento a la derecha (o desplazamiento unilateral ), que es una isometría de l ^q , donde 1/ p + 1/ q = 1:

$${\displaystyle T^{*}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots ).}$$

Para λ ∈ C con | λ | < 1,

$${\displaystyle x=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots )\in l^{p}}$$

T xλ xTT*σ _pT*Espectro_(análisis_funcional)#Espectro_del_operador_adjuntoσ _pTσ _rTσ _pTT*

El espectro de un operador acotado es cerrado, lo que implica el círculo unitario, { | λ | = 1 } ⊂ C , está en σ ( T ). Nuevamente por reflexividad de l ^p y el teorema dado anteriormente (esta vez, que σ _r ( T ) ⊂ σ _p ( T *) ), tenemos que σ _r ( T ) también está vacío. Por lo tanto, para un número complejo λ con norma unitaria, se debe tener λ ∈ σ _p ( T ) o λ ∈ σ _c ( T ). Ahora si | λ | = 1 y

$${\displaystyle Tx=\lambda x,\qquad i.e.\;(x_{2},x_{3},x_{4},\dots )=\lambda (x_{1},x_{2},x_{3},\dots ),}$$

$${\displaystyle x=x_{1}(1,\lambda ,\lambda ^{2},\dots ),}$$

l ^pT.

Entonces, para el desplazamiento a la izquierda T , σ _p ( T ) es el disco unitario abierto y σ _c ( T ) es el círculo unitario, mientras que para el desplazamiento a la derecha T* , σ _r ( T* ) es el disco unitario abierto y σ _c ( T* ) es el círculo unitario.

Para p = 1, se puede realizar un análisis similar. Los resultados no serán exactamente los mismos, puesto que la reflexividad ya no se cumple.

Operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert

Los espacios de Hilbert son espacios de Banach, por lo que la discusión anterior se aplica también a los operadores acotados en espacios de Hilbert. Un punto sutil se refiere al espectro de T *. Para un espacio de Banach, T * denota la transpuesta y σ ( T* ) = σ ( T ). Para un espacio de Hilbert, T * normalmente denota el adjunto de un operador T ∈ B ( H ), no la transpuesta, y σ ( T* ) no es σ ( T ) sino su imagen bajo conjugación compleja.

Para un T ∈ B ( H ) autoadjunto , el cálculo funcional de Borel ofrece formas adicionales de dividir el espectro de forma natural.

Cálculo funcional de Borel

Esta subsección esboza brevemente el desarrollo de este cálculo. La idea es establecer primero el cálculo funcional continuo y luego pasar a funciones medibles mediante el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani . Para el cálculo funcional continuo, los ingredientes clave son los siguientes:

1. Si T es autoadjunto, entonces para cualquier polinomio P , la norma del operador satisface
   $${\displaystyle \|P(T)\|=\sup _{\lambda \in \sigma (T)}|P(\lambda )|.}$$
2. El teorema de Stone-Weierstrass , que implica que la familia de polinomios (con coeficientes complejos), es densa en C ( σ ( T )), las funciones continuas en σ ( T ).

La familia C ( σ ( T )) es un álgebra de Banach cuando está dotada de la norma uniforme. Entonces el mapeo

$${\displaystyle P\rightarrow P(T)}$$

CσTBHfTfσTP _nP _nffTP _nT

Para un h ∈ H fijo , notamos que

$${\displaystyle f\rightarrow \langle h,f(T)h\rangle }$$

CσTμ _hσT

$${\displaystyle \int _{\sigma (T)}f\,d\mu _{h}=\langle h,f(T)h\rangle .}$$

Esta medida a veces se denomina medida espectral asociada a h . Las medidas espectrales se pueden utilizar para extender el cálculo funcional continuo a funciones de Borel acotadas. Para una función acotada g que sea medible por Borel, defina, para una g propuesta ( T )

$${\displaystyle \int _{\sigma (T)}g\,d\mu _{h}=\langle h,g(T)h\rangle .}$$

A través de la identidad de polarización , se puede recuperar (ya que se supone que H es complejo)

$${\displaystyle \langle k,g(T)h\rangle .}$$

gTh para h

En el contexto actual, las medidas espectrales, combinadas con un resultado de la teoría de la medida, dan una descomposición de σ ( T ).

Descomposición en punto absolutamente continuo, singular continuo y puro.

Sean h ∈ H y μ _h su medida espectral correspondiente en σ ( T ) ⊂ R . Según un refinamiento del teorema de descomposición de Lebesgue , μ _h se puede descomponer en tres partes mutuamente singulares:

$${\displaystyle \mu _{h}=\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }}$$

μ _acμ _scμ _pp^{[1] [2]}

Los tres tipos de medidas son invariantes en operaciones lineales. Sea H _ac el subespacio formado por vectores cuyas medidas espectrales son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue . Defina H _pp y H _sc de manera análoga. Estos subespacios son invariantes bajo T . Por ejemplo, si h ∈ H _ac y k = T h . Sea χ la función característica de algún conjunto de Borel en σ ( T ), entonces

$${\displaystyle \langle k,\chi (T)k\rangle =\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\cdot \lambda ^{2}d\mu _{h}(\lambda )=\int _{\sigma (T)}\chi (\lambda )\;d\mu _{k}(\lambda ).}$$

$${\displaystyle \lambda ^{2}d\mu _{h}=d\mu _{k}}$$

kH _ac

$${\displaystyle H=H_{\mathrm {ac} }\oplus H_{\mathrm {sc} }\oplus H_{\mathrm {pp} }.}$$

Esto lleva a las siguientes definiciones:

1. El espectro de T restringido a Ha _ac se denomina espectro absolutamente continuo de T , σ _ac ( T ).
2. El espectro de T restringido a H _sc se llama espectro singular , σ _sc ( T ).
3. El conjunto de valores propios de T se denomina espectro puntual puro de T , σ _pp ( T ).

El cierre de los valores propios es el espectro de T restringido a H _pp . ^{[3] [nb 1]} Entonces

$${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)\cup {{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}.}$$

Comparación

Un operador autoadjunto acotado en un espacio de Hilbert es, a fortiori, un operador acotado en un espacio de Banach. Por lo tanto, también se puede aplicar a T la descomposición del espectro que se logró anteriormente para operadores acotados en un espacio de Banach. A diferencia de la formulación del espacio de Banach, ^{[ se necesita aclaración ]} la unión

$${\displaystyle \sigma (T)={{\bar {\sigma }}_{\mathrm {pp} }(T)}\cup \sigma _{\mathrm {ac} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {sc} }(T)}$$

TmTλ

$${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{m}L^{2}(\mathbb {R} ,\mu _{i})}$$

λ ∈ σ _ac ( T ) ∩ σ _pp ( T )λincrustado ${\displaystyle \mu _{i}}$

Cuando T es unitariamente equivalente a la multiplicación por λ en

$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mu ),}$$

σT

Mecánica cuántica

Los comentarios anteriores se pueden extender a los operadores autoadjuntos ilimitados, ya que Riesz-Markov se cumple para espacios de Hausdorff localmente compactos .

En mecánica cuántica , los observables son operadores autoadjuntos (a menudo ilimitados) y sus espectros son los posibles resultados de las mediciones.

El espectro puntual puro corresponde a los estados ligados de la siguiente manera:

• Un estado cuántico es un estado ligado si y sólo si es finitamente normalizable para todos los tiempos . ^[4] ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$
• Un observable tiene espectro de puntos puro si y sólo si sus estados propios forman una base ortonormal de . ^[5] ${\displaystyle H}$

Se dice que una partícula está en estado ligado si permanece "localizada" en una región limitada del espacio. ^[6] Por lo tanto, intuitivamente uno podría pensar que la "discreción" del espectro está íntimamente relacionada con la "localización" de los estados correspondientes. Sin embargo, un análisis matemático cuidadoso muestra que esto no es cierto en general. ^[7] Por ejemplo, considere la función

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}n&{\text{if }}x\in \left[n,n+{\frac {1}{n^{4}}}\right]\\0&{\text{else}}\end{cases}},\quad \forall n\in \mathbb {N} .}$

Esta función es normalizable (es decir ) como ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \int _{n}^{n+{\frac {1}{n^{4}}}}n^{2}\,dx={\frac {1}{n^{2}}}\Rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$

Esta serie, conocida como el problema de Basilea , converge a . Sin embargo, aumenta a medida que , es decir, el estado "escapa al infinito". Los fenómenos de localización de Anderson y localización dinámica describen cuándo las funciones propias se localizan en un sentido físico. La localización de Anderson significa que las funciones propias decaen exponencialmente como . La localización dinámica es más sutil de definir. ${\textstyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle x\to \infty }$

A veces, al realizar mediciones de mecánica cuántica, uno encuentra " estados propios " que no están localizados, por ejemplo, estados cuánticos que no se encuentran en L ² ( R ). Se trata de estados libres que pertenecen al espectro absolutamente continuo. En el teorema espectral de los operadores autoadjuntos ilimitados , estos estados se denominan "vectores propios generalizados" de un observable con "valores propios generalizados" que no necesariamente pertenecen a su espectro. Alternativamente, si se insiste en que la noción de vectores propios y valores propios sobrevive al paso a lo riguroso, se pueden considerar operadores en espacios de Hilbert amañados . ^[8]

Un ejemplo de un observable cuyo espectro es puramente absolutamente continuo es el operador de posición de una partícula libre que se mueve a lo largo de toda la línea real. Además, dado que el operador de momento es unitariamente equivalente al operador de posición, a través de la transformada de Fourier , también tiene un espectro puramente absolutamente continuo.

El espectro singular corresponde a resultados físicamente imposibles. Durante algún tiempo se creyó que el espectro singular era algo artificial. Sin embargo, ejemplos como el operador casi de Mathieu y los operadores aleatorios de Schrödinger han demostrado que todos los tipos de espectros surgen de forma natural en la física. ^{[9] [10]}

Descomposición en espectro esencial y espectro discreto.

Sea un operador cerrado definido en el dominio denso en X . Luego hay una descomposición del espectro de A en una unión disjunta , ^[11] ${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(A)\subset X}$

$${\displaystyle \sigma (A)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\sqcup \sigma _{\mathrm {d} }(A),}$$

1. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)}$es el quinto tipo del espectro esencial de A (si A es un operador autoadjunto , entonces para todos ); ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A)=\sigma _{\mathrm {ess} }(A)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$
2. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(A)}$es el espectro discreto de A , que consta de valores propios normales o, de manera equivalente, de puntos aislados de modo que el proyector Riesz correspondiente tiene un rango finito. Es un subconjunto propio del espectro de puntos , es decir , ya que el conjunto de valores propios de A no tiene por qué ser necesariamente puntos aislados del espectro. ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \sigma _{d}(A)\subset \sigma _{p}(A)}$

Ver también

• Espectro de puntos , el conjunto de valores propios.
• Espectro esencial , espectro de un operador módulo de perturbaciones compactas.
• Espectro discreto (matemáticas) , el conjunto de valores propios normales .
• Teoría espectral de álgebras C* normales
• Espectro (análisis funcional)

Notas

1. Alternativamente, el espectro puntual puro puede considerarse como el cierre del espectro puntual, es decir ${\displaystyle \sigma _{pp}={\overline {\sigma _{p}}}}$

1. Simón 2005, pag. 43.
2. Teschl 2014, pag. 114-119.
3. Simón 2005, pag. 44.
4. Ruelle 1969.
5. Simón 1978, pag. 3.
6. Blanchard y Brüning 2015, pag. 430.
7. Blanchard y Brüning 2015, pag. 432.
8. de la Madrid Modino 2001, págs.
9. Jitomirskaya y Simón 1994.
10. Simón y Stolz 1996.
11. Teschl 2014, pag. 170.

Referencias

• Blanchard, Philippe; Brüning, Erwin (2015). Métodos Matemáticos en Física . Birkhäuser. ISBN 978-3-319-14044-5.
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1988). Operadores lineales, Parte 1: Teoría general . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60848-3.
• Jitomirskaya, S.; Simón, B. (1994). "Operadores con espectro continuo singular: III. Operadores Schrödinger casi periódicos". Comunicaciones en Física Matemática . 165 (1): 201–205. doi :10.1007/BF02099743. ISSN  0010-3616.
• de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje espacial de Hilbert amañado (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
• Caña, M.; Simón, B. (1980). Métodos de la Física Matemática Moderna: I: Análisis funcional . Prensa académica. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Ruelle, D. (1969). "Una observación sobre los estados ligados en la teoría de la dispersión potencial" (PDF) . Il Nuovo Cimento A. 61 (4). Springer Science y Business Media LLC. doi :10.1007/bf02819607. ISSN  0369-3546.
• Simón, B. (1978). "Una descripción general de la rigurosa teoría de la dispersión".
• Simón, B.; Stolz, G. (1996). "Operadores con espectro continuo singular, V. Potenciales dispersos". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 124 (7): 2073–2080. doi : 10.1090/S0002-9939-96-03465-X . ISSN  0002-9939.
• Simón, Barry (2005). Polinomios ortogonales en el círculo unitario. Parte 1. Teoría clásica . Publicaciones del coloquio de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas. vol. 54. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-3446-6. SEÑOR  2105088.
• Teschl, G. (2014). Métodos matemáticos en mecánica cuántica . Providence (RI): Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 978-1-4704-1704-8.