operador de turno

Operador matemático lineal que traduce una función.

En matemáticas , y en particular en análisis funcional , el operador de desplazamiento , también conocido como operador de traducción , es un operador que lleva una función x ↦ f ( x ) a su traslación x ↦ f ( x + a ) . ^[1] En el análisis de series de tiempo , el operador de turno se denomina operador de retraso .

Los operadores de turno son ejemplos de operadores lineales , importantes por su simplicidad y ocurrencia natural. La acción del operador de desplazamiento sobre funciones de una variable real juega un papel importante en el análisis armónico , por ejemplo, aparece en las definiciones de funciones casi periódicas , funciones definidas positivas , derivadas y convolución . ^[2] Los cambios de secuencias (funciones de una variable entera) aparecen en diversas áreas como los espacios de Hardy , la teoría de variedades abelianas y la teoría de la dinámica simbólica , para la cual el mapa del panadero es una representación explícita. La noción de categoría triangulada es un análogo categorizado del operador de turno.

Definición

Funciones de una variable real

El operador de desplazamiento T ^t (donde ) lleva una función f a su traslación f _t , ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

Lagrange introdujo una representación práctica en cálculo operativo del operador lineal T ^t en términos de la derivada simple , ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$

${\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}$

que puede interpretarse operativamente a través de su expansión formal de Taylor en t ; y cuya acción sobre el monomio x ⁿ es evidente por el teorema del binomio , y por tanto sobre todas las series en x , y por tanto todas las funciones f ( x ) como arriba. ^[3] Esta es, entonces, una codificación formal de la expansión de Taylor en el cálculo de Heaviside.

El operador proporciona así el prototipo ^[4] del célebre flujo advectivo de Lie para grupos abelianos ,

${\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

donde las coordenadas canónicas h ( funciones de Abel ) se definen de manera que

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

Por ejemplo, se deduce fácilmente que produce escala, ${\displaystyle \beta (x)=x}$

${\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}$

por tanto (paridad); asimismo, rinde ^[5] ${\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$

${\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}$rendimientos

${\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$rendimientos

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

etc.

La condición inicial del flujo y la propiedad del grupo determinan completamente todo el flujo de Lie, proporcionando una solución a la ecuación funcional de traslación ^[6]

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

Secuencias

El operador de desplazamiento a la izquierda actúa sobre una secuencia infinita unilateral de números mediante

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

y en secuencias infinitas de dos lados por

${\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

El operador de desplazamiento a la derecha actúa sobre una secuencia infinita unilateral de números mediante

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

y en secuencias infinitas de dos lados por

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

Los operadores de desplazamiento hacia la derecha e izquierda que actúan sobre secuencias infinitas de dos lados se denominan desplazamientos bilaterales .

Grupos abelianos

En general, como se ilustra arriba, si F es una función en un grupo abeliano G y h es un elemento de G , el operador de desplazamiento T ^g asigna F a ^{[6] [7]}

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

Propiedades del operador de turno

El operador de desplazamiento que actúa sobre funciones o secuencias de valores reales o complejos es un operador lineal que conserva la mayoría de las normas estándar que aparecen en el análisis funcional. Por tanto, suele ser un operador continuo con norma uno.

Acción en espacios de Hilbert

El operador de desplazamiento que actúa sobre secuencias de dos lados es un operador unitario en El operador de desplazamiento que actúa sobre funciones de una variable real es un operador unitario en ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$

En ambos casos, el operador de desplazamiento (izquierda) satisface la siguiente relación de conmutación con la transformada de Fourier:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$

M ^toperador de multiplicaciónexp( itx )T ^t

El desplazamiento unilateral S que actúa es una isometría propia con un rango igual a todos los vectores que desaparecen en la primera coordenada . El operador S es una compresión de T ⁻¹ , en el sentido de que ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}$

$${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$

yy _i = x _ii ≥ 0y _i = 0i < 0dilataciones unitarias ${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}$

El espectro de S es el disco unitario . El turno S es un ejemplo de operador de Fredholm ; tiene índice de Fredholm −1.

Generalización

Jean Delsarte introdujo la noción de operador de turno generalizado (también llamado operador de desplazamiento generalizado ); Fue desarrollado aún más por Boris Levitan . ^{[2] [8] [9]}

Una familia de operadores que actúan sobre un espacio Φ de funciones de un conjunto X a se denomina familia de operadores de desplazamiento generalizados si se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle \{L^{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

1. Asociatividad : deja entonces ${\displaystyle (R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).}$ ${\displaystyle L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.}$
2. Existe e en X tal que Le es el operador de ^identidad .

En este caso, el conjunto X se llama hipergrupo .

Ver también

• desplazamiento aritmético
• cambio lógico
• Matrices de reloj y turnos.
• Diferencia finita
• Operador de traducción (mecánica cuántica)

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Operador de turno". MundoMatemático .
2. Marchenko, VA (2006). "El desplazamiento generalizado, operadores de transformación y problemas inversos". Acontecimientos matemáticos del siglo XX . Berlín: Springer. págs. 145-162. doi :10.1007/3-540-29462-7_8. ISBN 978-3-540-23235-3. SEÑOR  2182783.
3. Jordania, Charles, (1939/1965). Cálculo de diferencias finitas , (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 . 
4. M Hamermesh (1989), Teoría de grupos y su aplicación a problemas físicos (Libros de física de Dover), Hamermesh ISBM 978-0486661810, capítulo 8-6, págs. 294-5, en línea.
5. p 75 de Georg Scheffers (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen , Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 en línea 
6. Aczel, J (2006), Conferencias sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones (Dover Books on Mathematics, 2006), cap. 6, ISBN 978-0486445236 . 
7. "Un grupo continuo de un parámetro equivale a un grupo de traducciones". M Hamermesh, ibídem .
8. Levitan, BM ; Litvinov, GL (2001) [1994], "Operadores de desplazamiento generalizado", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
9. Bredikhina, EA (2001) [1994], "Función casi periódica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Bibliografía

• Partington, Jonathan R. (15 de marzo de 2004). Operadores Lineales y Sistemas Lineales . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511616693. ISBN 978-0-521-83734-7.
• Marvin Rosenblum y James Rovnyak, Clases Hardy y teoría del operador , (1985) Oxford University Press.