mapa del panadero

Mapa caótico desde el cuadrado unitario hacia sí mismo.

Ejemplo de una medida que es invariante bajo la acción del mapa del panadero (sin rotar): una medida invariante . Aplicar el mapa del panadero a esta imagen siempre da como resultado exactamente la misma imagen.

En la teoría de sistemas dinámicos , el mapa del panadero es un mapa caótico desde el cuadrado unitario hacia sí mismo. Debe su nombre a una operación de amasado que los panaderos aplican a la masa: la masa se corta por la mitad, las dos mitades se apilan una sobre la otra y se comprimen.

El mapa del panadero puede entenderse como el operador de desplazamiento bilateral de un modelo de red bi-infinita de dos estados . El mapa del panadero está topológicamente conjugado con el mapa de herradura . En física , se puede utilizar una cadena de mapas de Baker acoplados para modelar la difusión determinista .

Como ocurre con muchos sistemas dinámicos deterministas , el mapa del panadero se estudia por su acción sobre el espacio de funciones definido en el cuadrado unitario. El mapa del panadero define un operador en el espacio de funciones, conocido como operador de transferencia del mapa. El mapa del panadero es un modelo de caos determinista con solución exacta , en el sentido de que las funciones propias y los valores propios del operador de transferencia se pueden determinar explícitamente.

Definicion formal

Hay dos definiciones alternativas del mapa del panadero que son de uso común. Una definición dobla o gira una de las mitades cortadas antes de unirla (similar al mapa de herradura ) y la otra no.

El mapa del panadero plegado actúa sobre el cuadrado unitario como

${\displaystyle S_{\text{baker-folded}}(x,y)={\begin{cases}(2x,{\frac {y}{2}})&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\(2-2x,1-{\frac {y}{2}})&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

Cuando la sección superior no está doblada, el mapa puede escribirse como

${\displaystyle S_{\text{baker-unfolded}}(x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right).}$

El mapa del panadero plegado es un análogo bidimensional del mapa de la tienda.

${\displaystyle S_{\mathrm {tent} }(x)={\begin{cases}2x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2(1-x)&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\end{cases}}}$

mientras que el mapa desplegado es análogo al mapa de Bernoulli . Ambos mapas son topológicamente conjugados. El mapa de Bernoulli puede entenderse como el mapa que progresivamente corta dígitos de la expansión diádica de x . A diferencia del mapa de la tienda, el mapa del panadero es invertible.

Propiedades

El mapa del panadero conserva la medida bidimensional de Lebesgue .

Aplicación repetida del mapa del panadero a puntos coloreados de rojo y azul, inicialmente separados. Después de varias iteraciones, los puntos rojo y azul parecen estar completamente mezclados.

El mapa se mezcla fuertemente y topológicamente se mezcla .

El operador de transferencia asigna funciones en el cuadrado unitario a otras funciones en el cuadrado unitario; esta dado por ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left[Uf\right](x,y)=(f\circ S^{-1})(x,y).}$

El cuadrado de la unidad de origen está en la parte superior y en la parte inferior se muestra el resultado a medida que el cuadrado se barre de izquierda a derecha.

El operador de transferencia es unitario en el espacio de Hilbert de funciones integrables al cuadrado en el cuadrado unitario. El espectro es continuo y, como el operador es unitario, los valores propios se encuentran en el círculo unitario. El operador de transferencia no es unitario en el espacio de funciones polinómicas en la primera coordenada y integrables al cuadrado en la segunda. En este espacio, tiene un espectro decreciente, discreto y no unitario. ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{x}\otimes L_{y}^{2}}$

Como operador de turno

El mapa del panadero puede entenderse como el operador de desplazamiento bilateral en la dinámica simbólica de una red unidimensional. Consideremos, por ejemplo, la cadena bi-infinita

${\displaystyle \sigma =\left(\ldots ,\sigma _{-2},\sigma _{-1},\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots \right)}$

donde cada posición en la cadena puede tomar uno de los dos valores binarios . La acción del operador de turno sobre esta cadena es ${\displaystyle \sigma _{k}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle \tau (\ldots ,\sigma _{k},\sigma _{k+1},\sigma _{k+2},\ldots )=(\ldots ,\sigma _{k-1},\sigma _{k},\sigma _{k+1},\ldots )}$

es decir, cada posición de la red se desplaza uno hacia la izquierda. La cadena bi-infinita puede representarse mediante dos números reales como ${\displaystyle 0\leq x,y\leq 1}$

${\displaystyle x(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{-k}2^{-(k+1)}}$

y

${\displaystyle y(\sigma )=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k+1}2^{-(k+1)}.}$

En esta representación, el operador de turno tiene la forma

${\displaystyle \tau (x,y)=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor ,\ {\frac {y+\left\lfloor 2x\right\rfloor }{2}}\right)}$

que se ve como el mapa del panadero desplegado que se muestra arriba.

Ver también

• proceso de Bernoulli

Referencias

• Hiroshi H. Hasagawa y William C. Saphir (1992). "Unitaridad e irreversibilidad en sistemas caóticos". Revisión física A. 46 (12): 7401–7423. Código bibliográfico : 1992PhRvA..46.7401H. CiteSeerX  10.1.1.31.9775 . doi :10.1103/PhysRevA.46.7401. PMID  9908090.
• Ronald J. Fox, "Construcción de la base de Jordania para el mapa de Baker", Caos , 7 p 254 (1997) doi :10.1063/1.166226
• Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry , (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Países Bajos ISBN 0-7923-5564-4 (Exposición de las funciones propias del mapa de Baker) .