En las matemáticas de la teoría del caos , un mapa de herradura es cualquier miembro de una clase de mapas caóticos del cuadrado en sí mismo. Es un ejemplo central en el estudio de sistemas dinámicos . El mapa fue presentado por Stephen Smale mientras estudiaba el comportamiento de las órbitas del oscilador de van der Pol . La acción del mapa se define geométricamente aplastando el cuadrado, luego estirando el resultado en una tira larga y finalmente doblando la tira en forma de herradura.
La mayoría de los puntos eventualmente abandonan el cuadrado bajo la acción del mapa. Van a las tapas laterales donde, bajo iteración, convergerán a un punto fijo en una de las tapas. Los puntos que permanecen en el cuadrado bajo iteración repetida forman un conjunto fractal y son parte del conjunto invariante del mapa.
El aplastamiento, el estiramiento y el plegado del mapa en herradura son típicos de los sistemas caóticos, pero no son necesarios ni suficientes. [1]
En el mapa de herradura, la compresión y el estiramiento son uniformes. Se compensan entre sí para que el área del cuadrado no cambie. El plegado se realiza de forma ordenada, de modo que las órbitas que permanecen para siempre en el cuadrado se pueden describir de forma sencilla.
Para un mapa de herradura:
El mapa de herradura f es un difeomorfismo definido desde una región S del plano hacia sí mismo. La región S es un cuadrado coronado por dos semidiscos. El codominio de (la "herradura") es un subconjunto propio de su dominio . La acción de f se define mediante la composición de tres transformaciones definidas geométricamente. Primero, el cuadrado se contrae a lo largo de la dirección vertical por un factor a < 1/2. Las tapas se contraen para que queden semidiscos unidos al rectángulo resultante. Contraer por un factor menor que la mitad asegura que habrá un espacio entre las ramas de la herradura. A continuación, el rectángulo se estira horizontalmente por un factor de1/a; las tapas permanecen sin cambios. Finalmente , la tira resultante se dobla en forma de herradura y se vuelve a colocar en S.
Lo interesante de la dinámica es la imagen de la plaza en sí misma. Una vez definida esa parte, el mapa se puede extender a un difeomorfismo definiendo su acción sobre las tapas. Las tapas están hechas para contraerse y eventualmente mapearse dentro de una de las tapas (la izquierda en la figura). La extensión de f a las mayúsculas agrega un punto fijo al conjunto no errante del mapa. Para mantener simple la clase de mapas de herradura, la región curva de la herradura no debe regresar al cuadrado.
El mapa de herradura es uno a uno, lo que significa que existe una f −1 inversa cuando se restringe a la imagen de S bajo f .
Al plegar el cuadrado contraído y estirado de diferentes maneras, son posibles otros tipos de mapas de herradura.
Para garantizar que el mapa siga siendo uno a uno, el cuadrado contratado no debe superponerse. Cuando la acción sobre el cuadrado se extiende a un difeomorfismo, la extensión no siempre se puede realizar en el plano. Por ejemplo, el mapa de la derecha debe ampliarse a un difeomorfismo de la esfera mediante el uso de un “límite” que envuelva el ecuador.
El mapa de herradura es un difeomorfismo del axioma A que sirve como modelo para el comportamiento general en un punto homoclínico transversal , donde se cruzan las variedades estable e inestable de un punto periódico.
El mapa de herradura fue diseñado para reproducir la dinámica caótica de un flujo en las proximidades de una órbita periódica determinada. Se elige que la vecindad sea un pequeño disco perpendicular a la órbita . A medida que el sistema evoluciona, los puntos de este disco permanecen cerca de la órbita periódica dada, trazando órbitas que eventualmente cruzan el disco una vez más. Otras órbitas divergen.
El comportamiento de todas las órbitas del disco se puede determinar considerando lo que le sucede al disco. La intersección del disco con la órbita periódica dada vuelve a sí misma en cada período de la órbita y también lo hacen los puntos en su vecindad. Cuando este barrio regresa, su forma se transforma. Entre los puntos que se encuentran dentro del disco hay algunos puntos que abandonarán la vecindad del disco y otros que continuarán regresando. El conjunto de puntos que nunca abandona la vecindad de la órbita periódica dada forma un fractal.
Se puede dar un nombre simbólico a todas las órbitas que queden en el vecindario. El disco vecino inicial se puede dividir en una pequeña cantidad de regiones. Conocer la secuencia en la que la órbita visita estas regiones permite localizar la órbita con exactitud. La secuencia de visita de las órbitas proporciona una representación simbólica de la dinámica, conocida como dinámica simbólica .
Es posible describir el comportamiento de todas las condiciones iniciales del mapa de herradura. Un punto inicial u 0 = ( x , y ) se asigna al punto u 1 = f ( u 0 ). Su iteración es el punto u 2 = f ( u 1 ) = f 2 ( u 0 ), y la iteración repetida genera la órbita u 0 , u 1 , u 2 , ...
Bajo iteraciones repetidas del mapa de herradura, la mayoría de las órbitas terminan en el punto fijo en la tapa izquierda. Esto se debe a que la herradura mapea la tapa izquierda dentro de sí misma mediante una transformación afín que tiene exactamente un punto fijo. Cualquier órbita que aterrice en el límite izquierdo nunca lo abandona y converge al punto fijo en el límite izquierdo bajo iteración. Los puntos en el límite derecho se asignan al límite izquierdo en la siguiente iteración, y la mayoría de los puntos en el cuadrado se asignan a los límites. En iteración, la mayoría de los puntos formarán parte de órbitas que convergen al punto fijo en el límite izquierdo, pero algunos puntos del cuadrado nunca se salen.
En las iteraciones directas del mapa de herradura, el cuadrado original se asigna a una serie de franjas horizontales. Los puntos de estas franjas horizontales provienen de franjas verticales en el cuadrado original. Sea S 0 el cuadrado original, mapéelo hacia adelante n veces y considere solo los puntos que vuelven al cuadrado S 0 , que es un conjunto de franjas horizontales.
Los puntos en las franjas horizontales provienen de las franjas verticales.
que son las franjas horizontales H n mapeadas hacia atrás n veces. Es decir, un punto en V n terminará, bajo n iteraciones de la herradura, en el conjunto H n de franjas verticales.
Si un punto debe permanecer indefinidamente en el cuadrado, entonces debe pertenecer a un conjunto Λ que se corresponda con sí mismo. Es necesario determinar si este conjunto está vacío o no. Las franjas verticales V 1 se asignan a las franjas horizontales H 1 , pero no todos los puntos de V 1 se asignan nuevamente a V 1 . Sólo los puntos en la intersección de V 1 y H 1 pueden pertenecer a Λ , como se puede comprobar siguiendo los puntos fuera de la intersección durante una iteración más.
La intersección de las franjas horizontal y vertical, H n ∩ V n , son cuadrados que en el límite n → ∞ convergen al conjunto invariante Λ (este conjunto es una intersección de un conjunto de líneas verticales de Cantor con un conjunto de líneas horizontales de Cantor [2] ). La estructura de este conjunto puede entenderse mejor introduciendo un sistema de etiquetas para todas las intersecciones: una dinámica simbólica.
Dado que H n ∩ V n ⊂ V 1 , cualquier punto que esté en Λ bajo iteración debe aterrizar en la franja vertical izquierda A de V 1 , o en la franja vertical derecha B . La franja horizontal inferior de H 1 es la imagen de A y la franja horizontal superior es la imagen de B , entonces H 1 = f(A) ∪ f(B) . Las tiras A y B se pueden utilizar para etiquetar los cuatro cuadrados en la intersección de V 1 y H 1 :
El conjunto Λ B•A consta de puntos de la franja A que estaban en la franja B en la iteración anterior. Se utiliza un punto para separar la región en la que se encuentra el punto de una órbita de la región de donde proviene el punto.
La notación se puede extender a iteraciones superiores del mapa de herradura. Las franjas verticales pueden denominarse según la secuencia de visitas a la franja A o a la franja B. Por ejemplo, el conjunto ABB ⊂ V 3 consta de los puntos de A que aterrizarán en B en una iteración y permanecerán en B en la iteración posterior:
Trabajando hacia atrás desde esa trayectoria se determina una pequeña región, el conjunto ABB , dentro de V 3 .
Las franjas horizontales reciben su nombre a partir de sus preimágenes de franjas verticales. En esta notación, la intersección de V 2 y H 2 consta de 16 cuadrados, uno de los cuales es
Todos los puntos en Λ AB•BB están en B y seguirán estando en B durante al menos una iteración más. Su trayectoria anterior antes de aterrizar en BB era A seguida de B.
Cualquiera de las intersecciones Λ P•F de una franja horizontal con una franja vertical, donde P y F son secuencias de A s y B s, es una transformación afín de una pequeña región en V 1 . Si P tiene k símbolos y si f − k (Λ P•F ) y Λ P•F se cruzan, la región Λ P•F tendrá un punto fijo. Esto sucede cuando la secuencia P es igual a F. Por ejemplo, Λ ABAB•ABAB ⊂ V 4 ∩ H 4 tiene al menos un punto fijo. Este punto también es el mismo que el punto fijo en Λ AB•AB . Al incluir más y más AB en la parte P y F de la etiqueta de intersección, el área de la intersección se puede hacer tan pequeña como sea necesario. Converge a un punto que forma parte de una órbita periódica del mapa de herradura. La órbita periódica se puede etiquetar mediante la secuencia más simple de A y B que etiqueta una de las regiones que visita la órbita periódica.
Para cada secuencia de A s y B s existe una órbita periódica.
