Mezcla (matemáticas)

Descripción matemática de la mezcla de sustancias

Aplicación repetida del mapa de Baker a puntos de color rojo y azul, inicialmente separados. El mapa de Baker es mixto, como lo demuestra el hecho de que los puntos rojo y azul se mezclan por completo después de varias iteraciones.

En matemáticas , mezclar es un concepto abstracto que se origina en la física : el intento de describir el proceso termodinámico irreversible de mezclar en el mundo cotidiano: por ejemplo, mezclar pintura, mezclar bebidas, mezclar industrialmente .

El concepto aparece en la teoría ergódica —el estudio de los procesos estocásticos y los sistemas dinámicos que preservan la medida— . Existen varias definiciones diferentes para la mezcla, incluyendo la mezcla fuerte , la mezcla débil y la mezcla topológica , siendo la última la que no requiere que se defina una medida . Algunas de las diferentes definiciones de mezcla pueden organizarse en un orden jerárquico; por lo tanto, la mezcla fuerte implica una mezcla débil. Además, la mezcla débil (y por lo tanto también la mezcla fuerte) implica ergodicidad : es decir, todo sistema que se mezcla débilmente también es ergódico (y por lo tanto se dice que la mezcla es una condición "más fuerte" que la ergodicidad).

Explicación informal

La definición matemática de mezcla tiene como objetivo capturar el proceso cotidiano y ordinario de mezcla, como mezclar pinturas, bebidas, ingredientes de cocina, mezclar en procesos industriales , fumar en una habitación llena de humo, etc. Para proporcionar el rigor matemático, dichas descripciones comienzan con la definición de un sistema dinámico que preserva la medida , escrito como ⁠ ⁠ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ .

El conjunto se entiende como el espacio total a llenar: el recipiente para mezclar, la habitación llena de humo, etc. La medida se entiende como la definición del volumen natural del espacio y de sus subespacios. La colección de subespacios se denota por ⁠ ⁠ , y el tamaño de cualquier subconjunto dado es ⁠ ⁠ ; el tamaño es su volumen. Ingenuamente, uno podría imaginar que es el conjunto potencia de ⁠ ⁠ ; esto no funciona del todo, ya que no todos los subconjuntos de un espacio tienen un volumen (famosa, la paradoja de Banach-Tarski ). Por lo tanto, convencionalmente, consta de los subconjuntos medibles, los subconjuntos que sí tienen un volumen. Siempre se toma como un conjunto de Borel , la colección de subconjuntos que se pueden construir tomando intersecciones , uniones y complementos de conjuntos ; estos siempre se pueden tomar como medibles. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle \mu (A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La evolución temporal del sistema se describe mediante un mapa . Dado un subconjunto , su mapa será en general una versión deformada de : se aplasta o se estira, se pliega o se corta en pedazos. Algunos ejemplos matemáticos incluyen el mapa del panadero y el mapa de herradura , ambos inspirados en la elaboración del pan . El conjunto debe tener el mismo volumen que ; el aplastamiento o el estiramiento no altera el volumen del espacio, solo su distribución. Un sistema de este tipo es "preservador de la medida" (preserva el área, preserva el volumen). ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(A)}$ ${\displaystyle A}$

Una dificultad formal surge cuando uno intenta reconciliar el volumen de los conjuntos con la necesidad de preservar su tamaño bajo una función. El problema surge porque, en general, varios puntos diferentes en el dominio de una función pueden mapearse al mismo punto en su rango; es decir, puede haber con ⁠ ⁠ . Peor aún, un solo punto no tiene tamaño. Estas dificultades se pueden evitar trabajando con la función inversa ⁠ ⁠ ; mapeará cualquier subconjunto dado a las partes que se ensamblaron para hacerlo: estas partes son ⁠ ⁠ . Tiene la propiedad importante de no "perder la pista" de dónde vinieron las cosas. Más fuertemente, tiene la propiedad importante de que cualquier función (que preserva la medida) es la inversa de alguna función ⁠ ⁠ . La definición apropiada de una función que preserva el volumen es una para la cual porque describe todas las piezas-partes de las que vinieron. ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle T(x)=T(y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T^{-1}:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A\subset X}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X\to X}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Ahora nos interesa estudiar la evolución temporal del sistema. Si un conjunto visita eventualmente todos los de durante un largo período de tiempo (es decir, si se acerca a todos los de para valores grandes de ), se dice que el sistema es ergódico . Si cada conjunto se comporta de esta manera, el sistema es un sistema conservativo , en contraste con un sistema disipativo , donde algunos subconjuntos se alejan , para nunca volver a ellos. Un ejemplo sería el agua que corre cuesta abajo: una vez que se ha ido, nunca volverá a subir. El lago que se forma en el fondo de este río puede, sin embargo, llegar a estar bien mezclado. El teorema de descomposición ergódica establece que cada sistema ergódico se puede dividir en dos partes: la parte conservativa y la parte disipativa. ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cup _{k=1}^{n}T^{k}(A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

La mezcla es una afirmación más fuerte que la ergodicidad. La mezcla exige que esta propiedad ergódica se mantenga entre dos conjuntos cualesquiera ⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B}$ , y no solo entre algún conjunto y ⁠ ⁠ . Es decir, dados dos conjuntos cualesquiera ⁠ ⁠ , se dice que un sistema es (topológicamente) mixto si hay un entero tal que, para todos y ⁠ ⁠ , se tiene que . Aquí, denota la intersección de conjuntos y es el conjunto vacío . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \varnothing }$

La definición anterior de mezcla topológica debería ser suficiente para proporcionar una idea informal de mezcla (es equivalente a la definición formal, que se da a continuación). Sin embargo, no mencionó el volumen de y ⁠ ⁠ , y, de hecho, hay otra definición que trabaja explícitamente con el volumen. Varias, en realidad; una tiene mezcla fuerte y mezcla débil; son inequivalentes, aunque un sistema de mezcla fuerte siempre es mezcla débil. Las definiciones basadas en medidas no son compatibles con la definición de mezcla topológica: hay sistemas que son uno, pero no el otro. La situación general sigue siendo confusa: por ejemplo, dados tres conjuntos ⁠ ⁠ , se puede definir 3-mezcla. A partir de 2020, no se sabe si 2-mezcla implica 3-mezcla. (Si uno piensa en la ergodicidad como "1-mezcla", entonces está claro que 1-mezcla no implica 2-mezcla; hay sistemas que son ergódicos pero no mezclan). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {A}}}$

El concepto de mezcla fuerte se hace en referencia al volumen de un par de conjuntos. Consideremos, por ejemplo, un conjunto de tintes de colores que se mezclan en una taza de algún tipo de líquido pegajoso, digamos jarabe de maíz, champú o algo similar. La experiencia práctica muestra que mezclar líquidos pegajosos puede ser bastante difícil: suele haber algún rincón del recipiente en el que es difícil mezclar el tinte. Elija como conjunto ese rincón difícil de alcanzar. La cuestión de la mezcla es entonces: ¿puede , después de un período de tiempo lo suficientemente largo, no solo penetrar sino también llenarse con la misma proporción que en otras partes? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Se formula la definición de mezcla fuerte como el requisito de que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(T^{-n}A\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

El parámetro tiempo sirve para separar y en el tiempo, de modo que uno está mezclando mientras se mantiene fijo el volumen de prueba. El producto es un poco más sutil. Imaginemos que el volumen es el 10% del volumen total, y que el volumen de tinte también será el 10% del total general. Si se distribuye uniformemente, entonces ocupa el 10% de , que a su vez es el 10% del total, y así, al final, después de mezclar, la parte de que está en es el 1% del volumen total. Es decir, Este producto de volúmenes tiene más que un parecido pasajero con el teorema de Bayes en probabilidades; esto no es un accidente, sino más bien una consecuencia de que la teoría de la medida y la teoría de la probabilidad son la misma teoría: comparten los mismos axiomas (los axiomas de Kolmogorov ), incluso aunque utilicen notación diferente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mu \left({\mbox{after-mixing}}(A)\cap B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

La razón para usar en lugar de en la definición es un poco sutil, pero se desprende de las mismas razones por las que se usó para definir el concepto de un mapa que preserva la medida. Al observar la cantidad de tinte que se mezcló en la esquina , uno quiere ver de dónde "provino" ese tinte (presumiblemente, se vertió en la parte superior, en algún momento en el pasado). Uno debe estar seguro de que cada lugar del que podría haber "provenido" eventualmente se mezcle en . ${\displaystyle T^{-n}A}$ ${\displaystyle T^{n}A}$ ${\displaystyle T^{-1}A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Mezcla en sistemas dinámicos

Sea un sistema dinámico que preserva la medida , donde T es el operador de evolución o desplazamiento temporal . Se dice que el sistema es de mezcla fuerte si, para cualquier , se tiene ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu \left(A\cap T^{-n}B\right)=\mu (A)\mu (B).}$

Para los desplazamientos parametrizados por una variable continua en lugar de un entero discreto n , se aplica la misma definición, pero reemplazada por donde g es el parámetro de tiempo continuo. ${\displaystyle T^{-n}}$ ${\displaystyle T_{g}}$

Se dice que un sistema dinámico es de mezcla débil si uno tiene

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\left|\mu (A\cap T^{-k}B)-\mu (A)\mu (B)\right|=0.}$

En otras palabras, ¿es una mezcla fuerte si en el sentido habitual, una mezcla débil si ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\to 0}$

${\displaystyle \left|\mu (A\cap T^{-n}B)-\mu (A)\mu (B)\right|\to 0,}$

en el sentido de Cesáro , y ergódico si en el sentido de Cesáro. Por lo tanto, la mezcla fuerte implica mezcla débil, lo que implica ergodicidad. Sin embargo, lo inverso no es cierto: existen sistemas dinámicos ergódicos que no son de mezcla débil, y sistemas dinámicos de mezcla débil que no son de mezcla fuerte. El sistema de Chacón fue históricamente el primer ejemplo dado de un sistema que es de mezcla débil pero no de mezcla fuerte. ^[1] ${\displaystyle \mu \left(A\cap T^{-n}B\right)\to \mu (A)\mu (B)}$

Teorema. La mezcla débil implica ergodicidad.

Demostración. Si la acción del mapa se descompone en dos componentes ⁠ ⁠ ${\displaystyle A,B}$ , entonces tenemos ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A\cap B)=\mu (\emptyset )=0}$ , por lo que la mezcla débil implica ⁠ ⁠ ${\displaystyle \vert \mu (A\cap B)-\mu (A)\mu (B)\vert =0}$ , por lo que uno de ellos tiene medida cero y el otro tiene medida completa. ${\displaystyle A,B}$

Cobertura de familias

Dado un espacio topológico, como el intervalo unitario (ya sea que tenga sus puntos finales o no), podemos construir una medida sobre él tomando los conjuntos abiertos, luego tomando sus uniones, complementos, uniones, complementos, y así sucesivamente hasta el infinito , para obtener todos los conjuntos de Borel . A continuación, definimos una medida sobre los conjuntos de Borel, luego agregamos todos los subconjuntos de medida-cero ("conjuntos despreciables"). Así es como obtenemos la medida de Lebesgue y los conjuntos medibles de Lebesgue. ${\displaystyle \mu }$

En la mayoría de las aplicaciones de la teoría ergódica, el espacio subyacente es casi en todas partes isomorfo a un subconjunto abierto de algún , y por lo tanto es un espacio de medida de Lebesgue. La verificación de la mezcla fuerte se puede simplificar si solo necesitamos verificar un conjunto más pequeño de conjuntos mensurables. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una familia de cobertura es un conjunto de conjuntos mensurables, de modo que cualquier conjunto abierto es una unión disjunta de los conjuntos que lo componen. Compárese esto con la base en topología , que es menos restrictiva ya que permite uniones no disjuntas. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Teorema. Para los espacios de medida de Lebesgue, si es preservador de la medida, y para todos en una familia de recubrimiento, entonces es mezcla fuerte. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle T}$

Demostración. Extendemos la ecuación de mezcla desde todos los de la familia de recubrimiento, a todos los conjuntos abiertos por unión disjunta, a todos los conjuntos cerrados tomando el complemento, a todos los conjuntos medibles usando la regularidad de la medida de Lebesgue para aproximar cualquier conjunto con conjuntos abiertos y cerrados. Por lo tanto, para todos los medibles ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \lim _{n}\mu (T^{-n}(A)\cap B)=\mu (A)\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B}$

yo2formulación

Las propiedades de ergodicidad, mezcla débil y mezcla fuerte de un sistema dinámico que preserva la medida también se pueden caracterizar por el promedio de observables. Por el teorema ergódico de von Neumann, la ergodicidad de un sistema dinámico es equivalente a la propiedad de que, para cualquier función , la secuencia converge fuertemente y en el sentido de Cesàro a ⁠ ⁠ , es decir, ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}f\circ T^{n}-\int _{X}f\,d\mu \right\|_{L^{2}(X,\mu )}=0.}$

Un sistema dinámico es débilmente mixto si, para cualquier función y ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{1 \over N}\sum _{n=0}^{N-1}\left|\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu -\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu \right|=0.}$

Un sistema dinámico es fuertemente mixto si, para cualquier función ⁠ ⁠ , la secuencia converge débilmente a ⁠ ⁠ , es decir, para cualquier función ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle (f\circ T^{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu }$ ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}f\circ T^{n}\cdot g\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu \cdot \int _{X}g\,d\mu .}$

Dado que se supone que el sistema preserva la medida, esta última línea es equivalente a decir que la covarianza ⁠ ⁠ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Cov} (f\circ T^{n},g)=0}$ , de modo que las variables aleatorias y se vuelven ortogonales a medida que crece. En realidad, dado que esto funciona para cualquier función ⁠ ⁠ , uno puede ver informalmente la mezcla como la propiedad de que las variables aleatorias y se vuelven independientes a medida que crece. ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ T^{n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$

Productos de sistemas dinámicos

Dados dos sistemas dinámicos medidos y se puede construir un sistema dinámico sobre el producto cartesiano definiendo Entonces tenemos las siguientes caracterizaciones de mezcla débil: ^[2] ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S),}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$ ${\displaystyle (T\times S)(x,y)=(T(x),S(y)).}$

Proposición. Un sistema dinámico es débilmente mixto si y solo si, para cualquier sistema dinámico ergódico , el sistema también es ergódico. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X\times Y,\mu \otimes \nu ,T\times S)}$

Proposición. Un sistema dinámico es débilmente mixto si y sólo si también es ergódico. Si este es el caso, entonces también es débilmente mixto. ${\displaystyle (X,\mu ,T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$ ${\displaystyle (X^{2},\mu \otimes \mu ,T\times T)}$

Generalizaciones

La definición dada anteriormente a veces se denomina mezcla fuerte 2 , para distinguirla de órdenes superiores de mezcla. Un sistema de mezcla fuerte 3 puede definirse como un sistema para el cual

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }\mu (A\cap T^{-m}B\cap T^{-m-n}C)=\mu (A)\mu (B)\mu (C)}$

Esto se cumple para todos los conjuntos mensurables A , B , C. Podemos definir una fuerte mezcla k de manera similar. Un sistema que es una fuerte mezcla k para todos los k  = 2, 3, 4,... se llama mezcla de todos los órdenes .

Se desconoce si una fuerte mezcla 2 implica una fuerte mezcla 3. Se sabe que una fuerte mezcla m implica ergodicidad .

Ejemplos

Las rotaciones irracionales del círculo y, más generalmente, las traslaciones irreducibles en un toro, son ergódicas pero no se mezclan ni fuerte ni débilmente con respecto a la medida de Lebesgue.

Muchos mapas considerados como caóticos son fuertemente mezclables para alguna medida invariante bien elegida, incluyendo: el mapa diádico , el mapa del gato de Arnold , los mapas de herradura , los automorfismos de Kolmogorov y el flujo de Anosov (el flujo geodésico en el fibrado tangente unitario de variedades compactas de curvatura negativa ).

El mapa diádico es "desplazamiento a la izquierda en binario". En general, para cualquier , el mapa "desplazamiento a la izquierda en base ⁠ ⁠ " es fuertemente mixto en la familia de recubrimiento ⁠ ⁠ , por lo tanto es fuertemente mixto en ⁠ ⁠ , y por lo tanto es fuertemente mixto en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n\in \{2,3,\dots \}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T(x)=nx{\bmod {1}}}$ ${\displaystyle \left\{\left({\tfrac {k}{n^{s}}},{\tfrac {k+1}{n^{s}}}\right)\smallsetminus \mathbb {Q} :s\geq 0,\leq k<n^{s}\right\}}$ ${\displaystyle (0,1)\smallsetminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [0,1]}$

De manera similar, para cualquier alfabeto finito o contable ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Sigma }$ , podemos imponerle una distribución de probabilidad discreta, luego considerar la distribución de probabilidad en el espacio de "lanzamiento de moneda", donde cada "lanzamiento de moneda" puede tomar resultados de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Sigma }$ . Podemos construir el espacio simplemente infinito o el espacio doblemente infinito ⁠ ⁠ . En ambos casos, el mapa de desplazamiento (una letra a la izquierda) es fuertemente mixto, ya que es fuertemente mixto en la familia de recubrimiento de conjuntos de cilindros. El mapa de Baker es isomorfo a un mapa de desplazamiento, por lo que es fuertemente mixto. ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\mathbb {Z} }}$

Mezcla topológica

Se puede definir una forma de mezcla sin recurrir a una medida , utilizando únicamente la topología del sistema. Se dice que una función continua es topológicamente transitiva si, para cada par de conjuntos abiertos no vacíos , existe un entero n tal que ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle A,B\subset X}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$

donde es el n- ésimo iterado de f . En la teoría de operadores , un operador lineal transitivo topológicamente acotado (una función lineal continua en un espacio vectorial topológico ) se denomina habitualmente operador hipercíclico . Una idea relacionada se expresa mediante el conjunto errante . ${\displaystyle f^{n}}$

Lema: Si X es un espacio métrico completo sin ningún punto aislado , entonces f es topológicamente transitiva si y sólo si existe un punto hipercíclico , es decir, un punto x tal que su órbita es densa en X. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x):n\in \mathbb {N} \}}$

Se dice que un sistema es topológicamente mixto si, dados conjuntos abiertos y ⁠ ⁠ , existe un entero N , tal que, para todo ⁠ ⁠ , se tiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(A)\cap B\neq \varnothing .}$

Para un sistema de tiempo continuo, se reemplaza por el flujo ⁠ ⁠ , donde g es el parámetro continuo, con el requisito de que se cumpla una intersección no vacía para todo ⁠ ⁠ . ${\displaystyle f^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{g}}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert >N}$

Una mezcla topológica débil es aquella que no tiene funciones propias continuas no constantes (con respecto a la topología) del operador de desplazamiento.

La mezcla topológica no implica ni está implicada ni por una mezcla débil ni por una mezcla fuerte: hay ejemplos de sistemas que son una mezcla débil pero no una mezcla topológica, y ejemplos que son una mezcla topológica pero no una mezcla fuerte.

Mezcla en procesos estocásticos

Sea un proceso estocástico en un espacio de probabilidad ⁠ ⁠ . El espacio de secuencia en el que se mapea el proceso puede dotarse de una topología, la topología del producto . Los conjuntos abiertos de esta topología se denominan conjuntos cilíndricos . Estos conjuntos cilíndricos generan una σ-álgebra , la σ-álgebra de Borel ; esta es la σ-álgebra más pequeña que contiene la topología. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$

Defina una función , llamada coeficiente de mezcla fuerte , como ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \alpha (s)=\sup \left\{|\mathbb {P} (A\cap B)-\mathbb {P} (A)\mathbb {P} (B)|:-\infty <t<\infty ,A\in X_{-\infty }^{t},B\in X_{t+s}^{\infty }\right\}}$

para todo ⁠ ⁠ ${\displaystyle -\infty <s<\infty }$ . El símbolo , con denota una sub-σ-álgebra del σ-álgebra; es el conjunto de conjuntos de cilindros que se especifican entre los tiempos a y b , es decir, el σ-álgebra generado por ⁠ ⁠ . ${\displaystyle X_{a}^{b}}$ ${\displaystyle -\infty \leq a\leq b\leq \infty }$ ${\displaystyle \{X_{a},X_{a+1},\ldots ,X_{b}\}}$

Se dice que el proceso es fuertemente mixto si como ⁠ ⁠ . Es decir, un proceso fuertemente mixto es tal que, de manera uniforme en todos los tiempos y todos los eventos, los eventos anteriores al tiempo y los eventos posteriores al tiempo tienden a ser independientes como ; más coloquialmente, el proceso, en un sentido fuerte, olvida su historia. ${\displaystyle (X_{t})_{-\infty <t<\infty }}$ ${\displaystyle \alpha (s)\to 0}$ ${\displaystyle s\to \infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t+s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

Mezcla en procesos de Markov

Supóngase que se trata de un proceso estacionario de Markov con distribución estacionaria y sea el espacio de funciones medibles por Borel que son integrables al cuadrado con respecto a la medida . Sea también ${\displaystyle (X_{t})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)=\mathbb {E} [\varphi (X_{t})\mid X_{0}=x]}$

denota el operador de expectativa condicional en Finalmente, sea ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {Q} ).}$

${\displaystyle Z=\left\{\varphi \in L^{2}(\mathbb {Q} ):\int \varphi \,d\mathbb {Q} =0\right\}}$

denota el espacio de funciones integrables al cuadrado con media cero.

Los coeficientes de mezcla ρ del proceso { x _t } son

${\displaystyle \rho _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\,\|\varphi \|_{2}=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{2}.}$

El proceso se denomina ρ -mezcla si estos coeficientes convergen a cero cuando t → ∞ , y “ ρ -mezcla con tasa de decaimiento exponencial” si ρ _t < e ^{− δt} para algún δ > 0 . Para un proceso de Markov estacionario, los coeficientes ρ _t pueden decaer a una tasa exponencial o ser siempre iguales a uno. ^[3]

Los coeficientes de mezcla α del proceso { x _t } son

${\displaystyle \alpha _{t}=\sup _{\varphi \in Z:\|\varphi \|_{\infty }=1}\|{\mathcal {E}}_{t}\varphi \|_{1}.}$

El proceso se denomina α -mezcla si estos coeficientes convergen a cero cuando t → ∞ , es " α -mezcla con tasa de decaimiento exponencial " si α _t < γe ^{− δt} para algún δ > 0 , y es α -mezcla con una tasa de decaimiento subexponencial si α _t < ξ ( t ) para alguna función no creciente que satisface ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

como ⁠ ⁠ ${\displaystyle t\to \infty }$ . ^[3]

Los coeficientes de mezcla α son siempre menores que los de mezcla ρ : α _t ≤ ρ _t , por lo tanto, si el proceso es de mezcla ρ , necesariamente será también de mezcla α . Sin embargo, cuando ρ _t = 1 , el proceso puede seguir siendo de mezcla α , con una tasa de decaimiento subexponencial.

Los coeficientes de mezcla β se dan por

${\displaystyle \beta _{t}=\int \sup _{0\leq \varphi \leq 1}\left|{\mathcal {E}}_{t}\varphi (x)-\int \varphi \,d\mathbb {Q} \right|\,d\mathbb {Q} .}$

El proceso se denomina β -mezcla si estos coeficientes convergen a cero cuando t → ∞ , es β -mezcla con una tasa de decaimiento exponencial si β _t < γe ^{− δt} para algún δ > 0 , y es β -mezcla con una tasa de decaimiento subexponencial si β _t ξ ( t ) → 0 cuando t → ∞ para alguna función no creciente que satisface ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {\ln \xi (t)}{t}}\to 0}$

como . ^[3] ${\displaystyle t\to \infty }$

Un proceso de Markov estrictamente estacionario es β -mix si y solo si es una cadena de Harris recurrente aperiódica . Los coeficientes de β -mix son siempre mayores que los de α -mix, por lo que si un proceso es β -mix también será α -mix. No existe una relación directa entre β -mix y ρ -mix: ninguna de ellas implica a la otra.

Referencias

• VI Arnold y A. Avez, Problemas ergódicos de la mecánica clásica , (1968) WA Benjamin, Inc.
• Manfred Einsiedler y Thomas Ward, Teoría ergódica con vistas a la teoría de números , (2011) Springer ISBN  978-0-85729-020-5
• Achim Klenke, Teoría de la probabilidad , (2006) Springer ISBN 978-1-84800-047-6 
• Chen, Xiaohong; Hansen, Lars Peter; Carrasco, Marine (2010). "No linealidad y dependencia temporal". Journal of Econometrics . 155 (2): 155–169. CiteSeerX  10.1.1.597.8777 . doi :10.1016/j.jeconom.2009.10.001. S2CID  10567129.

1. Matthew Nicol y Karl Petersen, (2009) "Teoría ergódica: ejemplos básicos y construcciones", Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
2. Teorema 2.36, Manfred Einsiedler y Thomas Ward, Teoría ergódica con vistas a la teoría de números , (2011) Springer ISBN 978-0-85729-020-5 
3. Chen, Hansen y Carrasco (2010)