Rotación irracional

Rotación de un círculo en un ángulo de π multiplicado por un número irracional

Secuencia de Sturm generada por rotación irracional con theta=0,2882748715208621 y x=0,078943143

En la teoría matemática de sistemas dinámicos , una rotación irracional es una función

${\displaystyle T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1,}$

donde θ es un número irracional . Bajo la identificación de un círculo con R / Z , o con el intervalo [0, 1] con los puntos límite pegados entre sí, este mapa se convierte en una rotación de un círculo por una proporción θ de una revolución completa (es decir, un ángulo de 2 πθ  radianes). Como θ es irracional, la rotación tiene un orden infinito en el grupo de círculos y el mapa T _θ no tiene órbitas periódicas .

Alternativamente, podemos utilizar la notación multiplicativa para una rotación irracional introduciendo el mapa

${\displaystyle T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }}$

La relación entre las notaciones aditivas y multiplicativas es el isomorfismo de grupo.

${\displaystyle \varphi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi i\theta }}$.

Se puede demostrar que φ es una isometría .

Existe una fuerte distinción en las rotaciones circulares que depende de si θ es racional o irracional. Las rotaciones racionales son ejemplos menos interesantes de sistemas dinámicos porque si y , entonces cuando . También se puede demostrar que cuando . ${\displaystyle \theta ={\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$ ${\displaystyle T_{\theta }^{b}(x)=x}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle T_{\theta }^{i}(x)\neq x}$ ${\displaystyle 1\leq i<b}$

Significado

Las rotaciones irracionales forman un ejemplo fundamental en la teoría de sistemas dinámicos . Según el teorema de Denjoy , cada C ² -difeomorfismo que preserva la orientación del círculo con un número de rotación irracional θ es topológicamente conjugado a T _θ . Una rotación irracional es una transformación ergódica que preserva la medida , pero no es mixta . El mapa de Poincaré para el sistema dinámico asociado con la foliación de Kronecker en un toro con ángulo θ > es la rotación irracional por θ . Las C*-álgebras asociadas con rotaciones irracionales, conocidas como álgebras de rotación irracional , han sido ampliamente estudiadas.

Propiedades

• Si θ es irracional, entonces la órbita de cualquier elemento de [0, 1] bajo la rotación T _θ es densa en [0, 1] . Por lo tanto, las rotaciones irracionales son topológicamente transitivas .
• Las rotaciones irracionales (y racionales) no se mezclan topológicamente .
• Las rotaciones irracionales son únicamente ergódicas , y la medida de Lebesgue sirve como la única medida de probabilidad invariante.
• Supongamos que [ a , b ] ⊂ [0, 1] . Como T _θ es ergódico, .
  ${\displaystyle {\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=b-a}$

Generalizaciones

• Las rotaciones circulares son ejemplos de traslaciones grupales .
• Para una orientación general que preserva el homomorfismo f de S ¹ consigo mismo, llamamos homeomorfismo a una elevación de f si donde . ^[1] ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi \circ F=f\circ \pi }$ ${\displaystyle \pi (t)=t{\bmod {1}}}$
• La rotación del círculo puede considerarse como una subdivisión de un círculo en dos partes, que luego se permutan entre sí. Una subdivisión en más de dos partes, que luego se permutan entre sí, se denomina transformación de intercambio de intervalo .
• Las rotaciones rígidas de grupos compactos se comportan efectivamente como rotaciones circulares; la medida invariante es la medida de Haar .

Aplicaciones

• Productos sesgados sobre rotaciones del círculo: En 1969 ^[2] William A. Veech construyó ejemplos de sistemas dinámicos mínimos y no únicamente ergódicos de la siguiente manera: "Tome dos copias del círculo unitario y marque el segmento J de longitud 2 πα en la dirección contraria a las agujas del reloj en cada una con el punto final en 0. Ahora tome θ irracional y considere el siguiente sistema dinámico. Comience con un punto p , digamos en el primer círculo. Gire en sentido contrario a las agujas del reloj 2 πθ hasta la primera vez que la órbita aterrice en J ; luego cambie al punto correspondiente en el segundo círculo, gire 2 πθ hasta la primera vez que el punto aterrice en J ; cambie nuevamente al primer círculo y así sucesivamente. Veech demostró que si θ es irracional, entonces existe α irracional para el cual este sistema es mínimo y la medida de Lebesgue no es únicamente ergódico". ^[3]

Véase también

• Mapa de Bernoulli
• Aritmética modular
• Disco de Siegel
• Álgebra de Toeplitz
• Bloqueo de fase (mapa circular)
• secuencia de weyl

Referencias

1. Fisher, Todd (2007). "Homomorfismos de círculos" (PDF) .
2. Veech, William (agosto de 1968). "Un teorema de Kronecker-Weyl módulo 2". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 60 (4): 1163–1164. Bibcode :1968PNAS...60.1163V. doi : 10.1073/pnas.60.4.1163 . PMC 224897 . PMID  16591677. 
3. Masur, Howard; Tabachnikov, Serge (2002). "Billar racional y estructuras planas". En Hasselblatt, B.; Katok, A. (eds.). Manual de sistemas dinámicos (PDF) . Vol. IA. Elsevier.

Lectura adicional

• CE Silva, Invitación a la teoría ergódica , Student Mathematical Library, vol 42, American Mathematical Society , 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5