En álgebras de operadores , el álgebra de Toeplitz es el C*-álgebra generada por el desplazamiento unilateral en el espacio de Hilbert l 2 ( N ) . [1] Tomando l 2 ( N ) como el espacio de Hardy H 2 , el álgebra de Toeplitz consta de elementos de la forma
donde T f es un operador de Toeplitz con símbolo continuo y K es un operador compacto .
Los operadores de Toeplitz con símbolos continuos conmutan módulo los operadores compactos. Por lo tanto, el álgebra de Toeplitz puede considerarse como la extensión del álgebra C* de las funciones continuas en el círculo mediante los operadores compactos. Esta extensión se denomina extensión de Toeplitz .
Por el teorema de Atkinson , un elemento del álgebra de Toeplitz T f + K es un operador de Fredholm si y solo si el símbolo f de T f es invertible. En ese caso, el índice de Fredholm de T f + K es precisamente el número de vuelta de f , la clase de equivalencia de f en el grupo fundamental del círculo. Este es un caso especial del teorema del índice de Atiyah-Singer .
La descomposición de Wold caracteriza las isometrías propias que actúan sobre un espacio de Hilbert. A partir de esto, junto con las propiedades de los operadores de Toeplitz, se puede concluir que el álgebra de Toeplitz es el C*-álgebra universal generada por una isometría propia; este es el teorema de Coburn .
