Operador compacto en el espacio de Hilbert

En la disciplina matemática del análisis funcional , el concepto de operador compacto en el espacio de Hilbert es una extensión del concepto de matriz que actúa en un espacio vectorial de dimensión finita; en el espacio de Hilbert , los operadores compactos son precisamente la clausura de los operadores de rango finito (representables por matrices de dimensión finita) en la topología inducida por la norma del operador . Como tal, los resultados de la teoría de matrices a veces se pueden extender a los operadores compactos utilizando argumentos similares. Por el contrario, el estudio de los operadores generales en espacios de dimensión infinita a menudo requiere un enfoque genuinamente diferente.

Por ejemplo, la teoría espectral de operadores compactos en espacios de Banach adopta una forma muy similar a la forma canónica de Jordan de matrices. En el contexto de los espacios de Hilbert, una matriz cuadrada es diagonalizable unitariamente si y solo si es normal . Un resultado correspondiente se cumple para operadores compactos normales en espacios de Hilbert. De manera más general, se puede descartar el supuesto de compacidad. Como se indicó anteriormente, las técnicas utilizadas para demostrar resultados, por ejemplo, el teorema espectral , en el caso no compacto son típicamente diferentes, e involucran medidas con valores de operador en el espectro .

Se discutirán algunos resultados para operadores compactos en el espacio de Hilbert, comenzando con las propiedades generales antes de considerar las subclases de operadores compactos.

Definición

Sea un espacio de Hilbert y sea el conjunto de operadores acotados en . Entonces, se dice que un operador es un operador compacto si la imagen de cada conjunto acotado bajo es relativamente compacta . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L(H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T\in L(H)}$ ${\displaystyle T}$

Algunas propiedades generales

Enumeramos en esta sección algunas propiedades generales de los operadores compactos.

Si X e Y son espacios de Hilbert separables (de hecho, X Banach e Y normados serán suficientes), entonces T  : X → Y es compacto si y solo si es secuencialmente continuo cuando se lo ve como una función desde X con la topología débil hasta Y (con la topología de norma). (Véase (Zhu 2007, Teorema 1.14, p.11), y note en esta referencia que la acotación uniforme se aplicará en la situación donde F ⊆ X satisface (∀φ ∈ Hom( X , K )) sup{ x** (φ) = φ( x ) : x } < ∞, donde K es el cuerpo subyacente. El principio de acotación uniforme se aplica ya que Hom( X , K ) con la topología de norma será un espacio de Banach, y las funciones x**  : Hom( X , K ) → K son homomorfismos continuos con respecto a esta topología).

La familia de operadores compactos es un *-ideal bilateral, cerrado en cuanto a la norma, en L ( H ). En consecuencia, un operador compacto T no puede tener una inversa acotada si H es de dimensión infinita. Si ST = TS = I , entonces el operador identidad sería compacto, una contradicción.

Si las secuencias de operadores acotados B _n → B , C _n → C en la topología de operadores fuerte y T es compacto, entonces converge a en norma. ^[1] Por ejemplo, considere el espacio de Hilbert con base estándar { e _n }. Sea P _m la proyección ortogonal sobre el espacio lineal de { e ₁ , ..., e _m }. La secuencia { P _m } converge al operador identidad I fuertemente pero no uniformemente. Defina T por T es compacto y, como se afirmó anteriormente, P _m T → IT = T en la topología de operadores uniforme: para todo x , ${\displaystyle B_{n}TC_{n}^{*}}$ ${\displaystyle BTC^{*}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {N} ),}$ ${\displaystyle Te_{n}={\tfrac {1}{n^{2}}}e_{n}.}$ $${\displaystyle \left\|P_{m}Tx-Tx\right\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|.}$$

Nótese que cada P _m es un operador de rango finito. Un razonamiento similar muestra que si T es compacto, entonces T es el límite uniforme de alguna secuencia de operadores de rango finito.

Debido a la clausura normativa del ideal de los operadores compactos, lo inverso también es cierto.

El álgebra C* cociente de L ( H ) módulo los operadores compactos se llama álgebra de Calkin , en la que se pueden considerar propiedades de un operador hasta una perturbación compacta.

Operador autoadjunto compacto

Se dice que un operador acotado T en un espacio de Hilbert H es autoadjunto si T = T* , o equivalentemente,

$${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H.}$$

De ello se deduce que ⟨ Tx , x ⟩ es real para todo x ∈ H , por lo que los valores propios de T , cuando existen, son reales. Cuando un subespacio lineal cerrado L de H es invariante bajo T , entonces la restricción de T a L es un operador autoadjunto en L , y además, el complemento ortogonal L ^⊥ de L también es invariante bajo T . Por ejemplo, el espacio H puede descomponerse como la suma directa ortogonal de dos subespacios lineales cerrados invariantes en T : el núcleo de T , y el complemento ortogonal (ker T ) ^⊥ del núcleo (que es igual al cierre del rango de T , para cualquier operador autoadjunto acotado). Estos hechos básicos juegan un papel importante en la demostración del teorema espectral a continuación.

El resultado de la clasificación para matrices hermíticas n × n es el teorema espectral : Si M = M* , entonces M es diagonalizable unitariamente y la diagonalización de M tiene entradas reales. Sea T un operador autoadjunto compacto en un espacio de Hilbert H. Probaremos la misma afirmación para T : el operador T puede diagonalizarse mediante un conjunto ortonormal de vectores propios, cada uno de los cuales corresponde a un valor propio real.

Teorema espectral

Teorema Para cada operador autoadjunto compacto T en un espacio de Hilbert real o complejo H , existe una base ortonormal de H que consiste en vectores propios de T . Más específicamente, el complemento ortogonal del núcleo de T admite o bien una base ortonormal finita de vectores propios de T , o bien una base ortonormal infinita contable { e _n } de vectores propios de T , con valores propios correspondientes { λ _n } ⊂ R , tales que λ _n → 0 .

En otras palabras, un operador autoadjunto compacto puede diagonalizarse unitariamente. Este es el teorema espectral.

Cuando H es separable , se puede mezclar la base { e _n } con una base ortonormal contable para el núcleo de T , y obtener una base ortonormal { f _n } para H , que consiste en vectores propios de T con valores propios reales { μ _n } tales que μ _n → 0 .

Corolario Para cada operador autoadjunto compacto T en un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable real o complejo H , existe una base ortonormal infinita contable { f _n } de H que consiste en vectores propios de T , con valores propios correspondientes { μ _n } ⊂ R , tales que μ _n → 0 .

La idea

Analicemos primero la prueba de dimensión finita. La demostración del teorema espectral para una matriz hermítica n × n T depende de la demostración de la existencia de un vector propio x . Una vez hecho esto, la hermiticidad implica que tanto el espacio lineal como el complemento ortogonal de x (de dimensión n − 1) son subespacios invariantes de T . El resultado deseado se obtiene entonces por inducción para . ${\displaystyle T_{x^{\perp }}}$

La existencia de un vector propio se puede demostrar de (al menos) dos formas alternativas:

1. Se puede argumentar algebraicamente: el polinomio característico de T tiene una raíz compleja, por lo tanto, T tiene un valor propio con un vector propio correspondiente.
2. Los valores propios se pueden caracterizar variacionalmente: el valor propio más grande es el máximo en la esfera unitaria cerrada de la función f : R ^{2 n} → R definida por f ( x ) = x*Tx = ⟨ Tx , x ⟩ .

Nota. En el caso de dimensión finita, parte del primer enfoque funciona con mucha mayor generalidad; cualquier matriz cuadrada, no necesariamente hermítica, tiene un vector propio. Esto simplemente no es cierto para los operadores generales en espacios de Hilbert. En dimensiones infinitas, tampoco es inmediato cómo generalizar el concepto de polinomio característico.

El teorema espectral para el caso compacto autoadjunto se puede obtener de manera análoga: se encuentra un vector propio extendiendo el segundo argumento de dimensión finita anterior y luego se aplica la inducción. Primero esbozamos el argumento para matrices.

Como la esfera unitaria cerrada S en R ^{2 n} es compacta y f es continua, f ( S ) es compacta en la línea real, por lo tanto f alcanza un máximo en S , en algún vector unitario y . Por el teorema del multiplicador de Lagrange , y satisface para algún λ. Por hermiticidad, Ty = λ y . $${\displaystyle \nabla f=\nabla y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla y^{*}y}$$

Alternativamente, sea z ∈ C ⁿ cualquier vector. Nótese que si un vector unitario y maximiza ⟨ Tx , x ⟩ en la esfera unitaria (o en la bola unitaria), también maximiza el cociente de Rayleigh : $${\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}.}$$

Considere la función: $${\displaystyle {\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}}$$

Por cálculo, h ′(0) = 0 , es decir, $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\|y+tz\|^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{aligned}}}$$

Definir: $${\displaystyle m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}$$

Después de un poco de álgebra, la expresión anterior se convierte en ( Re denota la parte real de un número complejo) $${\displaystyle \operatorname {Re} (\langle Ty-my,z\rangle )=0.}$$

Pero z es arbitrario, por lo tanto Ty − my = 0. Este es el quid de la prueba del teorema espectral en el caso matricial.

Obsérvese que, si bien los multiplicadores de Lagrange se generalizan al caso de dimensión infinita, se pierde la compacidad de la esfera unitaria. Aquí es donde resulta útil la suposición de que el operador T es compacto.

Detalles

Afirmación   Si T es un operador autoadjunto compacto en un espacio de Hilbert distinto de cero H y entonces m ( T ) o − m ( T ) es un valor propio de T . $${\displaystyle m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}},}$$

Si m ( T ) = 0 , entonces T = 0 por la identidad de polarización , y este caso es claro. Considere la función $${\displaystyle {\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}}$$

Reemplazando T por − T si es necesario, se puede suponer que el supremo de f en la bola unitaria cerrada B ⊂ H es igual a m ( T ) > 0 . Si f alcanza su máximo m ( T ) en B en algún vector unitario y , entonces, por el mismo argumento usado para matrices, y es un vector propio de T , con valor propio correspondiente λ = ⟨ λy , y ⟩ = ⟨ Ty , y ⟩ = f ( y ) = m ( T ) .

Por el teorema de Banach-Alaoglu y la reflexividad de H , la bola unitaria cerrada B es débilmente compacta. Además, la compacidad de T significa (ver arriba) que T  : X con la topología débil → X con la topología de norma es continua ^{[ disputado – discutir ]} . Estos dos hechos implican que f es continua en B equipada con la topología débil, y f alcanza por lo tanto su máximo m en B en algún y ∈ B . Por maximalidad, que a su vez implica que y también maximiza el cociente de Rayleigh g ( x ) (ver arriba). Esto muestra que y es un vector propio de T , y termina la prueba de la afirmación. ${\displaystyle \|y\|=1,}$

Nota. La compacidad de T es crucial. En general, f no necesita ser continua para la topología débil en la bola unitaria B. Por ejemplo, sea T el operador identidad, que no es compacto cuando H es de dimensión infinita. Tome cualquier secuencia ortonormal { y _n }. Entonces y _n converge a 0 débilmente, pero lim f ( y _n ) = 1 ≠ 0 = f (0).

Sea T un operador compacto en un espacio de Hilbert H . Una secuencia ortonormal finita (posiblemente vacía) o numerablemente infinita { e _n } de vectores propios de T , con valores propios no nulos correspondientes, se construye por inducción de la siguiente manera. Sea H ₀ = H y T ₀ = T . Si m ( T ₀ ) = 0, entonces T = 0 y la construcción se detiene sin producir ningún vector propio e _n . Supóngase que se han encontrado los vectores propios ortonormales e ₀ , ..., e _{n − 1} de T . Entonces E _n  := span( e ₀ , ..., e _{n − 1} ) es invariante bajo T , y por autoadjunción, el complemento ortogonal H _n de E _n es un subespacio invariante de T . Sea T _n la restricción de T a H _n . Si m ( T _n ) = 0, entonces T _n = 0 y la construcción se detiene. De lo contrario, por la afirmación aplicada a T _n , existe un vector propio de norma uno e _n de T en H _n , con valor propio correspondiente distinto de cero λ _n = ± m ( T _n ) .

Sea F = (span{ e _n }) ^⊥ , donde { e _n } es la secuencia finita o infinita construida por el proceso inductivo; por autoadjunción, F es invariante bajo T . Sea S la restricción de T a F . Si el proceso se detuviera después de un número finito de pasos, con el último vector e _{m −1} , entonces F = H _m y S = T _m = 0 por construcción. En el caso infinito, la compacidad de T y la convergencia débil de e _n a 0 implican que Te _n = λ _n e _n → 0 , por lo tanto λ _n → 0 . Dado que F está contenido en H _n para cada n , se sigue que m ( S ) ≤ m ({ T _n }) = | λ _n | para cada n , por lo tanto m ( S ) = 0. Esto implica nuevamente que S = 0 .

El hecho de que S = 0 significa que F está contenido en el núcleo de T . Por el contrario, si x ∈ ker( T ) entonces por autoadjunción, x es ortogonal a todo vector propio { e _n } con valor propio distinto de cero. De ello se deduce que F = ker( T ) , y que { e _n } es una base ortonormal para el complemento ortogonal del núcleo de T . Se puede completar la diagonalización de T seleccionando una base ortonormal del núcleo. Esto demuestra el teorema espectral.

Una prueba más corta pero más abstracta es la siguiente: por el lema de Zorn , seleccione U como un subconjunto maximalista de H con las siguientes tres propiedades: todos los elementos de U son vectores propios de T , tienen norma uno y dos elementos distintos de U son ortogonales. Sea F el complemento ortogonal del espacio lineal de U. Si F ≠ {0}, es un subespacio invariante no trivial de T y, por la afirmación inicial, debe existir un vector propio de norma uno y de T en F. Pero entonces U ∪ { y } contradice la maximalidad de U. Se sigue que F = {0}, por lo tanto, el espacio( U ) es denso en H. Esto muestra que U es una base ortonormal de H que consiste en vectores propios de T.

Cálculo funcional

Si T es compacto en un espacio de Hilbert de dimensión infinita H , entonces T no es invertible, por lo tanto σ( T ), el espectro de T , siempre contiene 0. El teorema espectral muestra que σ( T ) consiste en los valores propios { λ _n } de T y de 0 (si 0 no es ya un valor propio). El conjunto σ( T ) es un subconjunto compacto de los números complejos, y los valores propios son densos en σ( T ).

Cualquier teorema espectral puede reformularse en términos de un cálculo funcional . En el presente contexto, tenemos:

Teorema. Sea C (σ( T )) la C*-álgebra de funciones continuas en σ( T ). Existe un único homomorfismo isométrico Φ : C (σ( T )) → L ( H ) tal que Φ(1) = I y, si f es la función identidad f ( λ ) = λ , entonces Φ( f ) = T . Además, σ( f ( T )) = f (σ( T )) .

La función de cálculo funcional Φ se define de forma natural: sea { e _n } una base ortonormal de vectores propios para H , con valores propios correspondientes { λ _n }; para f ∈ C (σ( T )) , el operador Φ( f ), diagonal respecto de la base ortonormal { e _n }, se define estableciendo para cada n . Como Φ( f ) es diagonal respecto de una base ortonormal, su norma es igual al supremo del módulo de los coeficientes diagonales, $${\displaystyle \Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}}$$ $${\displaystyle \|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}.}$$

Las demás propiedades de Φ se pueden verificar fácilmente. A la inversa, cualquier homomorfismo Ψ que satisfaga los requisitos del teorema debe coincidir con Φ cuando f es un polinomio. Por el teorema de aproximación de Weierstrass , las funciones polinómicas son densas en C (σ( T )), y se deduce que Ψ = Φ . Esto demuestra que Φ es único.

El cálculo funcional continuo más general se puede definir para cualquier operador lineal autoadjunto (o incluso normal, en el caso complejo) acotado en un espacio de Hilbert. El caso compacto que se describe aquí es un ejemplo particularmente simple de este cálculo funcional.

Diagonalización simultánea

Considérese un espacio de Hilbert H (por ejemplo, el C ⁿ de dimensión finita ) y un conjunto conmutativo de operadores autoadjuntos. Entonces, en condiciones adecuadas, puede diagonalizarse simultáneamente (unitariamente). Es decir , existe una base ortonormal Q que consiste en vectores propios comunes para los operadores, es decir, ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$ $${\displaystyle (\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})(\exists {\sigma \in \mathbf {C} })(T-\sigma )q=0}$$

Lema  —  Supongamos que todos los operadores en son compactos. Entonces, cada subespacio cerrado invariante distinto de cero tiene un vector propio común para . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S\subseteq H}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Prueba

Caso I: todos los operadores tienen cada uno exactamente un valor propio en . Tome cualquier valor de longitud unitaria. Es un vector propio común. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$

Caso II: hay algún operador con al menos 2 valores propios en y sea . Como T es compacto y α no es cero, tenemos es un subespacio invariante distinto de cero de dimensión finita (y por lo tanto cerrado) (porque todos los operadores conmutan con T , tenemos para y , que ). En particular, como α es solo uno de los valores propios de en , definitivamente tenemos . Por lo tanto, en principio podríamos argumentar por inducción sobre la dimensión, obteniendo que tiene un vector propio común para . ${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)}$ ${\displaystyle S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$ ${\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \dim S'<\dim S}$ ${\displaystyle S'\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teorema 1  :  Si todos los operadores en son compactos, entonces los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente (unitariamente). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Prueba

El siguiente conjunto está parcialmente ordenado por inclusión. Esto claramente tiene la propiedad de Zorn. Entonces, tomando Q como miembro maximalista, si Q es una base para todo el espacio de Hilbert H , estamos listos. Si este no fuera el caso, entonces dejando , es fácil ver que este sería un subespacio cerrado no trivial -invariante; y por lo tanto, por el lema anterior, allí estaría un vector propio común para los operadores (necesariamente ortogonales a Q ). Pero entonces habría una extensión propia de Q dentro de P ; una contradicción con su maximalidad. $${\displaystyle \mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},}$$ ${\displaystyle S=\langle Q\rangle ^{\bot }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Teorema 2  —  Si hay un operador compacto inyectivo en ; entonces los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente (unitariamente). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Prueba

Arreglamos la inyectiva compacta. Entonces tenemos, por la teoría espectral de operadores simétricos compactos en espacios de Hilbert: donde es un subconjunto discreto y numerable de números reales positivos, y todos los espacios propios son de dimensión finita. Como es un conjunto conmutativo, tenemos que todos los espacios propios son invariantes. Como los operadores restringidos a los espacios propios (que son de dimensión finita) son automáticamente todos compactos, podemos aplicar el Teorema 1 a cada uno de estos, y encontrar bases ortonormales Q _σ para el . Como T ₀ es simétrico, tenemos que es un conjunto ortonormal (contable). También es, por la descomposición que planteamos primero, una base para H . ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},}$$ ${\displaystyle \sigma (T_{0})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \ker(T_{0}-\sigma )}$ $${\displaystyle Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }}$$

Teorema 3  —  Si H es un espacio de Hilbert de dimensión finita y un conjunto conmutativo de operadores, cada uno de los cuales es diagonalizable, entonces los operadores pueden diagonalizarse simultáneamente. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$

Prueba

Caso I: todos los operadores tienen exactamente un valor propio. Entonces cualquier base para H servirá.

Caso II: Fijemos un operador con al menos dos valores propios, y sea que sea un operador simétrico. Ahora sea α un valor propio de . Entonces es fácil ver que ambos: son subespacios no triviales -invariantes. Por inducción sobre dimensión tenemos que hay bases linealmente independientes Q ₁ , Q ₂ para los subespacios, lo que demuestra que los operadores en pueden ser diagonalizables simultáneamente en los subespacios. Claramente demuestra entonces que los operadores en pueden ser diagonalizados simultáneamente. ${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ ${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$ $${\displaystyle \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }}$$ ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$ ${\displaystyle P(Q_{1}\cup Q_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Observe que no tuvimos que utilizar directamente la maquinaria de matrices en esta demostración. Hay otras versiones que sí lo hacen.

Podemos reforzar lo anterior para el caso en el que todos los operadores simplemente conmutan con su adjunto; en este caso eliminamos el término "ortogonal" de la diagonalización. Hay resultados más débiles para los operadores que surgen de representaciones debidas a Weyl-Peter. Sea G un grupo de Hausdorff fijo localmente compacto, y (el espacio de funciones medibles integrables al cuadrado con respecto a la medida de Haar única a escala en G ). Consideremos la acción de desplazamiento continuo: ${\displaystyle H=L^{2}(G)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}G\times H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{cases}}}$$

Entonces, si G fuera compacto, entonces habría una descomposición única de H en una suma directa contable de subespacios invariantes, irreducibles y de dimensión finita (esto es esencialmente una diagonalización de la familia de operadores ). Si G no fuera compacto, sino abeliano, entonces no se lograría la diagonalización, pero obtendríamos una descomposición continua única de H en subespacios invariantes unidimensionales. ${\displaystyle G\subseteq U(H)}$

Operador normal compacto

La familia de matrices hermíticas es un subconjunto propio de matrices que son diagonalizables unitariamente. Una matriz M es diagonalizable unitariamente si y solo si es normal, es decir, M*M = MM* . Afirmaciones similares se aplican a los operadores normales compactos.

Sea T compacto y T*T = TT* . Apliquemos la descomposición cartesiana a T : definamos $${\displaystyle R={\frac {T+T^{*}}{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.}$$

Los operadores compactos autoadjuntos R y J se denominan partes reales e imaginarias de T, respectivamente. Que T sea compacto implica que T* y, en consecuencia, R y J son compactos. Además, la normalidad de T implica que R y J conmutan. Por lo tanto, pueden diagonalizarse simultáneamente, de lo que se desprende la afirmación.

Un operador compacto hiponormal (en particular, un operador subnormal ) es normal.

Operador unitario

El espectro de un operador unitario U se encuentra en el círculo unitario en el plano complejo; podría ser el círculo unitario completo. Sin embargo, si U es identidad más una perturbación compacta, U solo tiene un espectro numerable, que contiene 1 y, posiblemente, un conjunto finito o una secuencia que tiende a 1 en el círculo unitario. Más precisamente, supongamos que U = I + C donde C es compacto. Las ecuaciones UU* = U*U = I y C = U − I muestran que C es normal. El espectro de C contiene 0 y, posiblemente, un conjunto finito o una secuencia que tiende a 0. Como U = I + C , el espectro de U se obtiene desplazando el espectro de C en 1.

Ejemplos

• Sea H = L ² ([0, 1]) . El operador de multiplicación M definido por es un operador autoadjunto acotado en H que no tiene vector propio y, por lo tanto, por el teorema espectral, no puede ser compacto. $${\displaystyle (Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]}$$
• Un ejemplo de un operador compacto en un espacio de Hilbert que no es autoadjunto es el operador de Volterra , definido para una función y un valor como Es el operador correspondiente a las ecuaciones integrales de Volterra . ${\displaystyle f\in L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ $${\displaystyle V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.}$$
• Defina un núcleo de Hilbert-Schmidt en y su operador integral de Hilbert-Schmidt asociado como Entonces es un operador compacto; es un operador de Hilbert-Schmidt con norma de Hilbert-Schmidt . ${\displaystyle K:\Omega \times \Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ ${\displaystyle T_{K}:L^{2}(\Omega )\to L^{2}(\Omega )}$ $${\displaystyle (T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.}$$ ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \|T_{k}\|_{\mathrm {HS} }=\|K\|_{L^{2}}}$
• ${\displaystyle T_{K}}$es un operador autoadjunto compacto si y solo si es un núcleo hermítico que, según el teorema de Mercer , puede representarse como donde es una base ortonormal de vectores propios de , con valores propios y la suma converge de manera absoluta y uniforme en . ${\displaystyle K(x,y)}$ $${\displaystyle K(x,y)=\sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}},}$$ ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ ${\displaystyle T_{K}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{n}\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Véase también

• Álgebra de Calkin  : el cociente del anillo de operadores lineales acotados en el espacio de Hilbert de dimensión infinita separable por los operadores compactos idealesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Operador compacto  – Tipo de operador lineal continuo
• Descomposición del espectro (análisis funcional)  – Construcción en análisis funcional, útil para resolver ecuaciones diferenciales − Si se elimina el supuesto de compacidad, los operadores no necesitan tener espectro contable en general.
• Operador de Fredholm  : operador acotado con núcleo y co-núcleo, ambos de dimensión finitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Descomposición en valores singulares#Operadores acotados en espacios de Hilbert  – Descomposición matricial − La noción de valores singulares puede extenderse desde matrices a operadores compactos.
• Teoría espectral de operadores compactos
• Operador estrictamente singular

Referencias

1. Widom, H. (1976). "Comportamiento asintótico de matrices y determinantes de Toeplitz en bloque. II". Avances en Matemáticas . 21 (1): 1–29. doi : 10.1016/0001-8708(76)90113-4 .

• J. Blank, P. Exner y M. Havlicek, Operadores espaciales de Hilbert en física cuántica , Instituto Americano de Física, 1994.
• M. Reed y B. Simon, Métodos de física matemática moderna I: Análisis funcional , Academic Press, 1972.
• Zhu, Kehe (2007), Teoría de operadores en espacios de funciones , Estudios matemáticos y monografías, vol. 138, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3965-2