Espacio de secuencia

Espacio vectorial de sucesiones infinitas

En el análisis funcional y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de secuencias es un espacio vectorial cuyos elementos son secuencias infinitas de números reales o complejos . De manera equivalente, es un espacio de funciones cuyos elementos son funciones desde los números naturales hasta el cuerpo K de números reales o complejos. El conjunto de todas esas funciones se identifica naturalmente con el conjunto de todas las posibles secuencias infinitas con elementos en K , y se puede convertir en un espacio vectorial mediante las operaciones de adición puntual de funciones y multiplicación escalar puntual. Todos los espacios de secuencias son subespacios lineales de este espacio. Los espacios de secuencias suelen estar equipados con una norma , o al menos con la estructura de un espacio vectorial topológico .

Los espacios de secuencias más importantes en el análisis son los espacios ℓ ^p , que consisten en las secuencias sumables de potencias p , con la norma p . Estos son casos especiales de espacios L p para la medida de conteo en el conjunto de números naturales. Otras clases importantes de secuencias como las secuencias convergentes o secuencias nulas forman espacios de secuencias, denotados respectivamente c y c ₀ , con la norma sup . Cualquier espacio de secuencia también puede estar equipado con la topología de convergencia puntual , bajo la cual se convierte en un tipo especial de espacio de Fréchet llamado FK-espacio .

Definición

Una secuencia en un conjunto es simplemente un mapa con valores cuyo valor en se denota por en lugar de la notación habitual de paréntesis. ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x(n).}$

Espacio de todas las secuencias

Sea el campo de números reales o complejos. El conjunto de todas las sucesiones de elementos de es un espacio vectorial para la adición por componentes. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }+\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(x_{n}+y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },}$

y multiplicación escalar por componentes

${\displaystyle \alpha \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(\alpha x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

Un espacio de secuencia es cualquier subespacio lineal de ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$

Como espacio topológico, está naturalmente dotado de la topología de producto . Bajo esta topología, es Fréchet , lo que significa que es un espacio vectorial topológico (TVS) completo , metrizable y localmente convexo . Sin embargo, esta topología es bastante patológica: no hay normas continuas en (y por lo tanto la topología de producto no puede definirse por ninguna norma ). ^[1] Entre los espacios de Fréchet, es mínimo al no tener normas continuas: ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Teorema ^[1]  —  Sea un espacio de Fréchet sobre Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$

1. ${\displaystyle X}$no admite ninguna norma continua (es decir, cualquier seminorma continua en tiene un espacio nulo no trivial). ${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial complementado TVS-isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Pero la topología del producto también es inevitable: no admite una topología de Hausdorff estrictamente más burda , localmente convexa. ^[1] Por esa razón, el estudio de las sucesiones comienza por encontrar un subespacio estrictamente lineal de interés, y dotarlo de una topología diferente de la topología del subespacio . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

ℓ pespacios

Porque es el subespacio de que consiste en todas las secuencias que satisfacen ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ $${\displaystyle \sum _{n}|x_{n}|^{p}<\infty .}$$

Si entonces la función de valor real en definida por define una norma en De hecho, es un espacio métrico completo con respecto a esta norma, y ​​por lo tanto es un espacio de Banach . ${\displaystyle p\geq 1,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}~=~\left(\sum _{n}|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\qquad {\text{ for all }}x\in \ell ^{p}}$$ ${\displaystyle \ell ^{p}.}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Si entonces es también un espacio de Hilbert cuando está dotado de su producto interno canónico , llamado ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$Producto interno euclidiano , definido para todospor La norma canónica inducida por este producto interno es lanorma -usual, lo que significa quepara todos ${\displaystyle x_{\bullet },y_{\bullet }\in \ell ^{p}}$ $${\displaystyle \langle x_{\bullet },y_{\bullet }\rangle ~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}.}$$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \ell ^{p}.}$

Si entonces se define como el espacio de todas las secuencias acotadas dotadas de la norma, también es un espacio de Banach. ${\displaystyle p=\infty ,}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ $${\displaystyle \|x\|_{\infty }~=~\sup _{n}|x_{n}|,}$$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Si entonces no lleva una norma, sino más bien una métrica definida por ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ $${\displaystyle d(x,y)~=~\sum _{n}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}.\,}$$

do,do0y do00

Una sucesión convergente es cualquier sucesión tal que existe. El conjunto ${\displaystyle x_{\bullet }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle c}$de todas las secuencias convergentes es un subespacio vectorial llamado ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$espacio de sucesiones convergentes . Puesto que toda sucesión convergente está acotada,es un subespacio lineal de Además, este espacio de sucesiones es un subespacio cerrado decon respecto a lanorma supremay, por lo tanto, es un espacio de Banach con respecto a esta norma. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }.}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Una secuencia que converge a se llama secuencia nula y se dice que ${\displaystyle 0}$se desvanecen . El conjunto de todas las secuencias que convergen aes un subespacio vectorial cerrado deque cuando se le dota de lanorma supremase convierte en un espacio de Banach que se denota por ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{0}}$y se llama elespacio de secuencias nulas o elespacio de secuencias evanescentes .

Elespacio de secuencias eventualmente cero , ${\displaystyle c_{00},}$es el subespacio de que consiste en todas las secuencias que tienen sólo un número finito de elementos distintos de cero. Este no es un subespacio cerrado y por lo tanto no es un espacio de Banach con respecto a la norma de infinito. Por ejemplo, la secuencia donde para las primeras entradas (para ) y es cero en todos los demás lugares (es decir, ) es una secuencia de Cauchy pero no converge a una secuencia en ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{nk}=1/k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle \left(x_{nk}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(1,1/2,\ldots ,1/(n-1),1/n,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle c_{00}.}$

Espacio de todas las sucesiones finitas

Dejar

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }:{\text{all but finitely many }}x_{i}{\text{ equal }}0\right\}}$,

denota el espacio de sucesiones finitas sobre . Como espacio vectorial, es igual a , pero tiene una topología diferente. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$

Para cada número natural , sea el espacio euclidiano usual dotado de la topología euclidiana y sea la inclusión canónica ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{\infty }}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$.

La imagen de cada inclusión es

${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right):x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {K} \right\}=\mathbb {K} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$

y por consiguiente,

${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right).}$

Esta familia de inclusiones da una topología final , definida como la topología más fina en tal que todas las inclusiones son continuas (un ejemplo de una topología coherente ). Con esta topología, se convierte en un espacio vectorial topológico secuencial , localmente convexo , de Hausdorff , completo , que no es Fréchet–Urysohn . La topología también es estrictamente más fina que la topología de subespacio inducida en por . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

La convergencia en tiene una descripción natural: si y es una secuencia en entonces en si y sólo está eventualmente contenida en una sola imagen y bajo la topología natural de esa imagen. ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$ ${\displaystyle v_{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$

A menudo, cada imagen se identifica con el correspondiente ; explícitamente, se identifican los elementos y . Esto se facilita por el hecho de que la topología del subespacio en , la topología del cociente del mapa y la topología euclidiana en todas coinciden. Con esta identificación, es el límite directo del sistema dirigido donde cada inclusión agrega ceros finales: ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$ ${\displaystyle \left(\left(\mathbb {K} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\right)_{m\leq n\in \mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$

${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {K} ^{m}\to \mathbb {K} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right)}$.

Esto muestra un espacio LB. ${\displaystyle \left(\mathbb {K} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$

Otros espacios de secuencia

El espacio de series acotadas , denotado por bs , es el espacio de sucesiones para las cuales ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert <\infty .}$

Este espacio, cuando está equipado con la norma

${\displaystyle \|x\|_{bs}=\sup _{n}\left\vert \sum _{i=0}^{n}x_{i}\right\vert ,}$

es un espacio de Banach isométricamente isomorfo a través de la aplicación lineal ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$

${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)_{n\in \mathbb {N} }.}$

El subespacio cs constituido por todas las series convergentes es un subespacio que pasa al espacio c bajo este isomorfismo.

El espacio Φ o se define como el espacio de todas las sucesiones infinitas con solo un número finito de términos distintos de cero (secuencias con soporte finito ). Este conjunto es denso en muchos espacios de sucesiones. ${\displaystyle c_{00}}$

Propiedades de ℓpagespacios y el espaciodo0

El espacio ℓ ² es el único espacio ℓ ^p que es un espacio de Hilbert , ya que cualquier norma que sea inducida por un producto interno debe satisfacer la ley del paralelogramo.

${\displaystyle \|x+y\|_{p}^{2}+\|x-y\|_{p}^{2}=2\|x\|_{p}^{2}+2\|y\|_{p}^{2}.}$

Sustituir dos vectores unitarios distintos para x e y muestra directamente que la identidad no es verdadera a menos que p  = 2.

Cada ℓ ^p es distinto, en el sentido de que ℓ ^p es un subconjunto estricto de ℓ ^s siempre que p  <  s ; además, ℓ ^p no es linealmente isomorfo a ℓ ^s cuando  p ≠ s . De hecho, por el teorema de Pitt (Pitt 1936), todo operador lineal acotado desde ℓ ^s hasta ℓ ^p es compacto cuando p < s . Ningún operador de este tipo puede ser un isomorfismo; y además, no puede ser un isomorfismo en ningún subespacio de dimensión infinita de ℓ ^s , y por lo tanto se dice que es estrictamente singular .

Si 1 <  p  < ∞, entonces el espacio dual (continuo) de ℓ ^p es isométricamente isomorfo a ℓ ^q , donde q es el conjugado de Hölder de p : 1/ p  + 1/ q  = 1. El isomorfismo específico asocia a un elemento x de ℓ ^q el funcional de y en ℓ ^p . La desigualdad de Hölder implica que L _x es un funcional lineal acotado en ℓ ^p , y de hecho de modo que la norma del operador satisface $${\displaystyle L_{x}(y)=\sum _{n}x_{n}y_{n}}$$ $${\displaystyle |L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\,\|y\|_{p}}$$

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sup _{y\in \ell ^{p},y\not =0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}\leq \|x\|_{q}.}$

De hecho, tomando y como el elemento de ℓ ^p con

${\displaystyle y_{n}={\begin{cases}0&{\text{if}}\ x_{n}=0\\x_{n}^{-1}|x_{n}|^{q}&{\text{if}}~x_{n}\neq 0\end{cases}}}$

da L _x ( y ) = || x || _q , de modo que de hecho

${\displaystyle \|L_{x}\|_{(\ell ^{p})^{*}}=\|x\|_{q}.}$

Por el contrario, dado un funcional lineal acotado L en ℓ ^p , la secuencia definida por x _n = L ( e _n ) se encuentra en ℓ ^q . Por lo tanto, la aplicación da una isometría ${\displaystyle x\mapsto L_{x}}$ $${\displaystyle \kappa _{q}:\ell ^{q}\to (\ell ^{p})^{*}.}$$

El mapa

${\displaystyle \ell ^{q}\xrightarrow {\kappa _{q}} (\ell ^{p})^{*}\xrightarrow {(\kappa _{q}^{*})^{-1}} (\ell ^{q})^{**}}$

obtenido al componer κ _p con la inversa de su transpuesta coincide con la inyección canónica de ℓ ^q en su dual doble . En consecuencia, ℓ ^q es un espacio reflexivo . Por abuso de notación , es típico identificar ℓ ^q con el dual de ℓ ^p : (ℓ ^p ) ^*  = ℓ ^q . Entonces la reflexividad se entiende por la secuencia de identificaciones (ℓ ^p ) ^**  = (ℓ ^q ) ^*  = ℓ ^p .

El espacio c ₀ se define como el espacio de todas las sucesiones que convergen a cero, con norma idéntica a || x || _∞ . Es un subespacio cerrado de ℓ ^∞ , por lo tanto un espacio de Banach. El dual de c ₀ es ℓ ¹ ; el dual de ℓ ¹ es ℓ ^∞ . Para el caso del conjunto de índices de números naturales, ℓ ^p y c ₀ son separables , con la única excepción de ℓ ^∞ . El dual de ℓ ^∞ es el espacio ba .

Los espacios c ₀ y ℓ ^p (para 1 ≤ p  < ∞) tienen una base de Schauder incondicional canónica { e _i  | i  = 1, 2,...}, donde e _i es la secuencia que es cero excepto para un 1 en la i- ^ésima entrada.

El espacio ℓ ¹ tiene la propiedad de Schur : En ℓ ¹ , cualquier secuencia que sea débilmente convergente también es fuertemente convergente (Schur 1921). Sin embargo, dado que la topología débil en espacios de dimensión infinita es estrictamente más débil que la topología fuerte , hay redes en ℓ ¹ que son débilmente convergentes pero no fuertemente convergentes.

Los espacios ℓ ^p pueden estar incluidos en muchos espacios de Banach . La cuestión de si cada espacio de Banach de dimensión infinita contiene un isomorfo de algún ℓ ^p o de c ₀ , fue respondida negativamente por la construcción del espacio de Tsirelson de BS Tsirelson en 1974. La afirmación dual, de que cada espacio de Banach separable es linealmente isométrico a un espacio cociente de ℓ ¹ , fue respondida afirmativamente por Banach y Mazur (1933). Es decir, para cada espacio de Banach separable X , existe una función cociente , de modo que X es isomorfo a . En general, ker Q no se complementa en ℓ ¹ , es decir, no existe un subespacio Y de ℓ ¹ tal que . De hecho, ℓ ¹ tiene incontables subespacios no complementados que no son isomorfos entre sí (por ejemplo, tomemos ; dado que hay incontables X de ese tipo , y dado que ningún ℓ ^p es isomorfo a ningún otro, hay, por lo tanto, incontables ker Q ) . ${\displaystyle Q:\ell ^{1}\to X}$ ${\displaystyle \ell ^{1}/\ker Q}$ ${\displaystyle \ell ^{1}=Y\oplus \ker Q}$ ${\displaystyle X=\ell ^{p}}$

Excepto en el caso trivial de dimensión finita, una característica inusual de ℓ ^p es que no es polinomialmente reflexivo .

ℓpagLos espacios están aumentando enpag

Para , los espacios son crecientes en , con el operador de inclusión siendo continuo: para , se tiene . De hecho, la desigualdad es homogénea en , por lo que es suficiente probarla bajo el supuesto de que . En este caso, solo necesitamos demostrar que para . Pero si , entonces para todos los , y entonces . ${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p<q\leq \infty }$ ${\displaystyle \|x\|_{q}\leq \|x\|_{p}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq 1}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle \|x\|_{p}=1}$ ${\displaystyle |x_{i}|\leq 1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \textstyle \sum |x_{i}|^{q}\leq \textstyle \sum |x_{i}|^{p}=1}$

ℓ2es isomorfo a todos los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita

Sea H un espacio de Hilbert separable . Todo conjunto ortogonal en H es, como máximo, numerable (es decir, tiene dimensión finita o ). ^[2] Los dos elementos siguientes están relacionados: ${\displaystyle \,\aleph _{0}\,}$

• Si H es de dimensión infinita, entonces es isomorfo a ℓ ²
• Si dim( H ) = N , entonces H es isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Propiedades deℓ1espacios

Una secuencia de elementos en ℓ ¹ converge en el espacio de secuencias complejas ℓ ¹ si y sólo si converge débilmente en este espacio. ^[3] Si K es un subconjunto de este espacio, entonces los siguientes son equivalentes: ^[3]

1. K es compacto;
2. K es débilmente compacto;
3. K es acotado, cerrado y equipequeño en el infinito.

Aquí, siendo K equipequeño en el infinito, significa que para cada , existe un número natural tal que para todo . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle n_{\varepsilon }\geq 0}$ ${\textstyle \sum _{n=n_{\epsilon }}^{\infty }|s_{n}|<\varepsilon }$ ${\displaystyle s=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in K}$

Véase también

• Espacio L ^p
• Espacio de Tsirelson
• espacio beta-dual
• Espacio de secuencias de Orlicz
• Espacio de Hilbert

Referencias

1. Jarchow 1981, págs. 129-130.
2. Debnath, Lokenath; Mikusinski, Piotr (2005). Espacios de Hilbert con aplicaciones . Elsevier. págs. 120-121. ISBN. 978-0-12-2084386.
3. Trèves 2006, págs. 451–458.

Bibliografía

• Banach, Stefan; Mazur, S. (1933), "Zur Theorie der linearen Dimension", Studia Mathematica , 4 : 100-112.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen I , Wiley-Interscience.
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Pitt, HR (1936), "Una nota sobre formas bilineales", J. London Math. Soc. , 11 (3): 174–180, doi :10.1112/jlms/s1-11.3.174.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Schur, J. (1921), "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 : 79–111, doi :10.1515/crll.1921.151.79.
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .