Espacio de Tsirelson

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , el espacio de Tsirelson es el primer ejemplo de un espacio de Banach en el que no se pueden incluir ni un espacio ℓ p  ni un espacio c 0. El espacio de Tsirelson es reflexivo .

Fue introducido por BS Tsirelson en 1974. El mismo año, Figiel y Johnson publicaron un artículo relacionado (Figiel & Johnson (1974)) donde usaron la notación T para el dual del ejemplo de Tsirelson. Hoy, la letra T es la notación estándar ^[1] para el dual del ejemplo original, mientras que el ejemplo original de Tsirelson se denota por T *. En T * o en T , ningún subespacio es isomorfo , como el espacio de Banach, a un espacio  ℓ ^p , 1 ≤ p  < ∞, o a c ₀ . 

Todos los espacios de Banach clásicos conocidos por Banach (1932), espacios de funciones continuas , de funciones diferenciables o de funciones integrables , y todos los espacios de Banach utilizados en el análisis funcional durante los siguientes cuarenta años, contienen algún ℓ ^p o c ₀ . Además, nuevos intentos a principios de los años 70 ^[2] de promover una teoría geométrica de los espacios de Banach llevaron a preguntar ^{[3] si} cada espacio de Banach de dimensión infinita tiene o no un subespacio isomorfo a algún ℓ ^p o a c ₀ . Además, Baudier, Lancien y Schlumprecht demostraron que ℓ ^p y c ₀ ni siquiera se incrustan de manera aproximada en T*.   

La construcción radicalmente nueva de Tsirelson está en la base de varios desarrollos posteriores en la teoría del espacio de Banach: el espacio arbitrariamente distorsionable de Thomas Schlumprecht (Schlumprecht (1991)), del que dependen la solución de Gowers al problema del hiperplano de Banach ^[4] y la solución de Odell–Schlumprecht al problema de la distorsión . Además, varios resultados de Argyros et al. ^[5] se basan en refinamientos ordinales de la construcción de Tsirelson, que culminan con la solución de Argyros–Haydon del problema escalar más compacto. ^[6]

La construcción de Tsirelson

En el espacio vectorial ℓ ^∞ de secuencias escalares acotadas x = { x _j }  _{j ∈ N} , sea P _n el operador lineal que pone a cero todas las coordenadas x _j de x para las cuales j  ≤  n .  

Una secuencia finita de vectores en ℓ ^∞ se llama disjunta en bloques si hay números naturales tales que , y tales que cuando o , para cada n de 1 a N . ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle \textstyle \{a_{n},b_{n}\}_{n=1}^{N}}$ ${\displaystyle a_{1}\leq b_{1}<a_{2}\leq b_{2}<\cdots \leq b_{N}}$ ${\displaystyle (x_{n})_{i}=0}$ ${\displaystyle i<a_{n}}$ ${\displaystyle i>b_{n}}$

La bola unitaria  B _∞   de ℓ ^∞ es compacta y metrizable para la topología de convergencia puntual (la topología del producto ). El paso crucial en la construcción de Tsirelson es dejar que K sea el subconjunto puntual cerrado más pequeño de   B _∞   que satisface las dos propiedades siguientes: ^[7]

a. Para cada entero   j   en N , el vector unitario e _j y todos los múltiplos , para |λ| ≤ 1, pertenecen a K . ${\displaystyle \lambda e_{j}}$

b. Para cualquier entero N  ≥ 1, si es una secuencia disjunta en bloques en K , entonces pertenece a  K . ${\displaystyle \textstyle (x_{1},\ldots ,x_{N})}$ ${\displaystyle \textstyle {{1 \over 2}P_{N}(x_{1}+\cdots +x_{N})}}$

Este conjunto K satisface la siguiente propiedad de estabilidad:

c. Junto con cada elemento x de K , el conjunto K contiene todos los vectores y en ℓ ^∞ tales que | y | ≤ | x | (para la comparación puntual).

Se demuestra entonces que K es en realidad un subconjunto de c ₀ , el subespacio de Banach de ℓ ^∞ que consiste en secuencias escalares que tienden a cero en el infinito. Esto se hace demostrando que

d: para cada elemento x en K , existe un entero n tal que 2  P _n ( x ) pertenece a  K ,

y iterando este hecho. Puesto que K es puntualmente compacto y está contenido en c ₀ , es débilmente compacto en c ₀ . Sea V la envoltura convexa cerrada de K en c ₀ . También es un conjunto débilmente compacto en c ₀ . Se muestra que V satisface b , c y d .

El espacio de Tsirelson T * es el espacio de Banach cuya bola unidad es V. La base del vector unitario es una base incondicional para T * y T * es reflexiva. Por lo tanto, T * no contiene una copia isomorfa de  c _0. Los otros espacios  ℓ ^p , 1 ≤ p  < ∞, quedan descartados por la condición  b . 

Propiedades

El espacio de Tsirelson T* es reflexivo (Tsirel'son (1974)) y finitamente universal, lo que significa que para alguna constante C ≥ 1 , el espacio T* contiene C -copias isomorfas de cada espacio normado de dimensión finita, es decir, para cada espacio normado de dimensión finita X , existe un subespacio Y del espacio de Tsirelson con distancia de Banach-Mazur multiplicativa a X menor que C . En realidad, cada espacio de Banach finitamente universal contiene copias casi isométricas de cada espacio normado de dimensión finita, ^[8] lo que significa que C puede reemplazarse por 1 + ε para cada ε > 0 . Además, cada subespacio de dimensión infinita de T* es finitamente universal. Por otro lado, cada subespacio de dimensión infinita en el dual T de T* contiene copias casi isométricas de , el ℓ ^{1 -espacio} n -dimensional , para todo  n . ${\displaystyle \scriptstyle {\ell _{n}^{1}}}$

El espacio de Tsirelson T es distorsionable , pero no se sabe si es arbitrariamente distorsionable .

El espacio T* es un espacio de Banach mínimo . ^[9] Esto significa que cada subespacio de Banach de dimensión infinita de T* contiene otro subespacio isomorfo a T* . Antes de la construcción de T* , los únicos ejemplos conocidos de espacios mínimos eran ℓ ^p y c ₀ . El espacio dual T no es mínimo. ^[10] 

El espacio T* es polinomialmente reflexivo .

Espacios derivados

El espacio de Tsirelson simétrico S ( T ) es polinomialmente reflexivo y tiene la propiedad de aproximación . Al igual que T , es reflexivo y no se puede incluir en él ningún espacio ℓ ^{p .} 

Dado que es simétrico, se puede definir incluso en un conjunto de soporte incontable , lo que da un ejemplo de espacio de Banach reflexivo polinomial no separable .

Véase también

• Problema de distorsión
• Espacio de secuencia , base de Schauder
• El espacio de James

Notas

1. véase por ejemplo Casazza y Shura (1989), pág. 8; Lindenstrauss y Tzafriri (1977), pág. 95; The Handbook of the Geometry of Banach Spaces , vol. 1, pág. 276; vol. 2, pág. 1060, 1649.
2. ver Lindenstrauss (1970), Milman (1970).
3. La pregunta está formulada explícitamente en Lindenstrauss (1970), Milman (1970), Lindenstrauss (1971) en la última página. Lindenstrauss y Tzafriri (1977), p. 95, dicen que esta pregunta era " un problema abierto desde hace mucho tiempo que se remonta al libro de Banach " (Banach (1932)), pero la pregunta no aparece en el libro de Banach. Sin embargo, Banach compara la dimensión lineal de ℓ ^p con la de otros espacios clásicos, una pregunta bastante similar. 
4. La cuestión es si todo espacio de Banach de dimensión infinita es isomorfo a sus hiperplanos. La solución negativa se encuentra en Gowers, " A solution to Banach's hyperplane problem ". Bull. London Math. Soc. 26 (1994), 523-530.
5. por ejemplo, S. Argyros y V. Felouzis, " Interpolación de espacios de Banach hereditariamente indecomponibles ", Journal Amer. Math. Soc., 13 (2000), 243–294; S. Argyros y A. Tolias, " Métodos en la teoría de espacios de Banach hereditariamente indecomponibles ", Mem. Amer. Math. Soc. 170 (2004), núm. 806.
6. S. Argyros y R. Haydon construyeron un espacio de Banach en el que cada operador acotado es una perturbación compacta de un múltiplo escalar de la identidad, en " Un espacio L _∞ hereditariamente indecomponible que resuelve el problema escalar-más-compacto ", Acta Mathematica (2011) 206: 1-54.
7. condiciones b , c , d aquí son las condiciones (3), (2) y (4) respectivamente en Tsirel'son (1974), y a es una forma modificada de la condición (1) del mismo artículo.
8. esto se debe a que para cada n , C y ε , existe N tal que cada C -isomorfo de ℓ ^∞ _N contiene un (1 + ε) -isomorfo de ℓ ^∞ _n , por la técnica de bloqueo de James (véase Lema 2.2 en Robert C. James " Uniformly Non-Square Banach Spaces ", Annals of Mathematics, Vol. 80, 1964, pp. 542-550), y porque cada espacio normado de dimensión finita (1 + ε) -incrusta en ℓ ^∞ _n cuando n es suficientemente grande.
9. ver Casazza y Shura (1989), pág. 54.
10. ver Casazza y Shura (1989), pág. 56.

Referencias

• Tsirel'son, Licenciado en Filosofía (1974), ""No todos los espacios de Banach contienen una incrustación de ℓ ^p o c ₀ ", Análisis funcional y sus aplicaciones , 8 : 138–141, doi :10.1007/BF01078599, MR  0350378 .
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol. 1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
• Figiel, T.; Johnson, WB (1974), "Un espacio de Banach uniformemente convexo que no contiene ℓ p", Compositio Mathematica , 29 : 179–190, MR  0355537.
• Casazza, Peter G.; Shura, Thaddeus J. (1989), El espacio de Tsirelson , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1363, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-50678-0, Sr.  0981801.
• Johnson, William B.; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2001), Manual de geometría de espacios de Banach , vol. 1, Elsevier.
• Johnson, William B.; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2003), Manual de geometría de espacios de Banach , vol. 2, Elsevier.
• Lindenstrauss, Joram (1970), "Algunos aspectos de la teoría de los espacios de Banach", Advances in Mathematics , 5 : 159–180, doi : 10.1016/0001-8708(70)90032-0.
• Lindenstrauss, Joram (1971), "La teoría geométrica de los espacios clásicos de Banach", Actes du Congrès Intern. Matemáticas, Niza 1970 : 365–372.
• Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1977), Espacios clásicos de Banach I, Espacios de secuencia , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 92, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
• Milman, VD (1970), "Teoría geométrica de los espacios de Banach. I. Teoría de sistemas básicos y mínimos", Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 25 núm. 3: 113–174Traducción inglesa en ruso Math. Surveys 25 (1970), 111-170.
• Schlumprecht, Thomas B. (1991), "Un espacio de Banach arbitrario y distorsionable", Israel Journal of Mathematics , 76 : 81–95, arXiv : math/9201225 , doi : 10.1007/bf02782845 , MR  1177333.
• Baudier, Florent; Lancien, Gilles; Schlumprecht, Thomas B. (2018), "La geometría gruesa del espacio de Tsirelson y sus aplicaciones", Journal of the American Mathematical Society , 31 : 699--717, arXiv : 1705.06797 , doi : 10.1090/jams/899 , MR  3787406.

Enlaces externos

• Recuerdos de Boris Tsirelson en su página web