Descomposición de Wold

En matemáticas , particularmente en teoría de operadores , la descomposición de Wold o descomposición de Wold–von Neumann , llamada así por Herman Wold y John von Neumann , es un teorema de clasificación para operadores lineales isométricos en un espacio de Hilbert dado . Establece que cada isometría es una suma directa de copias del desplazamiento unilateral y un operador unitario .

En el análisis de series de tiempo , el teorema implica que cada proceso estocástico estacionario de tiempo discreto puede descomponerse en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de promedio móvil .

Detalles

Sea H un espacio de Hilbert , L ( H ) los operadores acotados en H y V ∈ L ( H ) una isometría. La descomposición de Wold establece que toda isometría V toma la forma

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U}$

para algún conjunto de índices A , donde S es el desplazamiento unilateral en un espacio de Hilbert H _α , y U es un operador unitario (posible vacuo). La familia { H _α } consta de espacios de Hilbert isomorfos.

Se puede esbozar una prueba de la siguiente manera: las aplicaciones sucesivas de V dan una secuencia descendente de copias de H embebidas isomórficamente en sí misma:

${\displaystyle H=H\supset V(H)\supset V^{2}(H)\supset \cdots =H_{0}\supset H_{1}\supset H_{2}\supset \cdots ,}$

donde V ( H ) denota el rango de V . El H _i  ​​=  V ⁱ ( H ) definido anteriormente . Si se define

${\displaystyle M_{i}=H_{i}\ominus H_{i+1}=V^{i}(H\ominus V(H))\quad {\text{for}}\quad i\geq 0\;,}$

entonces

${\displaystyle H=\left(\bigoplus _{i\geq 0}M_{i}\right)\oplus \left(\bigcap _{i\geq 0}H_{i}\right)=K_{1}\oplus K_{2}.}$

Está claro que K ₁ y K ₂ son subespacios invariantes de V .

Por lo tanto , V ( K ₂ ) = K ₂ . En otras palabras, V restringida a K ₂ es una isometría sobreyectiva, es decir, un operador unitario U .

Además, cada M _i es isomorfo a otro, siendo V un isomorfismo entre M _i y M _{i +1} : V "desplaza" M _i a M _{i +1} . Supongamos que la dimensión de cada M _i es un número cardinal α . Vemos que K ₁ puede escribirse como una suma directa de espacios de Hilbert

${\displaystyle K_{1}=\oplus H_{\alpha }}$

donde cada H _α es un subespacio invariante de V y V restringido a cada H _α es el desplazamiento unilateral S . Por lo tanto

${\displaystyle V=V\vert _{K_{1}}\oplus V\vert _{K_{2}}=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}S\right)\oplus U,}$

que es una descomposición de Wold de V.

Observaciones

De la descomposición de Wold se desprende inmediatamente que el espectro de cualquier isometría propia, es decir, no unitaria, es el disco unitario en el plano complejo.

Se dice que una isometría V es pura si, en la notación de la prueba anterior, La multiplicidad de una isometría pura V es la dimensión del núcleo de V* , es decir, la cardinalidad del conjunto de índices A en la descomposición de Wold de V . En otras palabras, una isometría pura de multiplicidad N toma la forma ${\textstyle \bigcap _{i\geq 0}H_{i}=\{0\}.}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{1\leq \alpha \leq N}S.}$

En esta terminología, la descomposición de Wold expresa una isometría como una suma directa de una isometría pura y un operador unitario.

Un subespacio M se denomina subespacio errante de V si V ⁿ ( M ) ⊥  V ^m ( M ) para todo n  ≠  m . En particular, cada M _i definido anteriormente es un subespacio errante de  V .

Una secuencia de isometrías

La descomposición anterior se puede generalizar ligeramente a una secuencia de isometrías, indexadas por los números enteros.

El álgebra C* generada por una isometría

Considérese una isometría V ∈ L ( H ). Denotemos por C* ( V ) la C*-álgebra generada por V , es decir, C* ( V ) es el cierre normativo de los polinomios en V y V* . La descomposición de Wold se puede aplicar para caracterizar C* ( V ).

Sean C ( T ) las funciones continuas en el círculo unitario T . Recordemos que la C*-álgebra C* ( S ) generada por el desplazamiento unilateral S toma la siguiente forma

C* ( S ) = { T _f + K | T _f es un operador de Toeplitz con símbolo continuo f ∈ C ( T ) y K es un operador compacto }.

En esta identificación, S = T _z donde z es la función identidad en C ( T ). El álgebra C* ( S ) se denomina álgebra de Toeplitz .

El teorema (Coburn) C* ( V ) es isomorfo al álgebra de Toeplitz y V es la imagen isomorfa de T _z .

La prueba depende de las conexiones con C ( T ), en la descripción del álgebra de Toeplitz y de que el espectro de un operador unitario está contenido en el círculo T .

Se necesitarán las siguientes propiedades del álgebra de Toeplitz:

1. ${\displaystyle T_{f}+T_{g}=T_{f+g}.\,}$
2. ${\displaystyle T_{f}^{*}=T_{\bar {f}}.}$
3. El semiconmutador es compacto. ${\displaystyle T_{f}T_{g}-T_{fg}\,}$

La descomposición de Wold dice que V es la suma directa de copias de T _z y luego alguna U unitaria :

${\displaystyle V=\left(\bigoplus _{\alpha \in A}T_{z}\right)\oplus U.}$

Así que invocamos el cálculo funcional continuo f → f ( U ), y definimos

${\displaystyle \Phi :C^{*}(S)\rightarrow C^{*}(V)\quad {\text{by}}\quad \Phi (T_{f}+K)=\bigoplus _{\alpha \in A}(T_{f}+K)\oplus f(U).}$

Ahora se puede verificar que Φ es un isomorfismo que asigna el desplazamiento unilateral a V :

Por la propiedad 1 anterior, Φ es lineal. La función Φ es inyectiva porque T _f no es compacta para ningún f ∈ C ( T ) distinto de cero y, por lo tanto, T _f + K = 0 implica f = 0. Dado que el rango de Φ es una C*-álgebra, Φ es sobreyectiva por la minimalidad de C* ( V ). La propiedad 2 y el cálculo funcional continuo aseguran que Φ preserva la *-operación. Finalmente, la propiedad del semiconmutador muestra que Φ es multiplicativa. Por lo tanto, el teorema se cumple.

Referencias

• Coburn, L. (1967). "El C*-álgebra de una isometría". Bull. Amer. Math. Soc. 73 (5): 722–726. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11845-7 .
• Constantinescu, T. (1996). Parámetros de Schur, problemas de factorización y dilatación. Teoría de operadores, avances y aplicaciones. Vol. 82. Birkhäuser. ISBN 3-7643-5285-X.
• Douglas, RG (1972). Técnicas de álgebra de Banach en teoría de operadores. Academic Press. ISBN 0-12-221350-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985). Clases Hardy y teoría de operadores. Oxford University Press. ISBN 0-19-503591-7.