En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un operador hipercíclico en un espacio vectorial topológico X es un operador lineal continuo T : X → X tal que existe un vector x ∈ X para el cual la secuencia { T n x : n = 0, 1, 2, …} es densa en todo el espacio X . En otras palabras, el subconjunto invariante cerrado más pequeño que contiene a x es todo el espacio. A un x de este tipo se le llama entonces vector hipercíclico . No existe ningún operador hipercíclico en espacios de dimensión finita , pero la propiedad de hiperciclicidad en espacios de dimensión infinita no es un fenómeno raro: muchos operadores son hipercíclicos.
La hiperciclicidad es un caso especial de nociones más amplias de transitividad topológica (ver mezcla topológica ) y universalidad . La universalidad en general implica un conjunto de aplicaciones de un espacio topológico a otro (en lugar de una secuencia de potencias de un único operador que se aplica de X a X ), pero tiene un significado similar a la hiperciclicidad. Ejemplos de objetos universales fueron descubiertos ya en 1914 por Julius Pál, en 1935 por Józef Marcinkiewicz , o MacLane en 1952. Sin embargo, no fue hasta la década de 1980 cuando los operadores hipercíclicos comenzaron a estudiarse más intensivamente.
Ejemplos
Un ejemplo de un operador hipercíclico es dos veces el operador de desplazamiento hacia atrás en el espacio de secuencia ℓ 2 , es decir, el operador que toma una secuencia
- ( a 1 , a 2 , a 3 , …) ∈ ℓ 2
a una secuencia
- (2 a 2 , 2 a 3 , 2 a 4 , …) ∈ ℓ 2 .
Esto fue demostrado en 1969 por Rolewicz.
Resultados conocidos
- En todo espacio de Fréchet separable de dimensión infinita existe un operador hipercíclico. Por otra parte, no existe ningún operador hipercíclico en un espacio de dimensión finita ni en un espacio no separable.
- Si x es un vector hipercíclico, entonces T n x también es hipercíclico, por lo que siempre hay un conjunto denso de vectores hipercíclicos.
- Además, el conjunto de vectores hipercíclicos es un conjunto G δ conexo cuando X es un espacio metrizable , y siempre contiene un espacio vectorial denso , hasta {0}.
- Charles Read (1988) construyó un operador en ℓ 1 , tal que todos los vectores distintos de cero son hipercíclicos, lo que proporciona un contraejemplo al problema del subespacio invariante (e incluso al problema del subconjunto invariante ) en la clase de espacios de Banach. El problema de si dicho operador (a veces llamado hipertransitivo , o transitivo de órbita ) existe en un espacio de Hilbert separable, aún está abierto (a fecha de 2022).
Referencias
- Bayart, Fréderic; Matheron, Étienne (2009), Dinámica de operadores lineales , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 179, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-51496-5, Sr. 2533318
- Beauzamy, Bernard (1988), Introducción a la teoría de operadores y subespacios invariantes , North-Holland Mathematical Library, vol. 42, Ámsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-70521-1, Sr. 0967989
- Read, CJ (1988), "El problema del subespacio invariante para una clase de espacios de Banach, 2: operadores hipercíclicos", Israel Journal of Mathematics , 63 (1): 1–40, doi : 10.1007/BF02765019 , ISSN 0021-2172, MR 0959046, S2CID 123651876
- Grosse-Erdmann, Karl-Goswin (1999), "Familias universales y operadores hipercíclicos", Boletín de la American Mathematical Society , Nueva serie, 36 (3): 345–381, doi : 10.1090/S0273-0979-99-00788-0 , ISSN 1088-9485, MR 1685272
- Grosse-Erdmann, Karl-Goswin; Peris Manguillot, Alfred (2011), Caos lineal , Universitext, Londres: Springer, doi :10.1007/978-1-4471-2170-1, ISBN 978-1-4471-2169-5, Sr. 2919812
Véase también
