Espectro esencial

En matemáticas , el espectro esencial de un operador acotado (o, más generalmente, de un operador lineal cerrado densamente definido ) es un cierto subconjunto de su espectro , definido por una condición del tipo que dice, en términos generales, "no logra ser reversible".

El espectro esencial de operadores autoadjuntos

En términos formales, sea X un espacio de Hilbert y sea T un operador autoadjunto en X.

Definición

El espectro esencial de T , generalmente denotado σ _ess ( T ), es el conjunto de todos los números complejos λ tales que

${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$

no es un operador de Fredholm , donde denota el operador de identidad en X , de modo que para todo x en X. (Un operador es Fredholm si su núcleo y su núcleo son de dimensión finita). ${\displaystyle I_{X}}$ ${\displaystyle I_{X}(x)=x}$

Propiedades

El espectro esencial siempre está cerrado y es un subconjunto del espectro . Como T es autoadjunto, el espectro está contenido en el eje real.

El espectro esencial es invariante bajo perturbaciones compactas. Es decir, si K es un operador compacto autoadjunto en X , entonces los espectros esenciales de T y el de coinciden. Esto explica por qué se le llama espectro esencial : Weyl (1910) definió originalmente el espectro esencial de un determinado operador diferencial como el espectro independiente de las condiciones de contorno. ${\displaystyle T+K}$

El criterio de Weyl es el siguiente. Primero, un número λ está en el espectro de T si y sólo si existe una secuencia {ψ _k } en el espacio X tal que y ${\displaystyle \Vert \psi _{k}\Vert =1}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left\|T\psi _{k}-\lambda \psi _{k}\right\|=0.}$

Además, λ está en el espectro esencial si hay una secuencia que satisface esta condición, pero que no contiene ninguna subsecuencia convergente (este es el caso si, por ejemplo, es una secuencia ortonormal ); tal secuencia se llama secuencia singular . ${\displaystyle \{\psi _{k}\}}$

El espectro discreto

El espectro esencial es un subconjunto del espectro σ, y su complemento se llama espectro discreto , por lo que

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {disc} }(T)=\sigma (T)\setminus \sigma _{\mathrm {ess} }(T).}$

Si T es autoadjunto, entonces, por definición, un número λ está en el espectro discreto de T si es un valor propio aislado de multiplicidad finita, lo que significa que la dimensión del espacio

${\displaystyle \{\psi \in X:T\psi =\lambda \psi \}}$

tiene una dimensión finita pero distinta de cero y que existe un ε > 0 tal que μ ∈ σ( T ) y |μ−λ| < ε implica que μ y λ son iguales. (Para los operadores generales no autoadjuntos en espacios de Banach , por definición, un número está en el espectro discreto si es un valor propio normal ; o, de manera equivalente, si es un punto aislado del espectro y el rango del proyector de Riesz correspondiente es finito. ) ${\displaystyle \lambda }$

El espectro esencial de operadores cerrados en los espacios de Banach

Sea X un espacio de Banach y sea un operador lineal cerrado en X con dominio denso . Existen varias definiciones del espectro esencial, que no son equivalentes. ^[1] ${\displaystyle T:\,X\to X}$ ${\displaystyle D(T)}$

1. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que no son semi-Fredholm (un operador es semi-Fredholm si su rango es cerrado y su núcleo o conúcleo es de dimensión finita). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
2. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que el rango de no es cerrado o el núcleo de es de dimensión infinita. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
3. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que no son Fredholm (un operador es Fredholm si su rango es cerrado y tanto su núcleo como su conúcleo son de dimensión finita). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
4. El espectro esencial es el conjunto de todos los λ tales que no son Fredholm con índice cero (el índice de un operador de Fredholm es la diferencia entre la dimensión del grano y la dimensión del cokernel). ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)}$ ${\displaystyle T-\lambda I_{X}}$
5. El espectro esencial es la unión de σ _ess,1 ( T ) con todos los componentes de que no se cruzan con el conjunto resolutivo . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \sigma (T)}$

Cada uno de los espectros esenciales definidos anteriormente , está cerrado. Además, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq 5}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\subset \sigma (T)\subset \mathbb {C} ,}$

y cualquiera de estas inclusiones puede ser estricta. Para los operadores autoadjuntos, todas las definiciones anteriores del espectro esencial coinciden.

Definir el radio del espectro esencial mediante

${\displaystyle r_{\mathrm {ess} ,k}(T)=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)\}.}$

Aunque los espectros pueden ser diferentes, el radio es el mismo para todos los k .

La definición de conjunto es equivalente al criterio de Weyl: es el conjunto de todos los λ para los que existe una secuencia singular. ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(T)}$

El espectro esencial es invariante bajo perturbaciones compactas para k = 1,2,3,4, pero no para k = 5. El conjunto proporciona la parte del espectro que es independiente de las perturbaciones compactas, es decir, ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(T)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (T+K),}$

donde denota el conjunto de operadores compactos en X (DE Edmunds y WD Evans, 1987). ${\displaystyle B_{0}(X)}$

El espectro de un operador cerrado densamente definido T se puede descomponer en una unión disjunta

${\displaystyle \sigma (T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)\bigsqcup \sigma _{\mathrm {d} }(T)}$,

¿Dónde está el espectro discreto de T ? ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {d} }(T)}$

Ver también

• Espectro (análisis funcional)
• Formalismo solvente
• Descomposición del espectro (análisis funcional)
• Espectro discreto (matemáticas)
• Espectro de un operador
• Teoría del operador
• Teoría de Fredholm

Referencias

1. Gustafson, Karl (1969). «En el espectro esencial» (PDF) . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 25 (1): 121-127.

El caso autoadjunto se analiza en

• Caña, Michael C .; Simon, Barry (1980), Métodos de la física matemática moderna: análisis funcional , vol. 1, San Diego: Prensa académica, ISBN 0-12-585050-6
• Teschl, Gerald (2009). Métodos Matemáticos en Mecánica Cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4660-5.

Se puede encontrar una discusión sobre el espectro para operadores generales en

• DE Edmunds y WD Evans (1987), Teoría espectral y operadores diferenciales, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2 . 

La definición original del espectro esencial se remonta a

• H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68 , 220–269.