Rango de una función

Subconjunto del codominio de una función

${\displaystyle f}$es una función del dominio X al codominio Y. El óvalo amarillo dentro de Y es la imagen de . A veces "rango" se refiere a la imagen y otras al codominio. ${\displaystyle f}$

En matemáticas , el rango de una función puede referirse a cualquiera de dos conceptos estrechamente relacionados:

• el codominio de la función , o
• la imagen de la función.

En algunos casos el codominio y la imagen de una función son el mismo conjunto; dicha función se llama sobreyectiva o sobre . Para cualquier función no sobreyectiva, el codominio y la imagen son diferentes; sin embargo, se puede definir una nueva función con la imagen de la función original como codominio, donde esta nueva función es sobreyectiva. ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:X\to {\tilde {Y}}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x).}$

Definiciones

Dados dos conjuntos X e Y , una relación binaria f entre X e Y es una función (de X a Y ) si para cada elemento x en X hay exactamente una y en Y tal que f relaciona x con y . Los conjuntos X e Y se denominan dominio y codominio de f , respectivamente. La imagen de la función f es el subconjunto de Y que consta únicamente de aquellos elementos y de Y tales que hay al menos una x en X con f ( x ) = y .

Uso

Como el término "rango" puede tener diferentes significados, se considera una buena práctica definirlo la primera vez que se utiliza en un libro de texto o artículo. Los libros más antiguos, cuando usan la palabra "rango", tienden a usarla para referirse a lo que ahora se llama codominio . ^[1] Los libros más modernos, si es que usan la palabra "rango", generalmente la usan para referirse a lo que ahora se llama imagen . ^[2] Para evitar cualquier confusión, varios libros modernos no utilizan la palabra "rango" en absoluto. ^[3]

Elaboración y ejemplo

Dada una función

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

con dominio , el rango de , a veces denotado o , ^[4] puede referirse al codominio o conjunto objetivo (es decir, el conjunto en el que toda la salida de está restringida a caer), o a , la imagen del dominio de bajo (es decir, el subconjunto que consta de todas las salidas reales de ). La imagen de una función es siempre un subconjunto del codominio de la función. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {Range} (f)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Como ejemplo de los dos usos diferentes, considere la función tal como se usa en el análisis real (es decir, como una función que ingresa un número real y genera su cuadrado). En este caso, su codominio es el conjunto de los números reales , pero su imagen es el conjunto de los números reales no negativos , ya que nunca es negativo si es real. Para esta función, si usamos "rango" para referirnos a codominio , se refiere a ; si usamos "rango" para referirnos a imagen , se refiere a . ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Para algunas funciones, la imagen y el codominio coinciden; estas funciones se llaman sobreyectivas o sobre . Por ejemplo, considere la función que ingresa un número real y genera su doble. Para esta función, tanto el codominio como la imagen son el conjunto de todos los números reales, por lo que el rango de palabras no es ambiguo. ${\displaystyle f(x)=2x,}$

Incluso en los casos en que la imagen y el codominio de una función sean diferentes, una nueva función se puede definir de forma única con su codominio como la imagen de la función original. Por ejemplo, como función de números enteros a números enteros, la función de duplicación no es sobreyectiva porque solo los números enteros pares son parte de la imagen. Sin embargo, una nueva función cuyo dominio son los números enteros y cuyo codominio son los números enteros pares es sobreyectiva. Porque la palabra rango es inequívoca. ${\displaystyle f(n)=2n}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(n)=2n}$ ${\displaystyle {\tilde {f}},}$

Ver también

• Biyección, inyección y sobreyección.
• Gama esencial

notas y referencias

1. Hungerford 1974, pág. 3; Niños 2009, pág. 140.
2. Dummit y Foote 2004, pág. 2.
3. Rudin 1991, pag. 99.
4. Weisstein, Eric W. "Rango". mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
5. Nykamp, ​​Duane. "Definición de rango". Perspectiva matemática . Consultado el 28 de agosto de 2020 .

Bibliografía

• Niños, Lindsay N. (2009). Niños, Lindsay N. (ed.). Una introducción concreta al álgebra superior . Textos de Pregrado en Matemáticas (3ª ed.). Saltador. doi :10.1007/978-0-387-74725-5. ISBN 978-0-387-74527-5. OCLC  173498962.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. OCLC  52559229.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 73. Saltador. doi :10.1007/978-1-4612-6101-8. ISBN 0-387-90518-9. OCLC  703268.
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8.