En álgebra lineal y teoría de operadores , el conjunto resolutivo de un operador lineal es un conjunto de números complejos para los cuales el operador se " comporta bien " en cierto sentido. El conjunto resolutivo juega un papel importante en el formalismo resolutivo .
Definiciones
Sea X un espacio de Banach y sea un operador lineal con dominio . Sea id el operador de identidad en X . Para cualquiera , deja
![{\displaystyle D(L)\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{\lambda }=L-\lambda \,\mathrm {id} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se dice que un número complejo es un valor regular si se cumplen las tres afirmaciones siguientes:![{\displaystyle\lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es inyectivo , es decir, la correstricción de a su imagen tiene un inverso llamado resolutivo ;
![{\displaystyle R(\lambda ,L)=(L-\lambda \,\mathrm {id} )^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un operador lineal acotado ;
se define en un subespacio denso de X , es decir, tiene un rango denso.![{\displaystyle L_{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El conjunto resolutivo de L es el conjunto de todos los valores regulares de L :
![{\displaystyle \rho (L)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \lambda {\mbox{ es un valor regular de }}L\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El espectro es el complemento del conjunto resolutivo.
![{\displaystyle \sigma (L)=\mathbb {C} \setminus \rho (L),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y sujeto a una descomposición espectral mutuamente singular en el espectro puntual (cuando falla la condición 1), el espectro continuo (cuando falla la condición 2) y el espectro residual (cuando falla la condición 3).
Si es un operador cerrado , entonces también lo es cada uno , y la condición 3 puede reemplazarse exigiendo que sea sobreyectivo .![{\displaystyle L}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
- El conjunto resolutivo de un operador lineal acotado L es un conjunto abierto .
![{\displaystyle \rho (L)\subseteq \mathbb {C}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- De manera más general, el conjunto resolutivo de un operador cerrado e ilimitado densamente definido es un conjunto abierto.
Notas
Referencias
- Caña, M.; Simón, B. (1980). Métodos de la física matemática moderna: Vol 1: Análisis funcional . Prensa académica. ISBN 978-0-12-585050-6.
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. xiv+434. ISBN 0-387-00444-0. MR 2028503 (Ver apartado 8.3)
enlaces externos
Ver también