Valor propio normal

Valor propio de la teoría espectral

En matemáticas, específicamente en teoría espectral , un valor propio de un operador lineal cerrado se denomina normal si el espacio admite una descomposición en una suma directa de un espacio propio generalizado de dimensión finita y un subespacio invariante donde tiene una inversa acotada. El conjunto de valores propios normales coincide con el espectro discreto . ${\displaystyle A-\lambda I}$

Raíz lineal

Sea un espacio de Banach . La raíz lineal de un operador lineal con dominio correspondiente al valor propio se define como ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)}$ ${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$

${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)=\bigcup _{k\in \mathbb {N} }\{x\in {\mathfrak {D}}(A):\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{j}x\in {\mathfrak {D}}(A)\,\forall j\in \mathbb {N} ,\,j\leq k;\,(A-\lambda I_{\mathfrak {B}})^{k}x=0\}\subset {\mathfrak {B}},}$

donde es el operador identidad en . Este conjunto es una variedad lineal pero no necesariamente un espacio vectorial , ya que no es necesariamente cerrado en . Si este conjunto es cerrado (por ejemplo, cuando es de dimensión finita), se denomina espacio propio generalizado de correspondiente al valor propio . ${\displaystyle I_{\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$

Definición de un valor propio normal

Un valor propio de un operador lineal cerrado en el espacio de Banach con dominio se denomina normal (en la terminología original, corresponde a un subespacio raíz de dimensión finita que se divide normalmente ), si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle \lambda \in \sigma _{p}(A)}$ ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A)\subset {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle \lambda }$

1. La multiplicidad algebraica de es finita: , donde es la raíz lineal de correspondiente al valor propio ; ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)<\infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$
2. El espacio podría descomponerse en una suma directa , donde es un subespacio invariante de en el que tiene una inversa acotada. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}={\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)\oplus {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$

Es decir, la restricción de sobre es un operador con dominio y con rango que tiene una inversa acotada. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {D}}(A_{2})={\mathfrak {N}}_{\lambda }\cap {\mathfrak {D}}(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(A_{2}-\lambda I)\subset {\mathfrak {N}}_{\lambda }}$

Caracterizaciones equivalentes de valores propios normales

Sea un operador lineal cerrado y densamente definido en el espacio de Banach . Las siguientes afirmaciones son equivalentes ^[4] (Teorema III.88): ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$

1. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$es un valor propio normal;
2. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$es un punto aislado y es semi-Fredholm ; ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$
3. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$es un punto aislado en y es Fredholm ; ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$
4. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$es un punto aislado en y es Fredholm de índice cero; ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$
5. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$es un punto aislado y el rango del proyector de Riesz correspondiente es finito; ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$
6. ${\displaystyle \lambda \in \sigma (A)}$es un punto aislado en , su multiplicidad algebraica es finita y el rango de es cerrado . ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \sigma (A)}$ ${\displaystyle \nu =\dim {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ ${\displaystyle A-\lambda I_{\mathfrak {B}}}$

Si es un valor propio normal, entonces la raíz lineal coincide con el rango del proyector de Riesz, . ^[3] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{\lambda }(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}(P_{\lambda })}$

Relación con el espectro discreto

La equivalencia anterior muestra que el conjunto de valores propios normales coincide con el espectro discreto , definido como el conjunto de puntos aislados del espectro con rango finito del proyector de Riesz correspondiente. ^[5]

Descomposición del espectro de operadores no autoadjuntos

El espectro de un operador cerrado en el espacio de Banach se puede descomponer en la unión de dos conjuntos disjuntos, el conjunto de valores propios normales y el quinto tipo del espectro esencial : ${\displaystyle A:\,{\mathfrak {B}}\to {\mathfrak {B}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$

${\displaystyle \sigma (A)=\{{\text{normal eigenvalues of}}\ A\}\cup \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A).}$

Véase también

• Descomposición del espectro (análisis funcional)
• Espectro discreto (matemáticas)
• Espectro esencial
• Operador de Fredholm
• Teoría de operadores
• Formalismo resolutivo
• Proyector Riesz
• Espectro (análisis funcional)
• Espectro de un operador

Referencias

1. Gohberg, IC; Kreĭn, MG (1957). "Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов" [Aspectos fundamentales de los números de defectos, números de raíz e índices de operadores lineales]. Estera Uspekhi. Nauk [ Amer. Matemáticas. Soc. Traducción (2) ]. Nueva Serie. 12 (2(74)): 43–118.
2. Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1960). "Aspectos fundamentales de los números de defectos, números de raíz e índices de operadores lineales". Traducciones de la American Mathematical Society . 13 : 185–264. doi :10.1090/trans2/013/08.
3. Gohberg, I. C; Kreĭn, MG (1969). Introducción a la teoría de operadores lineales no autoadjuntos. American Mathematical Society, Providence, RI
4. Boussaid, N.; Comech, A. (2019). Ecuación de Dirac no lineal. Estabilidad espectral de ondas solitarias. American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 978-1-4704-4395-5.
5. Reed, M.; Simon, B. (1978). Métodos de física matemática moderna, vol. IV. Análisis de operadores . Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], Nueva York.