En matemáticas , el rango real de una C*-álgebra es un análogo no conmutativo de la dimensión de recubrimiento de Lebesgue . El concepto fue introducido por primera vez por Lawrence G. Brown y Gert K. Pedersen. [1]
El rango real de una C*-álgebra unital A es el entero no negativo más pequeño n , denotado RR( A ), tal que para cada ( n + 1)-tupla ( x 0 , x 1 , ... , x n ) de elementos autoadjuntos de A y cada ε > 0, existe una ( n + 1)-tupla ( y 0 , y 1 , ... , y n ) de elementos autoadjuntos de A tal que es invertible y . Si no existe tal entero, entonces el rango real de A es infinito. El rango real de una C*-álgebra no unitaria se define como el rango real de su unitalización.
Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto , entonces RR( C 0 ( X )) = dim( X ), donde dim es la dimensión de recubrimiento de Lebesgue de X. Como resultado, el rango real se considera una generalización no conmutativa de la dimensión, pero el rango real puede ser bastante diferente cuando se compara con la dimensión. Por ejemplo, la mayoría de los toros no conmutativos tienen rango real cero, a pesar de ser una versión no conmutativa del toro bidimensional . Para espacios de Hausdorff localmente compactos, ser de dimensión cero es equivalente a estar totalmente desconectado . La relación análoga falla para las C*-álgebras; mientras que las AF-álgebras tienen rango real cero, el recíproco es falso. Las fórmulas que se cumplen para la dimensión pueden no generalizarse para el rango real. Por ejemplo, Brown y Pedersen conjeturaron que RR( A ⊗ B ) ≤ RR( A ) + RR( B ), ya que es cierto que dim( X × Y ) ≤ dim( X ) + dim( Y ). Demostraron un caso especial: si A es AF y B tiene rango real cero, entonces A ⊗ B tiene rango real cero. Pero en general su conjetura es falsa, hay C*-álgebras A y B con rango real cero tales que A ⊗ B tiene rango real mayor que cero. [2]
Las C*-álgebras con rango real cero son de particular interés. Por definición, una C*-álgebra unital tiene rango real cero si y solo si los elementos autoadjuntos invertibles de A son densos en los elementos autoadjuntos de A . Esta condición es equivalente a las condiciones estudiadas previamente:
Esta equivalencia se puede utilizar para dar muchos ejemplos de C*-álgebras con rango real cero, incluyendo las AW*-álgebras , las álgebras de Bunce–Deddens , [3] y las álgebras de von Neumann . En términos más generales, las C*-álgebras unitarias puramente infinitas simples tienen rango real cero, incluyendo las álgebras de Cuntz y las álgebras de Cuntz–Krieger. Dado que las C*-álgebras gráficas simples son AF o puramente infinitas, cada C*-álgebra gráfica simple tiene rango real cero.
Tener rango real cero es una propiedad cerrada bajo límites directos , subálgebras C* hereditarias y equivalencia fuerte de Morita . En particular, si A tiene rango real cero, entonces M n ( A ), el álgebra de matrices n × n sobre A , tiene rango real cero para cualquier entero n ≥ 1.
