Álgebra AW*

En matemáticas , una AW*-álgebra es una generalización algebraica de una W*-álgebra . Fueron introducidas por Irving Kaplansky en 1951. ^[1] Como álgebras de operadores , las álgebras de von Neumann, entre todas las C*-álgebras , se manejan típicamente utilizando uno de dos medios: son el espacio dual de algún espacio de Banach , y están determinadas en gran medida por sus proyecciones. La idea detrás de las AW*-álgebras es renunciar a la primera condición, topológica, y utilizar solo la segunda, algebraica.

Definición

Recordemos que una proyección de un C*-álgebra es un elemento idempotente autoadjunto . El AC*-álgebra A es un AW*-álgebra si para cada subconjunto S de A , el aniquilador izquierdo

${\displaystyle \mathrm {Ann} _{L}(S)=\{a\in A\mid \forall s\in S,as=0\}\,}$

se genera como un ideal izquierdo por alguna proyección p de A , y de manera similar el aniquilador derecho se genera como un ideal derecho por alguna proyección q :

${\displaystyle \forall S\subseteq A\,\exists p,q\in \mathrm {Proj} (A)\colon \mathrm {Ann} _{L}(S)=Ap,\quad \mathrm {Ann} _{R}(S)=qA}$.

Por lo tanto, un AW*-álgebra es un C*-álgebra que es al mismo tiempo un *-anillo de Baer .

La definición original de Kaplansky establece que una AW*-álgebra es una C*-álgebra tal que (1) cualquier conjunto de proyecciones ortogonales tiene un límite superior mínimo, y (2) cada C*-subálgebra conmutativa máxima es generada por sus proyecciones. La primera condición establece que las proyecciones tienen una estructura interesante, mientras que la segunda condición asegura que hay suficientes proyecciones para que sea interesante. ^[1] Nótese que la segunda condición es equivalente a la condición de que cada C*-subálgebra conmutativa máxima es monótona completa.

Teoría de la estructura

Muchos resultados relativos a las álgebras de von Neumann se trasladan a las álgebras AW*. Por ejemplo, las álgebras AW* se pueden clasificar según el comportamiento de sus proyecciones y descomponer en tipos . ^[2] Otro ejemplo: las matrices normales con entradas en una álgebra AW* siempre se pueden diagonalizar. ^[3] Las álgebras AW* también tienen siempre descomposición polar . ^[4]

Sin embargo, también hay formas en las que las álgebras AW* se comportan de manera diferente a las álgebras de von Neumann. ^[5] Por ejemplo, las álgebras AW* de tipo I pueden exhibir propiedades patológicas, ^[6] aunque Kaplansky ya demostró que dichas álgebras con centro trivial son automáticamente álgebras de von Neumann.

El caso conmutativo

Un C*-álgebra conmutativa es un AW*-álgebra si y solo si su espectro es un espacio de Stone . Por lo tanto, a través de la dualidad de Stone , las AW*-álgebras conmutativas corresponden a álgebras de Boole completas . Las proyecciones de un AW*-álgebra conmutativa forman un álgebra de Boole completa y, a la inversa, cualquier álgebra de Boole completa es isomorfa a las proyecciones de algún AW*-álgebra conmutativa.

Referencias

1. Kaplansky, Irving (1951). "Proyecciones en álgebras de Banach". Anales de Matemáticas . 53 (2): 235–249. doi :10.2307/1969540.
2. Berberian, Sterling (1972). Anillos Baer * . Springer.
3. Heunen, Chris; Reyes, Manuel L. (2013). "Diagonalización de matrices sobre álgebras AW*". Journal of Functional Analysis . 264 (8): 1873–1898. arXiv : 1208.5120 . doi :10.1016/j.jfa.2013.01.022.
4. Ara, Pere (1989). "Las proyecciones izquierda y derecha son equivalentes en las C*-álgebras de Rickart". Journal of Algebra . 120 (2): 433–448. doi : 10.1016/0021-8693(89)90209-3 .
5. Wright, JD Maitland. "Álgebra AW*". Springer.
6. Ozawa, Masanao (1984). "No unicidad de la cardinalidad asociada a álgebras AW* homogéneas". Actas de la American Mathematical Society . 93 : 681–684. doi :10.2307/2045544.