Núcleo de sumabilidad

Familia de funciones

En matemáticas, un núcleo de sumabilidad es una familia o secuencia de funciones periódicas integrables que satisfacen un determinado conjunto de propiedades, que se enumeran a continuación. Ciertos núcleos, como el núcleo de Fejér , son particularmente útiles en el análisis de Fourier . Los núcleos de sumabilidad están relacionados con la aproximación de la identidad ; las definiciones de una aproximación de la identidad varían, ^[1] pero a veces la definición de una aproximación de la identidad se considera la misma que para un núcleo de sumabilidad.

Definición

Sea . Un núcleo de sumabilidad es una secuencia en que satisface ${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$

1. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$
2. ${\displaystyle \int _{\mathbb {T} }|k_{n}(t)|\,dt\leq M}$(uniformemente delimitado)
3. ${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq {\frac {1}{2}}}|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$como , para cada . ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \delta >0}$

Nótese que si para todos , es decir, es un núcleo de sumabilidad positivo , entonces el segundo requisito se sigue automáticamente del primero. ${\displaystyle k_{n}\geq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (k_{n})}$

Con la convención más usual , la primera ecuación se convierte en , y el límite superior de integración en la tercera ecuación debe extenderse a , de modo que la condición 3 anterior debe ser ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {T} }k_{n}(t)\,dt=1}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|k_{n}(t)|\,dt\to 0}$como , para cada . ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \delta >0}$

Esto expresa el hecho de que la masa se concentra alrededor del origen a medida que aumenta. ${\displaystyle n}$

También se puede considerar en lugar de ; entonces (1) y (2) se integran sobre , y (3) sobre . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |t|>\delta }$

Ejemplos

• El núcleo de Fejér
• El núcleo de Poisson (índice continuo)
• El núcleo de Landau
• El núcleo de Dirichlet no es un núcleo de sumabilidad, ya que no cumple el segundo requisito.

Convoluciones

Sea un núcleo de sumabilidad y denote la operación de convolución . ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle *}$

• Si (funciones continuas en ), entonces en , es decir uniformemente, como . En el caso del núcleo de Fejer esto se conoce como teorema de Fejér . ${\displaystyle (k_{n}),f\in {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle n\to \infty }$
• Si , entonces en , como . ${\displaystyle (k_{n}),f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle n\to \infty }$
• Si es simétrico radialmente decreciente y , entonces ae puntualmente , como . Esto utiliza la función máxima de Hardy-Littlewood . Si no es simétrico radialmente decreciente, pero la simetrización decreciente satisface , entonces la convergencia de ae todavía se cumple, utilizando un argumento similar. ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle k_{n}*f\to f}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle {\widetilde {k}}_{n}(x):=\sup _{|y|\geq |x|}k_{n}(y)}$ ${\displaystyle \sup _{n\in \mathbb {N} }\|{\widetilde {k}}_{n}\|_{1}<\infty }$

Referencias

1. Pereyra, María; Ward, Lesley (2012). Análisis armónico: de Fourier a Wavelets . American Mathematical Society. pág. 90.

• Katznelson, Yitzhak (2004), Una introducción al análisis armónico , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54359-2