teorema de fejér

En matemáticas, el teorema de Fejér , ^{[1] [2]} que lleva el nombre del matemático húngaro Lipót Fejér , establece lo siguiente: ^[3]

Teorema de Fejér  —  Sea una función continua con punto , sea la enésima suma parcial de la serie de Fourier de , y sea la secuencia de Cesàro medias de la secuencia , es decir, la secuencia de medias aritméticas de . Entonces la secuencia converge uniformemente a on cuando n tiende a infinito. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle s_{n}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(f)}$ ${\displaystyle s_{n}(f)}$ ${\displaystyle s_{0}(f),...,s_{n}(f)}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Explicación del teorema de Fejér

Explícitamente, podemos escribir la serie de Fourier de f como

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{inx}}$$

f

${\displaystyle s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}$

donde los coeficientes de Fourier son ${\displaystyle c_{k}}$

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt.}$

Entonces, podemos definir

${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt}$

siendo F _n el núcleo de Fejér de orden n .

Entonces, el teorema de Fejér afirma que

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}(f,x)=f(x)}$$

con convergencia uniforme. Con la convergencia escrita explícitamente, la declaración anterior se convierte en

$${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R} }$$

Prueba del teorema de Fejér

Primero demostramos el siguiente lema:

Lema 1  :  la enésima suma parcial de la serie de Fourier se puede escribir utilizando el núcleo de Dirichlet como: ${\displaystyle s_{n}(f,x)}$ ${\displaystyle s_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{n}(t)\,dt}$

Prueba : Recordemos la definición del núcleo de Dirichlet : ${\displaystyle D_{n}(x)}$

$${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}.}$$

${\displaystyle s_{n}(f,x)}$

$${\displaystyle s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}=\sum _{k=-n}^{n}[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt]e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(x-t)}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,D_{n}(x-t)\,dt.}$$

$${\displaystyle s_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{n}(t)\,dt.}$$

Esto completa la prueba del Lema 1.

A continuación demostramos el siguiente lema:

Lema 2  :  la enésima suma de Cesaro se puede escribir utilizando el núcleo Fejér como: ${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)F_{n}(t)dt}$

Prueba : Recordemos la definición del núcleo de Fejér. ${\displaystyle F_{n}(x)}$

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}$$

${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}$

$${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,D_{k}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,[{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(t)]\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt}$$

A continuación demostramos el tercer lema:

Lema 3  :  Fejer Kernel tiene las siguientes 3 propiedades:

• a) ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(x)\,dx=1}$
• b) ${\displaystyle F_{n}(x)\geq 0}$
• c) Para todos los fijos , ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{\delta \leq |x|\leq \pi }F_{n}(x)\,dx=0}$

Esto completa la prueba del Lema 3.

Ahora estamos listos para demostrar el teorema de Fejér. Primero, recordemos la afirmación que estamos tratando de probar.

$${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R} }$$

Queremos encontrar una expresión para . Comenzamos invocando el Lema 2: ${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|}$

$${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt.}$$

$${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x){\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)\,dt.}$$

Aplicando la desigualdad del triángulo se obtiene

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=|{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)\,dt|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,|F_{n}(t)|\,dt,}$$

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt.}$$

${\displaystyle |t|\leq \delta }$ ${\displaystyle \delta \leq |t|\leq \pi }$

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)+\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)}$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}$

Primero notamos que la función f es continua en [-π,π]. Invocamos el teorema de que toda función periódica en [-π,π] que es continua también está acotada y es uniformemente continua. Esto significa que . Por lo tanto podemos reescribir la integral 1 de la siguiente manera ${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:|x-y|\leq \delta \implies |f(x)-f(y)|\leq \epsilon }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }\epsilon \,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt}$$

${\displaystyle F_{n}(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt=\epsilon }$$

Para la integral 2, observamos que dado que f está acotada, podemos escribir esta cota como ${\displaystyle M=\sup _{-\pi \leq t\leq \pi }|f(t)|}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }2M\,F_{n}(t)\,dt={\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}$

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \epsilon \,+{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \lim _{n\to \infty }\epsilon \,+\lim _{n\to \infty }{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}$$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}$

Modificaciones y generalizaciones del teorema de Fejér

De hecho, el teorema de Fejér se puede modificar para que sea válido para la convergencia puntual. ^[3]

Teorema de Fejér modificado  :  sea continuo en , luego converge puntualmente cuando n tiende al infinito. ${\displaystyle f\in L^{2}(-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}$

Lamentablemente, sin embargo, el teorema no funciona en un sentido general cuando reemplazamos la secuencia con . Esto se debe a que existen funciones cuyas series de Fourier no convergen en algún punto. ^[4] Sin embargo, el conjunto de puntos en los que una función en diverge tiene que ser de medida cero. Este hecho, llamado conjetura de Lusins ​​o teorema de Carleson , fue demostrado en 1966 por L. Carleson. ^[4] Sin embargo, podemos probar un corolario que dice lo siguiente: ${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}$ ${\displaystyle s_{n}(f,x)}$ ${\displaystyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

Corolario  —  Dejemos . Si converge a s cuando n tiende al infinito, entonces converge a s cuando n tiende al infinito. ${\displaystyle s_{n}\in \mathbb {C} ,\,\forall n\in \,\mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{n}}$

Una forma más general del teorema se aplica a funciones que no son necesariamente continuas (Zygmund 1968, Teorema III.3.4). Supongamos que f está en L ¹ (-π,π). Si los límites izquierdo y derecho f ( x ₀ ±0) de f ( x ) existen en x ₀ , o si ambos límites son infinitos del mismo signo, entonces

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).}$

También se da a entender la existencia o divergencia hasta el infinito de la media de Cesàro. Según un teorema de Marcel Riesz , el teorema de Fejér se cumple precisamente como se indica si la media (C, 1) σ _n se reemplaza con la media (C, α) de la serie de Fourier (Zygmund 1968, Teorema III.5.1).

Referencias

1. Lipót Fejér, «Sur les fonctions intégrables et bornées», CR Acad. Ciencia. París , 10 de diciembre de 1900, 984-987,.
2. Leopold Fejér, Untersuchungen über Fouriersche Reihen, Mathematische Annalen , vol. 58, 1904, 51-69.
3. "Introducción", Introducción al espacio Hilbert , Cambridge University Press, págs. 1–3, 21 de julio de 1988 , consultado el 14 de noviembre de 2022
4. Rogosinski, WW; Rogosinski, HP (diciembre de 1965). "Un compañero elemental de un teorema de J. Mercer". Revista de Análisis Matemático . 14 (1): 311–322. doi :10.1007/bf02806398. ISSN  0021-7670.

• Zygmund, Antoni (1968), Serie trigonométrica (2ª ed.), Cambridge University Press (publicado en 1988), ISBN 978-0-521-35885-9.