Espacio de configuración (física)

Espacio de posibles posiciones para todos los objetos en un sistema físico.

En mecánica clásica , los parámetros que definen la configuración de un sistema se denominan coordenadas generalizadas , y el espacio definido por estas coordenadas se denomina espacio de configuración del sistema físico . A menudo ocurre que estos parámetros satisfacen restricciones matemáticas, de modo que el conjunto de configuraciones reales del sistema es múltiple en el espacio de coordenadas generalizadas. Esta variedad se llama variedad de configuración del sistema. Obsérvese que ésta es una noción de espacio de configuración "ilimitado", es decir, en el que diferentes partículas puntuales pueden ocupar la misma posición. En matemáticas, en particular en topología, se utiliza principalmente el concepto de espacio de configuración "restringido", en el que se eliminan las diagonales que representan partículas "en colisión".

Ejemplo: una partícula en el espacio 3D

La posición de una sola partícula que se mueve en el espacio 3 euclidiano ordinario está definida por el vector y, por lo tanto, su espacio de configuración es . Es convencional utilizar el símbolo para un punto en el espacio de configuración; ésta es la convención tanto en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica como en la mecánica lagrangiana . El símbolo se utiliza para indicar momentos; el símbolo se refiere a velocidades. ${\displaystyle q=(x,y,z)}$ ${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=dq/dt}$

Una partícula podría verse obligada a moverse en una variedad específica . Por ejemplo, si la partícula está unida a un enlace rígido, libre de oscilar alrededor del origen, está efectivamente obligada a descansar sobre una esfera. Su espacio de configuración es el subconjunto de coordenadas que definen puntos de la esfera . En este caso, se dice que la variedad es la esfera, es decir . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q=S^{2}}$

Para n partículas puntuales desconectadas y que no interactúan, el espacio de configuración es . Sin embargo, en general, uno está interesado en el caso en el que las partículas interactúan: por ejemplo, son ubicaciones específicas en algún conjunto de engranajes, poleas, bolas rodantes, etc., a menudo obligadas a moverse sin deslizarse. En este caso, el espacio de configuración no es todo , sino el subespacio (subvariedad) de posiciones permitidas que pueden tomar los puntos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3n}}$

Ejemplo: cuerpo rígido en el espacio 3D

El conjunto de coordenadas que definen la posición de un punto de referencia y la orientación de un marco de coordenadas unido a un cuerpo rígido en un espacio tridimensional forman su espacio de configuración, a menudo denotado donde representa las coordenadas del origen del marco unido al cuerpo. , y representa las matrices de rotación que definen la orientación de este marco en relación con un marco de tierra. Una configuración del cuerpo rígido está definida por seis parámetros, tres de y tres de , y se dice que tiene seis grados de libertad . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$

En este caso, el espacio de configuración es de seis dimensiones y un punto es sólo un punto en ese espacio. La "ubicación" en ese espacio de configuración se describe utilizando coordenadas generalizadas ; así, tres de las coordenadas podrían describir la ubicación del centro de masa del cuerpo rígido, mientras que tres más podrían ser los ángulos de Euler que describen su orientación. No existe una elección canónica de coordenadas; también se podría elegir alguna punta o punto final del cuerpo rígido, en lugar de su centro de masa; se podría optar por utilizar cuaterniones en lugar de ángulos de Euler, y así sucesivamente. Sin embargo, la parametrización no cambia las características mecánicas del sistema; todas las diferentes parametrizaciones describen en última instancia la misma variedad (seis dimensiones), el mismo conjunto de posibles posiciones y orientaciones. ${\displaystyle Q=\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle q}$

Es más fácil trabajar con algunas parametrizaciones que con otras, y se pueden hacer muchas declaraciones importantes trabajando sin coordenadas. Ejemplos de afirmaciones sin coordenadas son que el espacio tangente corresponde a las velocidades de los puntos , mientras que el espacio cotangente corresponde a los momentos. (Las velocidades y los momentos se pueden conectar; para el caso más general y abstracto, esto se hace con la noción bastante abstracta de forma única tautológica ). ${\displaystyle TQ}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

Ejemplo: brazo robótico

Para un brazo robótico que consta de numerosos vínculos rígidos, el espacio de configuración consiste en la ubicación de cada vínculo (considerado como un cuerpo rígido, como en la sección anterior), sujeto a las restricciones de cómo se unen los vínculos entre sí, y su rango de movimiento permitido. Así, para los vínculos, se podría considerar el espacio total ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left[\mathbb {R} ^{3}\times \mathrm {SO} (3)\right]^{n}}$$

${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$

Sin embargo, tenga en cuenta que en robótica, el término espacio de configuración también puede referirse a un subconjunto aún más reducido: el conjunto de posiciones alcanzables por el efector final de un robot . ^[1] Esta definición, sin embargo, conduce a las complejidades descritas por la holonomía : es decir, puede haber varias formas diferentes de disponer un brazo robótico para obtener una ubicación particular del efector final, e incluso es posible hacer que el brazo robótico se mueva. mientras se mantiene estacionario el efector final. Así, una descripción completa del brazo, adecuada para su uso en cinemática, requiere la especificación de todas las posiciones y ángulos de las articulaciones, y no sólo de algunos de ellos.

Los parámetros conjuntos del robot se utilizan como coordenadas generalizadas para definir configuraciones. El conjunto de valores de parámetros articulares se denomina espacio articular . Las ecuaciones cinemáticas directa e inversa de un robot definen mapas entre configuraciones y posiciones de efectores finales, o entre el espacio articular y el espacio de configuración. La planificación del movimiento del robot utiliza este mapeo para encontrar una ruta en el espacio articular que proporcione una ruta alcanzable en el espacio de configuración del efector final.

Definicion formal

En mecánica clásica , la configuración de un sistema se refiere a la posición de todas las partículas puntuales constituyentes del sistema. ^[2]

Espacio de fase

El espacio de configuración es insuficiente para describir completamente un sistema mecánico: no tiene en cuenta las velocidades. El conjunto de velocidades disponibles para un sistema define un plano tangente a la variedad de configuración del sistema. En un punto , ese plano tangente se denota por . Los vectores de momento son funcionales lineales del plano tangente, conocidos como vectores cotangentes; para un punto , ese plano cotangente se denota por . El conjunto de posiciones y momentos de un sistema mecánico forma el haz cotangente de la variedad de configuración . Esta variedad más grande se llama espacio de fase del sistema. ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle q\in Q}$ ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$ ${\displaystyle Q}$

Espacio de estados cuánticos

En mecánica cuántica , se puede utilizar el espacio de configuración (ver, por ejemplo, el problema de Mott ), pero no la extensión de la mecánica clásica al espacio de fases. En cambio, se utiliza un conjunto bastante diferente de formalismos y notaciones en el concepto análogo llamado espacio de estados cuántico . El análogo de una "partícula puntual" se convierte en un único punto en la línea proyectiva compleja , también conocida como esfera de Bloch . Es complejo, porque una función de onda mecánico-cuántica tiene una fase compleja; es proyectivo porque la función de onda está normalizada a probabilidad unitaria. Es decir, dada una función de onda, uno es libre de normalizarla según la probabilidad total , haciéndola así proyectiva. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\textstyle \int \psi ^{*}\psi }$

Ver también

• Espacio de características (tema en el reconocimiento de patrones)
• Espacio de parámetros
• Espacio de configuración (matemáticas)

Referencias

1. John J. Craig, Introducción a la robótica: mecánica y control , 3.ª ed. Prentice-Hall, 2004
2. Sussman, Gerald Jay; Sabiduría, Jack; con Mayer, Meinhard E. (2001). Estructura e interpretación de la mecánica clásica . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. pag. 9.ISBN​ 0262194554.

enlaces externos

• Explicación intuitiva de espacios de configuración clásica.
• Visualización interactiva del espacio C para un brazo robótico con dos enlaces rotacionales de UC Berkeley .
• Visualización del espacio de configuración de la Universidad Libre de Berlín
• Espacios de configuración, trenzas y robótica de Robert Ghrist