Ecuación de Euler-Lagrange

Ecuación diferencial parcial de segundo orden que describe el movimiento de un sistema mecánico.

En el cálculo de variaciones y en la mecánica clásica , las ecuaciones de Euler-Lagrange ^{[1] son ​​un sistema de} ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas soluciones son puntos estacionarios de la acción funcional dada . Las ecuaciones fueron descubiertas en la década de 1750 por el matemático suizo Leonhard Euler y el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange .

Debido a que un funcional diferenciable es estacionario en sus extremos locales , la ecuación de Euler-Lagrange es útil para resolver problemas de optimización en los que, dado algún funcional, se busca la función minimizándolo o maximizándolo. Esto es análogo al teorema de Fermat en cálculo , que establece que en cualquier punto donde una función diferenciable alcanza un extremo local su derivada es cero. En la mecánica lagrangiana , según el principio de acción estacionaria de Hamilton , la evolución de un sistema físico se describe mediante las soluciones a la ecuación de Euler para la acción del sistema. En este contexto, las ecuaciones de Euler suelen denominarse ecuaciones de Lagrange . En mecánica clásica , ^[2] es equivalente a las leyes del movimiento de Newton ; de hecho, las ecuaciones de Euler-Lagrange producirán las mismas ecuaciones que las leyes de Newton. Esto es particularmente útil cuando se analizan sistemas cuyos vectores de fuerza son particularmente complicados. Tiene la ventaja de que toma la misma forma en cualquier sistema de coordenadas generalizadas y se adapta mejor a las generalizaciones. En la teoría de campos clásica existe una ecuación análoga para calcular la dinámica de un campo .

Historia

La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en relación con sus estudios del problema de la tautocrona . Este es el problema de determinar una curva sobre la cual una partícula ponderada caerá hasta un punto fijo en un período de tiempo fijo, independientemente del punto de partida.

Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos desarrollaron aún más el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica , lo que condujo a la formulación de la mecánica lagrangiana . Su correspondencia condujo finalmente al cálculo de variaciones , término acuñado por el propio Euler en 1766. ^[3]

Declaración

Sea un sistema dinámico real con grados de libertad. Aquí está el espacio de configuración y el Lagrangiano , es decir, una función suave de valor real tal que y es un "vector de velocidad" -dimensional. (Para aquellos familiarizados con la geometría diferencial , es una variedad suave y ¿dónde está el paquete tangente de ${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=L(t,{\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {v}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in X,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X).}$

Sea el conjunto de caminos suaves por los cuales y ${\displaystyle {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$

La acción funcional se define mediante ${\displaystyle S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.}$$

Un camino es un punto estacionario de si y sólo si ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.}$

Aquí está la derivada del tiempo de Cuando decimos punto estacionario, nos referimos a un punto estacionario de con respecto a cualquier pequeña perturbación en . Consulte las pruebas a continuación para obtener detalles más rigurosos. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

Derivación de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange

La derivación de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange es una de las pruebas clásicas en matemáticas . Se basa en el lema fundamental del cálculo de variaciones .

Deseamos encontrar una función que satisfaga las condiciones de contorno , y que extremice la función funcional ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)=A}$ ${\displaystyle f(b)=B}$

$${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

Suponemos que es dos veces continuamente diferenciable. ^[4] Se puede utilizar una suposición más débil, pero la prueba se vuelve más difícil. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle L}$

Si extrema el funcional sujeto a las condiciones de contorno, entonces cualquier ligera perturbación que preserve los valores de contorno debe aumentar (si es un minimizador) o disminuir (si es un maximizador). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$

Sea el resultado de tal perturbación de , donde es pequeño y es una función diferenciable que satisface . Luego define ${\displaystyle f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$

$${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

Ahora deseamos calcular la derivada total de con respecto a ε . ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}}$$

La tercera línea se deriva del hecho de que no depende de , es decir . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0}$

Cuando , tiene un valor extremo , de modo que ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}$$

El siguiente paso es utilizar la integración por partes en el segundo término del integrando, obteniendo

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .}$$

Usando las condiciones de contorno , ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}$$

La aplicación del lema fundamental del cálculo de variaciones ahora produce la ecuación de Euler-Lagrange

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.}$$

Derivación alternativa de la ecuación unidimensional de Euler-Lagrange

Dado un funcional

$${\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t}$$

Continuando con las condiciones de contorno y , procedemos aproximando la curva extrema por una línea poligonal con segmentos y pasando al límite a medida que el número de segmentos crece arbitrariamente. ${\displaystyle C^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle y(a)=A}$ ${\displaystyle y(b)=B}$ ${\displaystyle n}$

Divida el intervalo en segmentos iguales con puntos finales y sea . En lugar de una función suave, consideramos la línea poligonal con vértices , donde y . En consecuencia, nuestra funcional se convierte en una función real de variables dada por ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b}$ ${\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle y_{0}=A}$ ${\displaystyle y_{n}=B}$ ${\displaystyle n-1}$

$${\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}$$

Los extremos de este nuevo funcional definido en los puntos discretos corresponden a puntos donde ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}$$

Tenga en cuenta que el cambio de afecta a L no sólo en m sino también en m-1 para la derivada del tercer argumento. ${\displaystyle y_{m}}$

$${\displaystyle L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}},L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}$$

La evaluación de la derivada parcial da

$${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}$$

Dividiendo la ecuación anterior por da ${\displaystyle \Delta t}$

$${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}$$

y tomando el límite del lado derecho de esta expresión se obtiene ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

$${\displaystyle L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.}$$

El lado izquierdo de la ecuación anterior es la derivada funcional del funcional . Una condición necesaria para que un funcional diferenciable tenga un extremo en alguna función es que su derivada funcional en esa función desaparezca, lo cual está garantizado por la última ecuación. ${\displaystyle \delta J/\delta y}$ ${\displaystyle J}$

Ejemplo

Un ejemplo estándar ^{[ cita necesaria ]} es encontrar la función de valor real y ( x ) en el intervalo [ a , b ], tal que y ( a ) = c y y ( b ) = d , para lo cual la longitud del camino a lo largo del La curva trazada por y es lo más corta posible.

${\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}$

siendo la función integrando . ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$

Las derivadas parciales de L son:

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$

Sustituyéndolos en la ecuación de Euler-Lagrange, obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$

es decir, la función debe tener una primera derivada constante y, por tanto, su gráfica es una línea recta .

Generalizaciones

Función única de variable única con derivadas más altas

Los valores estacionarios de la funcional.

${\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}$

se puede obtener a partir de la ecuación de Euler-Lagrange ^[5]

${\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}$

bajo condiciones de contorno fijas para la función misma, así como para las primeras derivadas (es decir, para todas ). Los valores finales de la derivada más alta siguen siendo flexibles. ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

Varias funciones de una sola variable con una sola derivada

Si el problema implica encontrar varias funciones ( ) de una sola variable independiente ( ) que definan un extremo de la función ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes son ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}}$

Función única de varias variables con derivada única

Una generalización multidimensional proviene de considerar una función sobre n variables. Si hay alguna superficie, entonces ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

se extrema sólo si f satisface la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}$

Cuando n = 2 y funcional es la energía funcional , esto conduce al problema de superficie mínima de la película de jabón . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

Varias funciones de varias variables con derivada única

Si hay varias funciones desconocidas por determinar y varias variables tales que

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange es ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}$

Función única de dos variables con derivadas más altas.

Si hay una única función desconocida f por determinar que depende de dos variables x ₁ y x ₂ y si la funcional depende de derivadas superiores de f hasta el orden n tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

entonces la ecuación de Euler-Lagrange es ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}$

que se puede representar brevemente como:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

donde hay índices que abarcan el número de variables, es decir, aquí van de 1 a 2. Aquí la suma de los índices solo finaliza para evitar contar la misma derivada parcial varias veces, por ejemplo, aparece solo una vez en la ecuación anterior. . ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{12}=f_{21}}$

Varias funciones de varias variables con derivadas más altas.

Si hay p funciones desconocidas f _i por determinar que dependen de m variables x ₁ ... x _m y si la funcional depende de derivadas superiores de f _i hasta el orden n tal que

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

donde son índices que abarcan el número de variables, es decir van de 1 a m. Entonces la ecuación de Euler-Lagrange es ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

donde la sumatoria sobre el es evitando contar varias veces la misma derivada , tal como en el inciso anterior. Esto se puede expresar de forma más compacta como ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

Generalización a variedades.

Sea una variedad suave y denotemos el espacio de funciones suaves . Entonces, para funcionales de la forma ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle f\colon [a,b]\to M}$ ${\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}$

donde está el lagrangiano, la afirmación es equivalente a la afirmación de que, para todos , cada trivialización del marco de coordenadas de una vecindad de produce las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle L\colon TM\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0}$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$ ${\displaystyle (x^{i},X^{i})}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)}$ ${\displaystyle \dim M}$

${\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange también se pueden escribir en forma sin coordenadas como ^[7]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL}$

¿Dónde está el momento canónico 1-forma correspondiente al lagrangiano ? El campo vectorial que genera traducciones de tiempo se denota por y la derivada de Lie se denota por . Se pueden utilizar gráficos locales en los que y y expresiones de coordenadas para la derivada de Lie para ver la equivalencia con las expresiones de coordenadas de la ecuación de Euler Lagrange. La forma libre de coordenadas es particularmente adecuada para la interpretación geométrica de las ecuaciones de Euler Lagrange. ${\displaystyle \theta _{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })}$ ${\displaystyle \theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}}$

Ver también

• Mecánica lagrangiana
• Mecánica hamiltoniana
• Mecánica analítica
• Identidad Beltrami
• Derivado funcional

Notas

1. Zorro, Charles (1987). Una introducción al cálculo de variaciones . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-0-486-65499-7.
2. Goldstein, H .; Poole, CP; Safko, J. (2014). Mecánica clásica (3ª ed.). Addison Wesley.
3. Una breve biografía de Lagrange Archivada el 14 de julio de 2007 en la Wayback Machine.
4. Courant y Hilbert 1953, pág. 184
5. Courant, R ; Hilbert, D (1953). Métodos de Física Matemática . vol. Yo (Primera edición en inglés). Nueva York: Interscience Publishers, Inc. ISBN 978-0471504474.
6. Weinstock, R. (1952). Cálculo de Variaciones con Aplicaciones a la Física y la Ingeniería . Nueva York: McGraw-Hill.
7. José; Saletán (1998). "Dinámica clásica: un enfoque contemporáneo". Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 9780521636360. Consultado el 12 de septiembre de 2023 .

Referencias

• "Ecuaciones de Lagrange (en mecánica)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Euler-Lagrange". MundoMatemático .
• Cálculo de variaciones en PlanetMath .
• Gelfand, Izrail Moiseevich (1963). Cálculo de variaciones . Dover. ISBN 0-486-41448-5.
• Roubicek, T.: Cálculo de variaciones. Capítulo 17 en: Herramientas matemáticas para físicos. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7 , págs.