Curva tautocrona

Concepto en geometría

Cuatro bolas se deslizan por una curva cicloide desde diferentes posiciones, pero llegan al fondo al mismo tiempo. Las flechas azules muestran la aceleración de los puntos a lo largo de la curva. En la parte superior está el diagrama tiempo-posición.

Objetos que representan la curva tautocrona.

Una curva tautocrona o curva isócrona (de los prefijos griegos tauto- que significa igual o isoigual , y tiempo crono ) es la curva para la cual el tiempo que tarda un objeto deslizándose sin fricción en gravedad uniforme hasta su punto más bajo es independiente de su punto inicial. en la curva. La curva es una cicloide y el tiempo es igual a π multiplicado por la raíz cuadrada del radio (del círculo que genera la cicloide) sobre la aceleración de la gravedad. La curva tautocrona está relacionada con la curva braquistocrona , que también es una cicloide .

El problema de la tautocrona

Christiaan Huygens , Horologium oscilatorium sive de motu pendulorum , 1673

Fue en el pote de prueba izquierdo del Pequod, mientras la esteatita daba vueltas diligentemente a mi alrededor, donde me llamó la atención indirectamente por primera vez el hecho notable de que en geometría todos los cuerpos que se deslizan a lo largo de la cicloide, mi esteatita, por ejemplo, descenderán de cualquier punto exactamente al mismo tiempo.

Moby Dick de Herman Melville , 1851

El problema de la tautocrona, el intento de identificar esta curva, fue resuelto por Christiaan Huygens en 1659. Demostró geométricamente en su Horologium Oscillatorium , publicado originalmente en 1673, que la curva es una cicloide .

En una cicloide cuyo eje se erige sobre la perpendicular y cuyo vértice se sitúa en la parte inferior, los tiempos de descenso, en los que un cuerpo llega al punto más bajo del vértice después de haber partido de cualquier punto de la cicloide, son iguales a cada otro... ^[1]

La cicloide está dada por un punto en un círculo de radio que traza una curva a medida que el círculo rueda a lo largo del eje, como: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta -\sin \theta )\\y&=r(1-\cos \theta ),\end{aligned}}}$$

Huygens también demostró que el tiempo de descenso es igual al tiempo que tarda un cuerpo en caer verticalmente la misma distancia que el diámetro del círculo que genera la cicloide, multiplicado por . En términos modernos, esto significa que el tiempo de descenso es , donde es el radio del círculo que genera la cicloide, y es la gravedad de la Tierra , o más exactamente, la aceleración gravitacional de la Tierra. ${\displaystyle \pi /2}$ ${\textstyle \pi {\sqrt {r/g}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g}$

Cinco péndulos cicloidales isócronos con diferentes amplitudes

Esta solución se utilizó posteriormente para resolver el problema de la curva braquistocrona . Johann Bernoulli resolvió el problema en un artículo ( Acta Eruditorum , 1697).

Esquema de un péndulo cicloidal.

Huygens estudió más de cerca el problema de la tautocrona cuando se dio cuenta de que un péndulo, que sigue una trayectoria circular, no era isócrono y, por lo tanto, su reloj de péndulo mantendría una hora diferente dependiendo de qué tan lejos oscilara el péndulo. Después de determinar el camino correcto, Christiaan Huygens intentó crear relojes de péndulo que usaban una cuerda para suspender la sacudida y las mejillas cerca de la parte superior de la cuerda para cambiar el camino hacia la curva tautocrona. Estos intentos resultaron inútiles por varias razones. Primero, la flexión de la cuerda provoca fricción, lo que cambia la sincronización. En segundo lugar, hubo fuentes mucho más importantes de errores de sincronización que anularon cualquier mejora teórica que ayude a viajar en la curva tautocrona. Finalmente, el "error circular" de un péndulo disminuye a medida que disminuye la longitud de la oscilación, por lo que mejores escapes del reloj podrían reducir en gran medida esta fuente de inexactitud.

Posteriormente, los matemáticos Joseph Louis Lagrange y Leonhard Euler proporcionaron una solución analítica al problema.

solución lagrangiana

Si la posición de la partícula está parametrizada por la longitud del arco s ( t ) desde el punto más bajo, la energía cinética es proporcional a La energía potencial es proporcional a la altura y ( s ) . Una forma en que la curva puede ser isócrona es si el lagrangiano es el de un oscilador armónico simple : la altura de la curva debe ser proporcional a la longitud del arco al cuadrado. ${\displaystyle {\dot {s}}^{2}.}$

${\displaystyle y(s)=s^{2},}$

donde la constante de proporcionalidad se ha fijado en 1 cambiando las unidades de longitud.

La forma diferencial de esta relación es

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&=2s\,ds,\\dy^{2}&=4s^{2}\,ds^{2}=4y\left(dx^{2}+dy^{2}\right),\end{aligned}}}$

lo que elimina s y deja una ecuación diferencial para dx y dy . Para encontrar la solución, integra para x en términos de y :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&={\frac {\sqrt {1-4y}}{2{\sqrt {y}}}},\\x&=\int {\sqrt {1-4u^{2}}}\,du,\end{aligned}}}$

dónde . Esta integral es el área bajo un círculo, que naturalmente se puede cortar en un triángulo y una cuña circular: ${\displaystyle u={\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{2}}u{\sqrt {1-4u^{2}}}+{\tfrac {1}{4}}\arcsin 2u,\\y&=u^{2}.\end{aligned}}}$

Para ver que se trata de una cicloide extrañamente parametrizada , cambie las variables para desenredar las partes trascendental y algebraica definiendo el ángulo . Esto produce ${\displaystyle \theta =\arcsin 2u}$

${\displaystyle {\begin{aligned}8x&=2\sin \theta \cos \theta +2\theta =\sin 2\theta +2\theta ,\\8y&=2\sin ^{2}\theta =1-\cos 2\theta ,\end{aligned}}}$

que es la parametrización estándar, excepto para la escala de x , y y  θ .

Solución de "gravedad virtual"

La solución más simple al problema de la tautocrona es observar una relación directa entre el ángulo de una pendiente y la gravedad que siente una partícula sobre la pendiente. Una partícula en un plano vertical de 90° experimenta una aceleración gravitacional total , mientras que una partícula en un plano horizontal experimenta una aceleración gravitacional cero. En ángulos intermedios, la aceleración debida a la "gravedad virtual" de la partícula es . Tenga en cuenta que se mide entre la tangente a la curva y la horizontal, y los ángulos por encima de la horizontal se tratan como ángulos positivos. Por tanto, varía de a . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle -\pi /2}$ ${\displaystyle \pi /2}$

La posición de una masa medida a lo largo de una curva tautocrona, debe obedecer a la siguiente ecuación diferencial: ${\displaystyle s(t)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}=-\omega ^{2}s}$

el cual, junto con las condiciones iniciales y , tiene solución: ${\displaystyle s(0)=s_{0}}$ ${\displaystyle s'(0)=0}$

${\displaystyle s(t)=s_{0}\cos \omega t}$

Se puede verificar fácilmente que esta solución resuelve la ecuación diferencial y que una partícula llegará en algún momento desde cualquier posición inicial . El problema ahora es construir una curva que haga que la masa obedezca el movimiento anterior. La segunda ley de Newton muestra que la fuerza de gravedad y la aceleración de la masa están relacionadas por: ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \pi /2\omega }$ ${\displaystyle s_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}-g\sin \theta &={\frac {d^{2}s}{{dt}^{2}}}\\&=-\omega ^{2}s\,\end{aligned}}}$

La aparición explícita de la distancia, , es problemática, pero podemos diferenciarla para obtener una forma más manejable: ${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g\cos \theta \,d\theta &=\omega ^{2}\,ds\\\Longrightarrow ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \end{aligned}}}$

Esta ecuación relaciona el cambio en el ángulo de la curva con el cambio en la distancia a lo largo de la curva. Ahora usamos trigonometría para relacionar el ángulo con las longitudes diferenciales , y : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds={\frac {dx}{\cos \theta }}\\ds={\frac {dy}{\sin \theta }}\end{aligned}}}$

Reemplazar con en la ecuación anterior nos permite resolver en términos de : ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dx}{\cos \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dx&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\left(\cos 2\theta +1\right)d\theta \\x&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\left(\sin 2\theta +2\theta \right)+C_{x}\end{aligned}}}$

Asimismo, también podemos expresar en términos de y resolver en términos de : ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\{\frac {dy}{\sin \theta }}&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\cos \theta \,d\theta \\dy&={\frac {g}{\omega ^{2}}}\sin \theta \cos \theta \,d\theta \\&={\frac {g}{2\omega ^{2}}}\sin 2\theta \,d\theta \\y&=-{\frac {g}{4\omega ^{2}}}\cos 2\theta +C_{y}\end{aligned}}}$

Sustituyendo y , vemos que estas ecuaciones paramétricas para y son las de un punto en un círculo de radio que se desplaza a lo largo de una línea horizontal (una cicloide ), con el centro del círculo en las coordenadas : ${\displaystyle \phi =2\theta }$ ${\textstyle r={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (C_{x}+r\phi ,C_{y})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\sin \phi +\phi \right)+C_{x}\\y&=-r\cos \phi +C_{y}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que oscila entre . Lo habitual es establecer y de manera que el punto más bajo de la curva coincida con el origen. Por lo tanto: ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle -\pi \leq \phi \leq \pi }$ ${\displaystyle C_{x}=0}$ ${\displaystyle C_{y}=r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\left(\phi +\sin \phi \right)\\y&=r\left(1-\cos \phi \right)\\\end{aligned}}}$

Resolviendo y recordando que es el tiempo necesario para el descenso, siendo un cuarto de ciclo completo, encontramos el tiempo de descenso en términos del radio : ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T={\frac {\pi }{2\omega }}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {g}{4\omega ^{2}}}\\\omega &={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{r}}}\\T&=\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}\\\end{aligned}}}$

(Basado libremente en Proctor , págs. 135-139)

La solución de Abel.

Niels Henrik Abel atacó una versión generalizada del problema de la tautocrona ( problema mecánico de Abel ), es decir, dada una función que especifica el tiempo total de descenso para una altura inicial determinada, encontrar una ecuación de la curva que produzca este resultado. El problema de la tautocrona es un caso especial del problema mecánico de Abel cuando es una constante. ${\displaystyle T(y)}$ ${\displaystyle T(y)}$

La solución de Abel comienza con el principio de conservación de la energía : dado que la partícula no tiene fricción y, por lo tanto, no pierde energía en forma de calor , su energía cinética en cualquier punto es exactamente igual a la diferencia de energía potencial gravitacional desde su punto inicial. La energía cinética es , y dado que la partícula está obligada a moverse a lo largo de una curva, su velocidad es simplemente , donde está la distancia medida a lo largo de la curva. Asimismo, la energía potencial gravitacional ganada al caer desde una altura inicial a una altura es , así: ${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ ${\displaystyle {d\ell }/{dt}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle mg(y_{0}-y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}m\left({\frac {d\ell }{dt}}\right)^{2}&=mg(y_{0}-y)\\{\frac {d\ell }{dt}}&=\pm {\sqrt {2g(y_{0}-y)}}\\dt&=\pm {\frac {d\ell }{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\\dt&=-{\frac {1}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy\end{aligned}}}$

En la última ecuación, anticipamos escribir la distancia restante a lo largo de la curva como una función de la altura ( , reconocimos que la distancia restante debe disminuir a medida que aumenta el tiempo (de ahí el signo menos) y usamos la regla de la cadena en la forma . ${\displaystyle \ell (y))}$ ${\textstyle d\ell ={\frac {d\ell }{dy}}dy}$

Ahora integramos desde hasta para obtener el tiempo total requerido para que la partícula caiga: ${\displaystyle y=y_{0}}$ ${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle T(y_{0})=\int _{y=y_{0}}^{y=0}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int _{0}^{y_{0}}{\frac {1}{\sqrt {y_{0}-y}}}{\frac {d\ell }{dy}}\,dy}$

Esto se llama ecuación integral de Abel y nos permite calcular el tiempo total requerido para que una partícula caiga a lo largo de una curva determinada (lo cual sería fácil de calcular). Pero el problema mecánico de Abel requiere lo contrario: dado , deseamos encontrar , de donde se seguiría una ecuación para la curva de manera directa. Para continuar, observamos que la integral de la derecha es la convolución de con y así tomamos la transformada de Laplace de ambos lados con respecto a la variable : ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ ${\displaystyle T(y_{0})\,}$ ${\displaystyle f(y)={d\ell }/{dy}}$ ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ ${\displaystyle {1}/{\sqrt {y}}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={\frac {1}{\sqrt {2g}}}{\mathcal {L}}\left[{\frac {1}{\sqrt {y}}}\right]F(s)}$

dónde . Desde entonces , ahora tenemos una expresión para la transformada de Laplace en términos de la transformada de Laplace de : ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}{\left[{d\ell }/{dy}\right]}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}{\left[{1}/{\sqrt {y}}\right]}={\sqrt {{\pi }/{s}}}}$ ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ ${\displaystyle T(y_{0})}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T(y_{0})]}$

Esto es lo más lejos que podemos llegar sin especificar . Una vez conocida, podemos calcular su transformada de Laplace, calcular la transformada de Laplace y luego tomar la transformada inversa (o intentar hacerlo) para encontrar . ${\displaystyle T(y_{0})}$ ${\displaystyle T(y_{0})}$ ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$ ${\displaystyle {d\ell }/{dy}}$

Para el problema de la tautocrona, es constante. Dado que la transformada de Laplace de 1 es , es decir, encontramos la función de forma : ${\displaystyle T(y_{0})=T_{0}\,}$ ${\displaystyle {1}/{s}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}[T(y_{0})]={T_{0}}/{s}}$ ${\textstyle f(y)={d\ell }/{dy}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(s)={\mathcal {L}}{\left[{\frac {d\ell }{dy}}\right]}&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}s^{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}[T_{0}]\\&={\sqrt {\frac {2g}{\pi }}}T_{0}s^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

Haciendo uso nuevamente de la transformada de Laplace anterior, invertimos la transformada y concluimos:

${\displaystyle {\frac {d\ell }{dy}}=T_{0}{\frac {\sqrt {2g}}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {y}}}}$

Se puede demostrar que la cicloide obedece a esta ecuación. Se necesita un paso más para hacer la integral con respecto a para obtener la expresión de la forma del camino. ${\displaystyle y}$

( Simmons , Sección 54).

Ver también

• Identidad Beltrami
• Curva braquistocrona
• Cálculo de variaciones
• De cadena
• Cicloide
• Movimiento uniformemente acelerado

Referencias

1. Blackwell, Richard J. (1986). El reloj de péndulo de Christiaan Huygens . Ames, Iowa: Prensa de la Universidad Estatal de Iowa. Parte II, Proposición XXV, pág. 69.ISBN _ 0-8138-0933-9.

Bibliografía

• Simmons, George (1972). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas . McGraw-Hill. ISBN 0-07-057540-1.
• Supervisor, Richard Anthony (1878). Tratado sobre la cicloide y todas las formas de curvas cicloidales, y sobre el uso de dichas curvas para tratar los movimientos de planetas, cometas, etc., y de la materia proyectada desde el Sol.

enlaces externos

• MundoMatemático