Variedad simpléctica

Tipos de variedades en geometría diferencial

En geometría diferencial , una materia de matemáticas , una variedad simpléctica es una variedad lisa , , equipada con una 2-forma diferencial no degenerada cerrada , llamada forma simpléctica. El estudio de las variedades simplécticas se llama geometría simpléctica o topología simpléctica . Las variedades simplécticas surgen naturalmente en formulaciones abstractas de la mecánica clásica y la mecánica analítica como los fibrados cotangentes de variedades. Por ejemplo, en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las principales motivaciones para el campo, el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como una variedad, y el fibrado cotangente de esta variedad describe el espacio de fases del sistema. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$

Motivación

Las variedades simplécticas surgen de la mecánica clásica ; en particular, son una generalización del espacio de fases de un sistema cerrado. ^[1] De la misma manera que las ecuaciones de Hamilton permiten derivar la evolución temporal de un sistema a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales , la forma simpléctica debería permitir obtener un campo vectorial que describa el flujo del sistema a partir de la diferencial de una función hamiltoniana . ^[2] Por lo tanto, requerimos una función lineal de la variedad tangente a la variedad cotangente o, equivalentemente, un elemento de . Si denotamos una sección de , el requisito de que sea no degenerada asegura que para cada diferencial existe un campo vectorial correspondiente único tal que . Dado que se desea que el hamiltoniano sea constante a lo largo de las líneas de flujo, se debería tener , lo que implica que es alternante y, por lo tanto, una 2-forma. Finalmente, se hace el requisito de que no debería cambiar bajo las líneas de flujo, es decir, que la derivada de Lie de a lo largo se anule. Aplicando la fórmula de Cartan , esto equivale a (aquí está el producto interior ): ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}$ ${\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle \iota _{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}$

de modo que, al repetir este argumento para diferentes funciones suaves tales que las correspondientes abarcan el espacio tangente en cada punto en el que se aplica el argumento, vemos que el requisito de la derivada de Lie que se desvanece a lo largo de flujos de correspondientes a funciones suaves arbitrarias es equivalente al requisito de que ω debe ser cerrado . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle H}$

Definición

Una forma simpléctica en una variedad suave es una 2-forma diferencial no degenerada cerrada . ^{[3] [4]} Aquí, no degenerado significa que para cada punto , el emparejamiento antisimétrico en el espacio tangente definido por es no degenerado. Es decir, si existe un tal que para todo , entonces . Dado que en dimensiones impares, las matrices antisimétricas son siempre singulares, el requisito de que sea no degenerado implica que tiene una dimensión par. ^{[3] [4]} La condición cerrada significa que la derivada exterior de se desvanece. Una variedad simpléctica es un par donde es una variedad suave y es una forma simpléctica. Asignar una forma simpléctica a se conoce como dar una estructura simpléctica . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Espacios vectoriales simplécticos

Sea una base para Definimos nuestra forma simpléctica ω sobre esta base de la siguiente manera: ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$

${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

En este caso, la forma simpléctica se reduce a una forma cuadrática simple . Si I _n denota la matriz identidad n × n, entonces la matriz, Ω, de esta forma cuadrática está dada por la matriz de bloques 2 n × 2 n :

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

Fibrados cotangentes

Sea una variedad suave de dimensión . Entonces el espacio total del fibrado cotangente tiene una forma simpléctica natural, llamada forma bidimensional de Poincaré o forma simpléctica canónica ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}$

Aquí hay coordenadas locales en y son coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes . Los fibrados cotangentes son los espacios de fase naturales de la mecánica clásica. El punto de distinguir índices superiores e inferiores está impulsado por el caso de la variedad que tiene un tensor métrico , como es el caso de las variedades de Riemann . Los índices superiores e inferiores se transforman contra y covariantemente bajo un cambio de marcos de coordenadas. La frase "coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes" pretende transmitir que los momentos están " soldados " a las velocidades . La soldadura es una expresión de la idea de que la velocidad y el momento son colineales, en el sentido de que ambos se mueven en la misma dirección y difieren por un factor de escala. ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle dq^{i}}$

Colectores Kähler

Una variedad de Kähler es una variedad simpléctica dotada de una estructura compleja integrable compatible. Forman una clase particular de variedades complejas . Una gran clase de ejemplos proviene de la geometría algebraica compleja . Cualquier variedad proyectiva compleja suave tiene una forma simpléctica que es la restricción de la forma del Estudio de Fubini en el espacio proyectivo . ${\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Variedades casi complejas

Las variedades de Riemann con una estructura casi compleja compatible con α se denominan variedades casi complejas . Generalizan las variedades de Kähler, en el sentido de que no necesitan ser integrables . Es decir, no surgen necesariamente de una estructura compleja en la variedad. ${\displaystyle \omega }$

Lagrangiano y otras subvariedades

Existen varias nociones geométricas naturales de subvariedad de una variedad simpléctica : ${\displaystyle (M,\omega )}$

• Las subvariedades simplécticas de (potencialmente de cualquier dimensión par) son subvariedades tales que es una forma simpléctica en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$ ${\displaystyle S}$
• Las subvariedades isótropas son subvariedades en las que la forma simpléctica se limita a cero, es decir, cada espacio tangente es un subespacio isótropo del espacio tangente de la variedad ambiente. De manera similar, si cada subespacio tangente a una subvariedad es coisotrópico (el dual de un subespacio isótropo), la subvariedad se denomina coisotrópica .
• Las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica son subvariedades en las que la restricción de la forma simpléctica a es nula, es decir y . Las subvariedades lagrangianas son las subvariedades isótropas máximas. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{L}=0}$ ${\displaystyle {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}$

Un ejemplo importante es que el gráfico de un simplectomorfismo en la variedad simpléctica producto ( M × M , ω × − ω ) es lagrangiano. Sus intersecciones muestran propiedades de rigidez que no poseen las variedades suaves; la conjetura de Arnold da la suma de los números de Betti de la subvariedad como límite inferior para el número de autointersecciones de una subvariedad lagrangiana suave, en lugar de la característica de Euler en el caso suave.

Ejemplos

Tengamos las coordenadas globales etiquetadas como . Luego, podemos equiparlas con la forma simpléctica canónica ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}$

Existe una subvariedad lagrangiana estándar dada por . La forma se anula en porque dado cualquier par de vectores tangentes tenemos que Para dilucidar, considere el caso . Entonces, y . Observe que cuando desarrollamos esto ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}$ ${\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0.}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},}$ ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}$

En ambos términos tenemos un factor, que es 0, por definición. ${\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}$

Ejemplo: Fibrado cotangente

El fibrado cotangente de una variedad se modela localmente en un espacio similar al primer ejemplo. Se puede demostrar que podemos pegar estas formas simplécticas afines, por lo que este fibrado forma una variedad simpléctica. Un ejemplo menos trivial de una subvariedad lagrangiana es la sección cero del fibrado cotangente de una variedad. Por ejemplo, sea

${\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}$

Entonces, podemos presentar como ${\displaystyle T^{*}X}$

${\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}$

donde tratamos los símbolos como coordenadas de . Podemos considerar el subconjunto donde las coordenadas y , lo que nos da la sección cero. Este ejemplo se puede repetir para cualquier variedad definida por el lugar geométrico de desaparición de funciones suaves y sus diferenciales . ${\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} y=0}$ ${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}$

Ejemplo: subvariedad paramétrica

Consideremos el espacio canónico con coordenadas . Una subvariedad paramétrica de es aquella que está parametrizada por coordenadas tales que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

Esta variedad es una subvariedad lagrangiana si el corchete de Lagrange se anula para todo . Es decir, es lagrangiana si ${\displaystyle [u_{i},u_{j}]}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}$

para todos . Esto se puede ver expandiendo ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}$

en la condición para una subvariedad lagrangiana . Esto es que la forma simpléctica debe anularse en la variedad tangente ; es decir, debe anularse para todos los vectores tangentes: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle TL}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}$

Para todos . Simplifique el resultado haciendo uso de la forma simpléctica canónica en : ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}$

y todos los demás desapareciendo.

Como los gráficos locales de una variedad simpléctica adoptan la forma canónica, este ejemplo sugiere que las subvariedades lagrangianas están relativamente libres de restricciones. La clasificación de las variedades simplécticas se realiza mediante la homología de Floer , que es una aplicación de la teoría de Morse a la función de acción para los mapas entre subvariedades lagrangianas. En física, la acción describe la evolución temporal de un sistema físico; aquí, puede tomarse como la descripción de la dinámica de las branas.

Ejemplo: teoría de Morse

Otra clase útil de subvariedades lagrangianas se da en la teoría de Morse . Dada una función de Morse y para un valor suficientemente pequeño, se puede construir una subvariedad lagrangiana dada por el lugar geométrico de desaparición . Para una función de Morse genérica, tenemos una intersección lagrangiana dada por . ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}$ ${\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}$

Subvariedades lagrangianas especiales

En el caso de las variedades de Kähler (o variedades de Calabi–Yau ) podemos elegir como una n-forma holomorfa, donde es la parte real y la imaginaria. Una subvariedad lagrangiana se llama especial si además de la condición lagrangiana anterior la restricción a se desvanece. En otras palabras, la parte real restringida a conduce a la forma de volumen en . Los siguientes ejemplos se conocen como subvariedades lagrangianas especiales, ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

1. subvariedades lagrangianas complejas de variedades hiperkähler ,
2. puntos fijos de una estructura real de variedades de Calabi-Yau.

La conjetura SYZ trata del estudio de subvariedades lagrangianas especiales en simetría especular ; véase (Hitchin 1999).

La conjetura de Thomas-Yau predice que la existencia de subvariedades lagrangianas especiales en las variedades de Calabi-Yau en clases de isotopía hamiltonianas de lagrangianos es equivalente a la estabilidad con respecto a una condición de estabilidad en la categoría de Fukaya de la variedad.

Fibración lagrangiana

Una fibración lagrangiana de una variedad simpléctica M es una fibración donde todas las fibras son subvariedades lagrangianas. Puesto que M es de dimensión par, podemos tomar coordenadas locales ( p ₁ ,..., p _n , q ¹ ,..., q ⁿ ), y por el teorema de Darboux la forma simpléctica ω puede escribirse, al menos localmente, como ω = ∑ d p _k ∧ d q ^k , donde d denota la derivada exterior y ∧ denota el producto exterior . Esta forma se denomina biforma de Poincaré o biforma canónica. Usando esta configuración podemos pensar localmente en M como el fibrado cotangente y la fibración lagrangiana como la fibración trivial Esta es la imagen canónica. ${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

Mapeo lagrangiano

Sea L una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica ( K ,ω ) dada por una inmersión i  : L ↪ K ( i se llama inmersión lagrangiana ). Sea π  : K ↠ B una fibración lagrangiana de K . La compuesta ( π ∘ i ) : L ↪ K ↠ B es una función lagrangiana . El conjunto de valores críticos de π ∘ i se llama cáustica .

Dos mapas lagrangianos ( π ₁ ∘ i ₁ ) : L ₁ ↪ K ₁ ↠ B ₁ y ( π ₂ ∘ i ₂ ) : L ₂ ↪ K ₂ ↠ B ₂ se llaman equivalentes lagrangianos si existen difeomorfismos σ , τ y ν tales que ambos lados del diagrama dado a la derecha conmutan , y τ conserva la forma simpléctica. ^[4] Simbólicamente:

${\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}$

donde τ ^∗ ω ₂ denota el retroceso de ω ₂ por τ .

Casos especiales y generalizaciones

• Una variedad simpléctica es exacta si la forma simpléctica es exacta . Por ejemplo, el fibrado cotangente de una variedad suave es una variedad simpléctica exacta. La forma simpléctica canónica es exacta. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$
• Una variedad simpléctica dotada de una métrica compatible con la forma simpléctica es una variedad casi de Kähler en el sentido de que el fibrado tangente tiene una estructura casi compleja , pero ésta no necesita ser integrable .
• Las variedades simplécticas son casos especiales de una variedad de Poisson .
• Una variedad multisimpléctica de grado k es una variedad equipada con una forma k cerrada no degenerada . ^[5]
• Una variedad polisimpléctica es un fibrado de Legendre provisto de una forma tangente polisimpléctica ; se utiliza en la teoría de campos hamiltoniana . ^[6] ${\displaystyle (n+2)}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Variedad casi simpléctica  : variedad diferenciable equipada con una 2-forma no degenerada (pero no necesariamente cerrada)Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Variedad de contacto  – Rama de la geometría Pages displaying short descriptions of redirect targets: una contraparte de dimensión impar de la variedad simpléctica.
• Teoría de campos hamiltoniana covariante  – Formalismo en la teoría clásica de campos basada en la mecánica hamiltonianaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Colector Fedosov  : colector simpléctico equipado con una conexión sin torsiónPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Soporte de Poisson  – Funcionamiento en mecánica hamiltoniana
• Grupo simpléctico  – Grupo matemático
• Matriz simpléctica  – Concepto matemático
• Topología simpléctica  – Rama de la geometría diferencial y la topología diferencialPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio vectorial simpléctico  – Concepto matemático
• Simplectomorfismo  – Isomorfismo de variedades simplécticas
• Forma tautológica única  : forma diferencial canónica definida en el fibrado cotangente de una variedad suavePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Desigualdad de Wirtinger (2-formas)  : desigualdad aplicable a 2-formasPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Citas

1. Webster, Ben (9 de enero de 2012). "¿Qué es realmente una variedad simpléctica?".
2. Cohn, Henry. "Por qué la geometría simpléctica es el marco natural para la mecánica clásica".
3. de Gosson, Maurice (2006). Geometría Simpléctica y Mecánica Cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. pag. 10.ISBN​ 3-7643-7574-4.
4. Arnold, VI ; Varchenko, AN ; Gusein-Zade, SM (1985). La clasificación de puntos críticos, cáusticos y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, vol. 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
5. Cantrijn, F.; Ibort, LA; de León, M. (1999). "Sobre la geometría de variedades multisimplécticas". J. Austral. Math. Soc . Ser. A. 66 (3): 303–330. doi : 10.1017/S1446788700036636 .
6. Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1999). "Ecuaciones hamiltonianas covariantes para la teoría de campos". Journal of Physics . A32 (38): 6629–6642. arXiv : hep-th/9904062 . Código Bibliográfico :1999JPhA...32.6629G. doi :10.1088/0305-4470/32/38/302. S2CID  204899025.

Referencias generales y citadas

• McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Oxford Mathematical Monographs. ISBN 0-19-850451-9.
• Auroux, Denis . "Seminario sobre simetría especular".
• Meinrenken, Eckhard . "Geometría simpléctica" (PDF) .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. Véase la sección 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
• de Gosson, Maurice A. (2006). Geometría Simpléctica y Mecánica Cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
• Alan Weinstein (1971). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas". Avances en Matemáticas . 6 (3): 329–46. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .
• Arnold, VI (1990). "Cap. 1, Geometría simpléctica". Singularidades de cáusticas y frentes de onda. Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 62. Dordrecht: Springer Netherlands. doi :10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN 978-1-4020-0333-2.OCLC 22509804  .

Lectura adicional

• Dunin-Barkowski, Petr (2022). "Dualidad simpléctica para recursión topológica". arXiv : 2206.14792 [math-ph].
• "Cómo encontrar subvariedades lagrangianas". Stack Exchange . 17 de diciembre de 2014.
• Lumist, Ü. (2001) [1994], "Estructura simpléctica", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Sardanashvily, G. (2009). "Haces de fibras, variedades de chorros y teoría de Lagrange". Lecciones para teóricos . arXiv : 0908.1886 .
• McDuff, D. (noviembre de 1998). "Estructuras simplécticas: un nuevo enfoque de la geometría" (PDF) . Avisos de la AMS .
• Hitchin, Nigel (1999). "Conferencias sobre subvariedades lagrangianas especiales". arXiv : math/9907034 .