Cáustico (matemáticas)

Envoltura de rayos reflejados o refractados por una variedad

Cáustica reflectante generada a partir de un círculo y rayos paralelos. Por un lado, cada punto está contenido en tres rayos de luz; del otro lado, cada punto está contenido en un rayo de luz.

En geometría diferencial , una cáustica es la envoltura de rayos reflejados o refractados por una variedad . Está relacionado con el concepto de cáusticas en óptica geométrica . La fuente del rayo puede ser un punto (llamado radiante) o rayos paralelos desde un punto en el infinito, en cuyo caso se debe especificar un vector director de los rayos.

De manera más general, especialmente aplicada a la geometría simpléctica y la teoría de la singularidad , una cáustica es el conjunto de valores críticos de un mapeo lagrangiano ( π ○ i ): L ↪ M ↠ B ; donde i  : L ↪ M es una inmersión lagrangiana de una subvariedad lagrangiana L en una variedad simpléctica M , y π  : M ↠ B es una fibración lagrangiana de la variedad simpléctica M. La cáustica es un subconjunto del espacio base B de la fibración lagrangiana . ^[1]

Explicación

Los rayos refractados por una superficie no plana forman cáusticos donde muchos de ellos se cruzan.

La concentración de luz, especialmente la del sol , puede provocar quemaduras. La palabra cáustico , de hecho, proviene del griego καυστός, quemado, vía el latín causticus , quemar.

Una situación común en la que las cáusticas son visibles es cuando la luz incide sobre un vaso. El vidrio proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (incluidos rayos perfectamente paralelos, como si procedieran de una fuente puntual en el infinito), se puede producir una mancha de luz con forma de nefroide . ^{[2] [3]} Las cáusticas ondulantes se forman comúnmente cuando la luz brilla a través de las ondas en una masa de agua.

Otra cáustica familiar es el arcoíris . ^{[4] [5]} La dispersión de la luz por las gotas de lluvia hace que diferentes longitudes de onda de luz se refracten en arcos de diferentes radios, produciendo el arco.

catacáustico

Una catacáustica es el caso reflexivo.

Con un radiante, es la evolución de la ortotómica del radiante.

El caso de rayos de fuente paralelos y planos: supongamos que el vector de dirección es y la curva del espejo está parametrizada como . El vector normal en un punto es ; el reflejo del vector de dirección es (lo normal necesita una normalización especial) ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (u(t),v(t))}$ ${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}d-d={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Tener componentes del vector reflejado encontrado lo trata como una tangente

${\displaystyle (x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

Usando el formulario de sobre más simple

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

lo cual puede ser antiestético, pero da un sistema lineal y por lo tanto es elemental obtener una parametrización de la catacáustica. La regla de Cramer serviría. ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Ejemplo

Sea el vector dirección (0,1) y el espejo sea Entonces ${\displaystyle (t,t^{2}).}$

${\displaystyle u'=1}$   ${\displaystyle u''=0}$   ${\displaystyle v'=2t}$   ${\displaystyle v''=2}$   ${\displaystyle a=0}$   ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-t)(1-4t^{2})+4t(y-t^{2})=x(1-4t^{2})+4ty-t}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-8tx+4y-1}$

y tiene solución ; es decir , la luz que entra en un espejo parabólico paralelo a su eje se refleja a través del foco. ${\displaystyle F=F_{t}=0}$ ${\displaystyle (0,1/4)}$

Ver también

• Lugar de corte (variedad de Riemann)
• Última declaración geométrica de Jacobi
• Cáustico nefroide

Referencias

1. Arnoldo, VI ; Várchenko, AN ; Gusein-Zade, SM (1985). La clasificación de puntos críticos, cáusticas y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, volumen 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
2. Círculo Catacáustico. Wolfram MathWorld . Consultado el 17 de julio de 2009.
3. Levi, Mark (2 de abril de 2018). "Centrándonos en las nefroides". Noticias SIAM . Consultado el 1 de junio de 2018 .
4. Cáusticas arcoíris
5. Franjas cáusticas

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cáustico". MundoMatemático .