Nefroide

Curva plana; una epicicloide con radios que difieren en 1/2

Nefroide: definición

En geometría , una nefroide (del griego antiguo ὁ νεφρός (ho nephros)  ' en forma de riñón ') es una curva plana específica . Es un tipo de epicicloide en el que el radio del círculo más pequeño difiere del más grande en un factor de la mitad.

Nombre

Aunque el término nefroide se utilizó para describir otras curvas, Richard A. Proctor lo aplicó a la curva de este artículo en 1878. ^{[1] [2]}

Definición estricta

Un nefroide es

• una curva algebraica de grado 6.
• una epicicloide con dos cúspides
• una curva plana simple cerrada = una curva de Jordan

Ecuaciones

generación de un nefroide por un círculo rodante

Paramétrico

Si el círculo pequeño tiene radio , el círculo fijo tiene punto medio y radio , el ángulo de giro del círculo pequeño es y el punto es el punto inicial (ver diagrama), entonces se obtiene la representación paramétrica : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2\varphi }$ ${\displaystyle (2a,0)}$

${\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }$

El mapa complejo asigna el círculo unitario a una nefroide ^[3] ${\displaystyle z\to z^{3}+3z}$

Prueba de la representación paramétrica.

La prueba de la representación paramétrica se realiza fácilmente utilizando números complejos y su representación como plano complejo . El movimiento del círculo pequeño se puede dividir en dos rotaciones. En el plano complejo, se puede realizar una rotación de un punto alrededor de un punto (origen) por un ángulo multiplicando el punto (número complejo) por . Por lo tanto, la ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{i\varphi }}$

la rotación alrededor de un punto por ángulo es , ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle 3a}$ ${\displaystyle 2\varphi }$ ${\displaystyle :z\mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi }}$

La rotación alrededor de un punto por ángulo es . ${\displaystyle \Phi _{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle :\quad z\mapsto ze^{i\varphi }}$

Un punto de la nefroide se genera mediante la rotación del punto por y la posterior rotación con : ${\displaystyle p(\varphi )}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \Phi _{3}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$

${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{0}(\Phi _{3}(2a))=\Phi _{0}(3a-ae^{i2\varphi })=(3a-ae^{i2\varphi })e^{i\varphi }=3ae^{i\varphi }-ae^{i3\varphi }}$.

De aquí se obtiene

${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi &=&6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,&&\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi &.&\end{array}}}$

( Se utilizaron las fórmulas. Ver funciones trigonométricas ). ${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1,\ \cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi }$

Implícito

Insertando y en la ecuación ${\displaystyle x(\varphi )}$ ${\displaystyle y(\varphi )}$

• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

muestra que esta ecuación es una representación implícita de la curva.

Prueba de la representación implícita

Con

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-4a^{2}=(3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi )^{2}+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2}\sin ^{2}\varphi }$

uno consigue

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=(12a^{2})^{3}\sin ^{6}\varphi =108a^{4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}\ .}$

Orientación

Si las cúspides están en el eje y la representación paramétrica es

${\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi ).}$

y el implícito:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}$

Propiedades métricas

Para la nefroide por encima del

• la longitud del arco es ${\displaystyle L=24a,}$
• área y ${\displaystyle A=12\pi a^{2}\ }$
• el radio de curvatura es ${\displaystyle \rho =|3a\sin \varphi |.}$

Las pruebas de estas afirmaciones utilizan fórmulas adecuadas sobre curvas ( longitud de arco , área y radio de curvatura ) y la representación paramétrica anterior.

${\displaystyle x(\varphi )=6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=4a\sin ^{3}\varphi }$

y sus derivados

${\displaystyle {\dot {x}}=-6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi )\ ,\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi (5-6\cos ^{2}\varphi )\ ,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=12a\sin ^{2}\varphi \cos \varphi \quad ,\quad \quad \quad \quad {\ddot {y}}=12a\sin \varphi (3\cos ^{2}\varphi -1)\ .}$

Prueba de la longitud del arco.

${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;d\varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \;d\varphi =24a}$.

Prueba para la zona.

${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi }[x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}}$.

Prueba del radio de curvatura.

${\displaystyle \rho =\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \varphi |.}$

Nefroide como envoltura de un lápiz de círculos.

Construcción

• Se puede generar haciendo rodar un círculo con radio en el exterior de un círculo fijo con radio . Por tanto, una nefroide es una epicicloide . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 2a}$

Nefroide como envoltura de un lápiz de círculos.

• Sea un círculo y puntos de un diámetro , entonces la envoltura del lápiz de círculos, que tienen puntos medios y se tocan es una nefroide con cúspides . ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$ ${\displaystyle d_{12}}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle d_{12}}$ ${\displaystyle D_{1},D_{2}}$

Prueba

Sea el círculo con punto medio y radio . El diámetro puede estar en el eje x (ver diagrama). El lápiz de círculos tiene ecuaciones: ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle (2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{2}=0\ .}$

La condición del sobre es

${\displaystyle f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0\ .}$

Se puede comprobar fácilmente que el punto de la nefroide es una solución del sistema y por tanto un punto de la envolvente del lápiz de círculos. ${\displaystyle p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )}$ ${\displaystyle f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0}$

Nefroide como envoltura de un lápiz de líneas.

nefroide: tangentes como cuerdas de un círculo, principio

nefroide: tangentes como cuerdas de un círculo

De forma similar a la generación de un cardioide como envolvente de un lápiz de líneas se cumple el siguiente procedimiento:

1. Dibuja un círculo, divide su perímetro en partes equiespaciadas con puntos (ver diagrama) y numéralas consecutivamente. ${\displaystyle 3N}$
2. Dibuja los acordes: . (es decir: el segundo punto se mueve con el triple de velocidad). ${\displaystyle (1,3),(2,6),....,(n,3n),....,(N,3N),(N+1,3),(N+2,6),....,}$
3. La envoltura de estos acordes es una nefroide.

Prueba

La siguiente consideración utiliza fórmulas trigonométricas para . Para simplificar los cálculos, se proporciona la prueba para la nefroide con cúspides en el eje y. Ecuación de la tangente : para la nefroide con representación paramétrica ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta ),\ \cos 2\alpha }$

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\;y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi }$:

A partir de aquí se determina en primer lugar el vector normal . La ecuación de la tangente es: ${\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}$
${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$

${\displaystyle (\cos 2\varphi \cdot x\ +\ \sin 2\varphi \cdot y)\cos \varphi =4\cos ^{2}\varphi \ .}$

Porque se obtienen las cúspides de la nefroide, donde no hay tangente. Porque se puede dividir por para obtener ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \varphi \neq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \cos \varphi }$

• ${\displaystyle \cos 2\varphi \cdot x+\sin 2\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ .}$

Ecuación de la cuerda : a la circunferencia con punto medio y radio : La ecuación de la cuerda que contiene los dos puntos es: ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle (4\cos \theta ,4\sin \theta ),\ (4\cos {\color {red}3}\theta ,4\sin {\color {red}3}\theta ))}$

${\displaystyle (\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y)\sin \theta =4\cos \theta \sin \theta \ .}$

Porque la cuerda degenera hasta un punto. Porque se puede dividir por y se obtiene la ecuación de la cuerda: ${\displaystyle \theta =0,\pi }$ ${\displaystyle \theta \neq 0,\pi }$ ${\displaystyle \sin \theta }$

• ${\displaystyle \cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y=4\cos \theta \ .}$

Los dos ángulos se definen de manera diferente ( es la mitad del ángulo de rodadura, es el parámetro del círculo cuyas cuerdas están determinadas), por lo que se obtiene la misma línea. Por lo tanto, cualquier cuerda del círculo de arriba es tangente a la nefroide y ${\displaystyle \varphi ,\theta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varphi =\theta }$

• el nefroide es la envoltura de las cuerdas del círculo.

Nefroide como cáustico de la mitad de un círculo.

nefroide como cáustico de un círculo: principio

nefroide como cáustico de la mitad de un círculo

Las consideraciones hechas en la sección anterior dan prueba de que la cáustica de la mitad de un círculo es una nefroide.

• Si en el plano los rayos de luz paralelos se encuentran con la mitad reflectante de un círculo (ver diagrama), entonces los rayos reflejados son tangentes a una nefroide.

Prueba

El círculo puede tener el origen como punto medio (como en el apartado anterior) y su radio es . El círculo tiene la representación paramétrica. ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle k(\varphi )=4(\cos \varphi ,\sin \varphi )\ .}$

La tangente en el punto del círculo tiene vector normal . El rayo reflejado tiene el vector normal (ver diagrama) y el círculo que lo contiene es un punto . Por tanto, el rayo reflejado es parte de la recta con ecuación ${\displaystyle K:\ k(\varphi )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}}$ ${\displaystyle K:\ 4(\cos \varphi ,\sin \varphi )}$

${\displaystyle \cos {\color {red}2}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,}$

que es tangente a la nefroide del apartado anterior en el punto

${\displaystyle P:\ (3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi )}$(véase más arriba).

Cáustico nefroide en el fondo de una taza de té

La evoluta y la involuta de un nefroide.

nefroide y su evoluta
magenta: punto con círculo osculador y centro de curvatura

evolucionar

La evolución de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura. En detalle: Para una curva con radio de curvatura la evoluta tiene la representación ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)}$ ${\displaystyle \rho (s)}$

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$

con la unidad adecuadamente orientada normal. ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

Para un nefroide se obtiene:

• La evolución de un nefroide es otro nefroide la mitad de grande y girado 90 grados (ver diagrama).

Prueba

El nefroide como se muestra en la imagen tiene la representación paramétrica.

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi \ ,}$

el vector unitario normal que apunta al centro de curvatura

${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}}$(ver sección arriba)

y el radio de curvatura (ver sección sobre propiedades métricas). De ahí que la evoluta tenga la representación: ${\displaystyle 3\cos \varphi }$

${\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,}$

${\displaystyle y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,}$

que es una nefroide la mitad de grande y girada 90 grados (ver diagrama y sección § Ecuaciones arriba)

Evolvente

Debido a que la evoluta de un nefroide es otra nefroide, la involuta del nefroide también es otra nefroide. El nefroide original en la imagen es la involuta del nefroide más pequeño.

inversión (verde) de un nefroide (rojo) a través del círculo azul

Inversión de un nefroide

la inversión

${\displaystyle x\mapsto {\frac {4a^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y\mapsto {\frac {4a^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$

a través del círculo con punto medio y radio mapea la nefroide con ecuación ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 2a}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}$

sobre la curva de grado 6 con ecuación

${\displaystyle (4a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{2}}$(ver diagrama).

Un nefroide en la vida diaria: una cáustica del reflejo de la luz en el interior de un cilindro.

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Nefroide". MundoMatemático .
2. "Nefroide". Historia de las Matemáticas . Consultado el 12 de agosto de 2022 .
3. Documentación Matemática de los objetos realizados en el programa de visualización 3D-XplorMath

• Arganbright, D., Manual práctico de curvas y construcciones geométricas en hojas de cálculo , CRC Press, 1939, ISBN 0-8493-8938-0 , pág. 54. 
• Borceux, F., Un enfoque diferencial de la geometría: Trilogía geométrica III , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-01735-8 , p. 148. 
• Lockwood, EH, Un libro de curvas, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978-0-521-0-5585-7 , pág. 7. 

enlaces externos

• Mathworld: nefroide
• Xahlee: nefroide