Isospín

En física nuclear y física de partículas , el isospín ( I ) es un número cuántico relacionado con el contenido de quarks up y down de la partícula. El isospín también se conoce como espín isobárico o espín isotópico . La simetría del isospín es un subconjunto de la simetría de sabor que se observa de forma más amplia en las interacciones de bariones y mesones .

El nombre del concepto contiene el término espín porque su descripción mecánica cuántica es matemáticamente similar a la del momento angular (en particular, en la forma en que se acopla ; por ejemplo, un par protón-neutrón puede acoplarse ya sea en un estado de isospín total 1 o en uno de 0 ^[1] ). Pero a diferencia del momento angular, es una cantidad adimensional y en realidad no es ningún tipo de espín .

Antes de que se introdujera el concepto de quarks, las partículas que se ven afectadas por igual por la fuerza fuerte pero que tienen diferentes cargas (por ejemplo, protones y neutrones) se consideraban estados diferentes de la misma partícula, pero que tenían valores de isospín relacionados con el número de estados de carga. ^[2] Un examen minucioso de la simetría del isospín condujo finalmente directamente al descubrimiento y la comprensión de los quarks y al desarrollo de la teoría de Yang-Mills . La simetría del isospín sigue siendo un concepto importante en la física de partículas.

Invariancia del isospín

En una buena aproximación, el protón y el neutrón tienen la misma masa: pueden interpretarse como dos estados de la misma partícula. ^[2]^{: 141} Estos estados tienen valores diferentes para una coordenada isospín interna. Las propiedades matemáticas de esta coordenada son completamente análogas al momento angular de espín intrínseco . El componente del operador, , para esta coordenada tiene valores propios + ⁠ ${\hat {T}}_{3}$ 1/2⁠ y − ⁠1/2⁠ ; está relacionado con el operador de carga, : que tiene valores propios para el protón y cero para el neutrón. ^[2]^{: 144} Para un sistema de n nucleones, el operador de carga depende del número másico A: Las isóbaras , núcleos con el mismo número másico como ⁴⁰ K y ⁴⁰ Ar, solo difieren en el valor del valor propio. Por esta razón, el isospín también se llama "espín isobárico". ${\hat {Q}}$ ${\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}})$ $e$ ${\hat {Q}}=e({\hat {T}}_{3}+{\frac {1}{2}}A)$ ${\hat {T}}_{3}$

La estructura interna de estos nucleones está gobernada por la interacción fuerte , pero el hamiltoniano de la interacción fuerte es invariante respecto del isospín. En consecuencia, las fuerzas nucleares son independientes de la carga. Propiedades como la estabilidad del deuterio se pueden predecir basándose en el análisis del isospín. ^[2]^{: 149} Sin embargo, esta invariancia no es exacta y el modelo de quarks proporciona resultados más precisos.

Relación con la hipercarga

El operador de carga se puede expresar en términos de la proyección del isospín y la hipercarga , : Esto se conoce como la fórmula de Gell-Mann–Nishijima . La hipercarga es el centro de división para el multiplete de isospín: ^[2]^{: 187} Esta relación tiene un análogo en la interacción débil donde T es el isospín débil . $T_{3}$ $Y$ $Q={\frac {1}{2}}Y+T_{3},\ \ \ \ T_{3}=T,T-1,...,-T.$ ${\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}(Q_{\textrm {min}}+Q_{\textrm {max}}).$

Contenido de quarks e isospín

En la formulación moderna, el isospín ( $I$ ) se define como una cantidad vectorial en la que los quarks arriba y abajo tienen un valor de $I$ = ⁠1/2⁠ , siendo el tercer componente ( $I$ ₃ ) + ⁠1/2⁠ para quarks up, y − ⁠1/2⁠ para los quarks down, mientras que todos los demás quarks tienen $I$ = 0. Por lo tanto, para los hadrones en general, ^[3] donde $n$ _u y $n$ _d son los números de quarks up y down respectivamente,

I_{3}={\frac {1}{2}}(n_{u}-n_{d}).

En cualquier combinación de quarks, el tercer componente del vector de isospín ( _I3 $)$ podría estar alineado entre un par de quarks o encarar la dirección opuesta, lo que daría diferentes valores posibles para el isospín total para cualquier combinación de sabores de quarks. Los hadrones con el mismo contenido de quarks pero con un isospín total diferente se pueden distinguir experimentalmente, lo que verifica que el sabor es en realidad una cantidad vectorial, no un escalar (arriba vs. abajo simplemente es una proyección en el eje $z$ de la mecánica cuántica del espacio de sabores).

Por ejemplo, un quark extraño se puede combinar con un quark arriba y un quark abajo para formar un barión , pero hay dos formas diferentes en que los valores de isospín pueden combinarse: ya sea sumándose (debido a que están alineados con el sabor) o cancelándose (debido a que están en direcciones de sabor opuestas). El estado de isospín-1 (el
Σ⁰
) y el estado isospín-0 (el
O⁰
) tienen diferentes masas y vidas medias detectadas experimentalmente.

Isospín y simetría

El isospín se considera una simetría de la interacción fuerte bajo la acción del grupo de Lie SU(2) , siendo los dos estados el sabor ascendente y el sabor descendente. En mecánica cuántica , cuando un hamiltoniano tiene una simetría, esa simetría se manifiesta a través de un conjunto de estados que tienen la misma energía (los estados se describen como degenerados ). En términos simples, el operador de energía para la interacción fuerte da el mismo resultado cuando se intercambian un quark ascendente y un quark descendente idéntico.

Al igual que en el caso del espín regular, el operador isospín I tiene un valor vectorial : tiene tres componentes I _x , I _y , I _z , que son coordenadas en el mismo espacio vectorial tridimensional donde actúa la representación 3 . Nótese que este espacio vectorial no tiene nada que ver con el espacio físico, excepto un formalismo matemático similar. El isospín se describe mediante dos números cuánticos : $I$ – el isospín total, e $I$ ₃ – un valor propio de la proyección I _z para la cual los estados de sabor son estados propios . En otras palabras, cada estado $I$ ₃ especifica cierto estado de sabor de un multiplete . La tercera coordenada ( $z$ ), a la que se refiere el subíndice "3", se elige debido a las convenciones de notación que relacionan las bases en los espacios de representación 2 y 3 . Es decir, para el espín-1/2⁠ caso, los componentes de I son iguales a las matrices de Pauli divididas por 2, y entonces I _z = ⁠1/2⁠ $τ$ ₃ , donde

\tau _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.

Si bien las formas de estas matrices son isomorfas a las de espín, estas matrices de Pauli solo actúan dentro del espacio de Hilbert de isospín, no del de espín, y por lo tanto es común denotarlas con τ en lugar de σ para evitar confusiones.

Aunque la simetría de isospín está en realidad muy ligeramente rota, la simetría SU(3) está más rota, debido a la masa mucho mayor del quark strange en comparación con up y down. El descubrimiento de charm , bottomness y topness podría conducir a mayores expansiones hasta la simetría de sabor SU(6) , que se mantendría si los seis quarks fueran idénticos. Sin embargo, las masas mucho mayores de los quarks charm, bottom y top significan que la simetría de sabor SU(6) está muy rota en la naturaleza (al menos a bajas energías), y asumir esta simetría conduce a predicciones cualitativa y cuantitativamente incorrectas. En aplicaciones modernas, como la QCD en red , la simetría de isospín a menudo se trata como exacta para los tres quarks ligeros (uds), mientras que los tres quarks pesados (cbt) deben tratarse por separado.

Nomenclatura de hadrones

La nomenclatura de los hadrones se basa en el isospín. ^[4]

Partículas de isospín total3/2⁠ se denominan bariones delta y pueden formarse mediante una combinación de tres quarks up o down (pero solo quarks up o down).
Las partículas de isospín total 1 pueden estar formadas por dos quarks up, dos quarks down o uno de cada uno:
- ciertos mesones , que se diferencian además por su espín total en piones (espín total 0) y mesones rho (espín total 1)
- con un quark adicional de mayor sabor: bariones sigma
Partículas de isospín total1/2⁠ se puede hacer a partir de:
- Un único quark arriba o abajo junto con un quark adicional de mayor sabor: extraño ( kaones ), encanto ( mesón D ) o fondo ( mesón B ).
- Un solo quark arriba o abajo junto con dos quarks adicionales de mayor sabor: barión Xi
- Un quark up, un quark down y un quark up o un quark down: nucleones . Nótese que el principio de exclusión de Pauli prohibiría tres quarks idénticos debido al requisito de una función de onda antisimétrica.
Las partículas de isospín total 0 se pueden formar a partir de
- un par quark-antiquark neutro: o ^{[nota 1]} – mesones eta $\mathrm {u{\bar {u}}}$ $\mathrm {d{\bar {d}}}$
- Un quark up y un quark down, con un quark adicional de mayor sabor: bariones lambda
- Cualquier cosa que no involucre quarks arriba o abajo

^ La función de onda del sabor debe tener la forma de una combinación isospin-0, ya que produce $c_{1}(\mathrm {u{\bar {u}}+d{\bar {d}}} )+c_{2}(\mathrm {s{\bar {s}}} )$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(\mathrm {u{\bar {u}}-d{\bar {d}}} )$ $I=1$

Historia

Origen del isospín

En 1932, Werner Heisenberg ^[5] introdujo un nuevo concepto (sin nombre) para explicar la unión del protón y el neutrón recién descubierto (símbolo n). Su modelo se parecía al modelo de enlace para la molécula de ion hidrógeno, H ₂⁺ : un solo electrón era compartido por dos protones. La teoría de Heisenberg tenía varios problemas, el más notable era que predecía incorrectamente la energía de enlace excepcionalmente fuerte de las partículas alfa He ⁺² . Sin embargo, su tratamiento igualitario del protón y el neutrón ganó importancia cuando varios estudios experimentales mostraron que estas partículas deben unirse casi por igual. ^[6]^{: 39} En respuesta, Eugene Wigner utilizó el concepto de Heisenberg en su artículo de 1937 donde introdujo el término "espín isotópico" para indicar cómo el concepto es similar al espín en comportamiento. ^[7]

El zoológico de partículas

Estas consideraciones también resultarían útiles en el análisis de las interacciones mesón -nucleón después del descubrimiento de los piones en 1947. Los tres piones (
π⁺
,
π⁰
,
π⁻
) podría asignarse a un triplete de isospín con $I = 1$ e $I 3 = +1, 0 o -1$ . Al suponer que el isospín se conservaba mediante interacciones nucleares, los nuevos mesones se acomodaban más fácilmente a la teoría nuclear.

A medida que se descubrieron más partículas, se asignaron a multipletes de isospín según la cantidad de estados de carga diferentes observados: 2 dobletes $I = ⁠ 1 / 2 ⁠$ de mesones K (
K⁻
,
K⁰
), (
K⁺
,
K⁰
), un triplete $I = 1$ de bariones Sigma (
Σ⁺
,
Σ⁰
,
Σ⁻
), un singlete $I = 0$ barión lambda (
O⁰
), un cuarteto $yo = ⁠ 3 / 2 ⁠$ Bariones delta (
Δ⁺⁺
,
Δ⁺
,
Δ⁰
,
Δ⁻
), etcétera.

El poder de la simetría isospín y de los métodos relacionados proviene de la observación de que las familias de partículas con masas similares tienden a corresponder a los subespacios invariantes asociados con las representaciones irreducibles del álgebra de Lie SU(2). En este contexto, un subespacio invariante está abarcado por vectores base que corresponden a partículas en una familia. Bajo la acción del álgebra de Lie SU(2), que genera rotaciones en el espacio isospín, los elementos correspondientes a estados de partículas definidos o superposiciones de estados pueden rotarse entre sí, pero nunca pueden salir del espacio (ya que el subespacio es de hecho invariante). Esto refleja la simetría presente. El hecho de que las matrices unitarias conmuten con el hamiltoniano significa que las cantidades físicas calculadas no cambian incluso bajo una transformación unitaria. En el caso del isospín, esta maquinaria se utiliza para reflejar el hecho de que las matemáticas de la fuerza fuerte se comportan de la misma manera si se intercambian un protón y un neutrón (en la formulación moderna, el quark up y el down).

Un ejemplo: los bariones delta

Por ejemplo, las partículas conocidas como bariones delta (bariones de espín )3/2– se agruparon porque todos tienen casi la misma masa (aproximadamente1232 MeV/ c ² ) e interactúan casi de la misma manera.

Podrían ser tratados como la misma partícula, con la diferencia de carga debido a que la partícula está en diferentes estados. El isospín se introdujo para que fuera la variable que definiera esta diferencia de estado. En un análogo al espín, una proyección de isospín (denotada $I 3$ ) se asocia a cada estado cargado; dado que había cuatro deltas, se necesitaban cuatro proyecciones. Al igual que el espín, las proyecciones de isospín se hicieron variar en incrementos de 1. Por lo tanto, para tener cuatro incrementos de 1, un valor de isospín de ⁠3/2⁠ se requiere (dando las proyecciones $I 3 = + ⁠ 3 / 2 ⁠, + ⁠ 1 / 2 ⁠, - ⁠ 1 / 2 ⁠, - ⁠ 3 / 2 ⁠$ ). Por lo tanto, se decía que todos los deltas tenían isospín $I = ⁠ 3 / 2 ⁠$ , y cada carga individual tenía $un I 3$ diferente (por ejemplo, el
Δ⁺⁺
se asoció con $I 3 = + ⁠ 3 / 2 ⁠$ ).

En la imagen del isospín, se pensaba que los cuatro deltas y los dos nucleones eran simplemente los diferentes estados de dos partículas. Ahora se entiende que los bariones delta están formados por una mezcla de tres quarks up y down: uuu (
Δ⁺⁺
), uud (
Δ⁺
), udd (
Δ⁰
), y ddd (
Δ⁻
); la diferencia de carga es la diferencia entre las cargas de los quarks arriba y abajo (+ ⁠2/3⁠ e y − ⁠1/3⁠ e respectivamente); aunque también pueden considerarse como los estados excitados de los nucleones.

Simetría de isospín calibrada

Se han hecho intentos para promover el isospín de una simetría global a una simetría local. En 1954, Chen Ning Yang y Robert Mills sugirieron que la noción de protones y neutrones, que rotan continuamente entre sí por el isospín, debería permitirse que varíe de un punto a otro. Para describir esto, la dirección del protón y el neutrón en el espacio del isospín debe definirse en cada punto, dando una base local para el isospín. Una conexión de calibre describiría entonces cómo transformar el isospín a lo largo de una trayectoria entre dos puntos.

Esta teoría de Yang-Mills describe bosones vectoriales que interactúan, como el fotón del electromagnetismo. A diferencia del fotón, la teoría de gauge SU(2) contendría bosones gauge que interactúan entre sí. La condición de invariancia de gauge sugiere que tienen masa cero, al igual que en el electromagnetismo.

Ignorando el problema de la falta de masa, como hicieron Yang y Mills, la teoría hace una predicción firme: la partícula vectorial debería acoplarse a todas las partículas de un isospín dado de manera universal . El acoplamiento al nucleón sería el mismo que el acoplamiento a los kaones . El acoplamiento a los piones sería el mismo que el autoacoplamiento de los bosones vectoriales a sí mismos.

Cuando Yang y Mills propusieron la teoría, no había ningún candidato a bosón vectorial. En 1960, JJ Sakurai predijo que debería haber un bosón vectorial masivo acoplado al isospín y que mostraría acoplamientos universales. Los mesones rho se descubrieron poco tiempo después y se identificaron rápidamente como los bosones vectoriales de Sakurai. Se verificó que los acoplamientos del rho con los nucleones y entre sí eran universales, hasta donde se pudo medir experimentalmente. El hecho de que la corriente diagonal del isospín contenga parte de la corriente electromagnética condujo a la predicción de la mezcla de fotones rho y al concepto de dominancia del mesón vectorial , ideas que condujeron a imágenes teóricas exitosas de la dispersión fotón-núcleo a escala de GeV.

La introducción de los quarks

Las combinaciones de tres quarks u, d o s que forman bariones con espín - 3 ⁄ 2 forman el *decuplete bariónico* .

Las combinaciones de tres quarks u, d o s que forman bariones con espín 1 ⁄ 2 forman el *octeto bariónico.*

El descubrimiento y posterior análisis de partículas adicionales, tanto mesones como bariones , dejó claro que el concepto de simetría de isospín podía ampliarse a un grupo de simetría aún mayor, ahora llamado simetría de sabor . Una vez que los kaones y su propiedad de extrañeza se entendieron mejor, comenzó a quedar claro que estos también parecían ser parte de una simetría ampliada que contenía al isospín como subgrupo. La simetría más grande fue denominada la Vía Óctuple por Murray Gell-Mann , y rápidamente se reconoció que correspondía a la representación adjunta de SU(3) . Para comprender mejor el origen de esta simetría, Gell-Mann propuso la existencia de quarks up, down y strange que pertenecerían a la representación fundamental de la simetría de sabor SU(3).

En el modelo de quarks, la proyección de isospín ( I ₃ ) se derivó del contenido de quarks up y down de las partículas; uud para el protón y udd para el neutrón. Técnicamente, se considera que los estados de doblete de nucleón son combinaciones lineales de productos de estados de doblete de isospín de 3 partículas y estados de doblete de espín. Es decir, la función de onda del protón (spin-up) , en términos de estados propios de sabor a quark, se describe mediante ^[2]

$\vert \mathrm {p} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {duu} \rangle &\vert \mathrm {udu} \rangle &\vert \mathrm {uud} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right)$

y el neutrón (de espín ascendente) por

$\vert \mathrm {n} \uparrow \rangle ={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}\left({\begin{array}{ccc}\vert \mathrm {udd} \rangle &\vert \mathrm {dud} \rangle &\vert \mathrm {ddu} \rangle \end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\left\vert \downarrow \uparrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \downarrow \uparrow \right\rangle \\\left\vert \uparrow \uparrow \downarrow \right\rangle \end{array}}\right).$

Aquí, es el estado propio del sabor del quark up , y es el estado propio del sabor del quark down , mientras que y son los estados propios de . Aunque estas superposiciones son la forma técnicamente correcta de denotar un protón y un neutrón en términos de sabor del quark y estados propios del espín, para abreviar, a menudo se hace referencia a ellos simplemente como "uud" y "udd". La derivación anterior supone una simetría isospín exacta y se modifica mediante términos de ruptura SU(2). $\mathrm {\vert u\rangle }$ $\mathrm {\vert d\rangle }$ $\left\vert \uparrow \right\rangle$ $\left\vert \downarrow \right\rangle$ $S_{z}$

De manera similar, la simetría isospín de los piones está dada por:

${\begin{aligned}\vert \pi ^{+}\rangle &=\vert \mathrm {u{\overline {d}}} \rangle \\\vert \pi ^{0}\rangle &={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(\vert \mathrm {u{\overline {u}}} \rangle -\vert \mathrm {d{\overline {d}}} \rangle \right)\\\vert \pi ^{-}\rangle &=-\vert \mathrm {d{\overline {u}}} \rangle .\end{aligned}}$

Aunque el descubrimiento de los quarks condujo a la reinterpretación de los mesones como un estado ligado a un vector de un quark y un antiquark, a veces todavía es útil pensar en ellos como bosones de calibre de una simetría local oculta. ^[8]

Isospín débil

En 1961, Sheldon Glashow propuso que una relación similar a la fórmula de Gell-Mann-Nishijima para la carga con respecto al isospín también se aplicaría a la interacción débil : ^[9]^[10]^{: 152} Aquí la carga está relacionada con la proyección del isospín débil y la hipercarga débil . El isospín y el isospín débil están relacionados con la misma simetría pero para diferentes fuerzas. El isospín débil es la simetría de calibre de la interacción débil que conecta los dobletes de quarks y leptones de partículas zurdas en todas las generaciones; por ejemplo, quarks up y down, quarks top y bottom, electrones y neutrinos electrónicos. Por el contrario, el isospín (fuerte) conecta solo quarks up y down, actúa sobre ambas quiralidades (izquierda y derecha) y es una simetría global (no de calibre). ^[11] $Q=T_{3}+{\frac {1}{2}}Y_{w}.$ $Q$ $T_{3}$ $Y_{w}$

Referencias

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Lectura adicional

Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1980). Teoría cuántica de campos . McGraw-Hill . ISBN. 978-0-07-032071-0.
Griffiths, D. (1987). Introducción a las partículas elementales . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-60386-3.

Véase también

Factor Chan-Paton

Enlaces externos

i8 i Datos de desintegración y estructura nuclear - Isospín de los nucleidos del OIEA