El teorema de la estadística de espín demuestra que la relación observada entre el espín intrínseco de una partícula ( momento angular no debido al movimiento orbital) y las estadísticas de partículas cuánticas de conjuntos de dichas partículas es una consecuencia de las matemáticas de la mecánica cuántica . En unidades de la constante de Planck reducida ħ , todas las partículas que se mueven en 3 dimensiones tienen espín entero y obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein o espín medio entero y obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac . [1] [2]
Todas las partículas conocidas obedecen a la estadística de Fermi-Dirac o a la estadística de Bose-Einstein. El giro intrínseco de una partícula siempre predice las estadísticas de un conjunto de dichas partículas y viceversa: [3]
Un teorema de la estadística de espín muestra que la lógica matemática de la mecánica cuántica predice o explica este resultado físico. [4]
La estadística de partículas indistinguibles se encuentra entre los efectos físicos más fundamentales. El principio de exclusión de Pauli (que cada estado cuántico ocupado contiene como máximo un fermión) controla la formación de la materia. Los componentes básicos de la materia, como los protones , los neutrones y los electrones, son todos fermiones. Por el contrario, partículas como el fotón , que median fuerzas entre partículas de materia, son todas bosones. [ cita necesaria ] Un teorema de estadística de espín intenta explicar el origen de esta dicotomía fundamental. [5] : 4
Ingenuamente, el espín, una propiedad del momento angular intrínseca a una partícula, no estaría relacionada con las propiedades fundamentales de un conjunto de tales partículas. Sin embargo, se trata de partículas indistinguibles: cualquier predicción física que relacione múltiples partículas indistinguibles no debe cambiar cuando se intercambian las partículas.
En un sistema cuántico, un estado físico se describe mediante un vector de estado . Un par de vectores de estado distintos son físicamente equivalentes si difieren sólo por un factor de fase general, ignorando otras interacciones. Un par de partículas indistinguibles como ésta tienen un solo estado. Esto significa que si se intercambian las posiciones de las partículas (es decir, sufren una permutación), esto no identifica un nuevo estado físico, sino uno que coincide con el estado físico original. De hecho, no se puede saber qué partícula está en qué posición.
Si bien el estado físico no cambia bajo el intercambio de posiciones de las partículas, es posible que el vector de estado cambie de signo como resultado de un intercambio. Dado que este cambio de signo es sólo una fase general, no afecta al estado físico.
El ingrediente esencial para demostrar la relación espín-estadística es la relatividad, que las leyes físicas no cambian bajo las transformaciones de Lorentz . Los operadores de campo se transforman bajo las transformaciones de Lorentz según el espín de la partícula que crean, por definición.
Además, la suposición (conocida como microcausalidad) de que los campos separados en forma espacial se conmutan o anticonmutan sólo puede hacerse para teorías relativistas con una dirección temporal. De lo contrario, la noción de ser espacial no tiene sentido. Sin embargo, la prueba implica observar una versión euclidiana del espacio-tiempo, en la que la dirección del tiempo se trata como espacial, como se explicará a continuación.
Las transformaciones de Lorentz incluyen rotaciones y aumentos tridimensionales . Un impulso se transfiere a un marco de referencia con una velocidad diferente y es matemáticamente como una rotación en el tiempo. Mediante la continuación analítica de las funciones de correlación de una teoría cuántica de campos, la coordenada temporal puede volverse imaginaria y luego los impulsos se convierten en rotaciones. El nuevo "espacio-tiempo" sólo tiene direcciones espaciales y se denomina euclidiano .
Los bosones son partículas cuya función de onda es simétrica bajo tal intercambio o permutación, por lo que si intercambiamos las partículas, la función de onda no cambia. Los fermiones son partículas cuya función de onda es antisimétrica, por lo que bajo tal intercambio la función de onda obtiene un signo menos, lo que significa que la amplitud para que dos fermiones idénticos ocupen el mismo estado debe ser cero. Éste es el principio de exclusión de Pauli : dos fermiones idénticos no pueden ocupar el mismo estado. Esta regla no se aplica a los bosones.
En la teoría cuántica de campos, un estado o una función de onda es descrito por operadores de campo que operan en algún estado básico llamado vacío . Para que los operadores proyecten el componente simétrico o antisimétrico de la función de onda creadora, deben tener la ley de conmutación adecuada. El operador
(con un operador y una función numérica con valores complejos) crea un estado de dos partículas con función de onda y, dependiendo de las propiedades de conmutación de los campos, solo importan las partes antisimétricas o las partes simétricas.
Supongamos que y los dos operadores tienen lugar al mismo tiempo; De manera más general, pueden tener una separación similar a un espacio , como se explica más adelante.
Si los campos conmutan , significa que se cumple lo siguiente:
entonces solo contribuye la parte simétrica de , de modo que , y el campo creará partículas bosónicas.
Por otro lado, si los campos anti-commute , es decir que tiene la propiedad de que
entonces solo contribuye la parte antisimétrica de , de modo que , y las partículas serán fermiónicas.
No se puede dar una explicación elemental para el teorema de la estadística de espín a pesar de que el teorema es muy sencillo de enunciar. En las Conferencias Feynman sobre Física, Richard Feynman dijo que esto probablemente significa que no tenemos una comprensión completa del principio fundamental involucrado. [3]
Se han publicado numerosas pruebas notables, con diferentes tipos de limitaciones y supuestos. Todas son "pruebas negativas", lo que significa que establecen que los campos de espín integrales no pueden dar lugar a estadísticas de fermiones, mientras que los campos de espín semiintegrales no pueden dar lugar a estadísticas de bosones. [5] : 487
Las pruebas que evitan el uso de cualquier mecanismo relativista de la teoría cuántica de campos tienen defectos. Muchas de estas pruebas se basan en la afirmación de que
La primera prueba fue formulada [7] en 1939 por Markus Fierz , un alumno de Wolfgang Pauli , y Pauli la redimió de manera más sistemática al año siguiente. [8] En un resumen posterior, Pauli enumeró tres postulados dentro de la teoría cuántica de campos relativista según lo requerido para estas versiones del teorema:
Su análisis descuidó las interacciones de partículas distintas de la conmutación/anti-conmutación del estado. [9] [5] : 374
En 1949, Richard Feynman presentó un tipo de prueba completamente diferente [10], basada en la polarización del vacío , que más tarde fue criticada por Pauli. [9] [5] : 368 Pauli demostró que la prueba de Feynman se basaba explícitamente en los dos primeros postulados que usó e implícitamente usó el tercero al permitir primero probabilidades negativas pero luego rechazar los resultados de la teoría de campos con probabilidades mayores que uno.
Una prueba de Julian Schwinger en 1950 basada en la invariancia de inversión del tiempo [11] siguió a una prueba de Frederik Belinfante en 1940 basada en la invariancia de conjugación de carga, lo que llevó a una conexión con el teorema CPT desarrollado más completamente por Pauli en 1955. [12] Estas pruebas fueron notablemente difíciles de seguir. [5] : 393
El trabajo sobre los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica de Arthur Wightman condujo a un teorema que establecía que el valor esperado del producto de dos campos, podría continuarse analíticamente para todas las separaciones . [5] : 425 (Los dos primeros postulados de las pruebas de la era Pauli involucran el estado de vacío y campos en ubicaciones separadas). El nuevo resultado permitió pruebas más rigurosas de los teoremas de la estadística de espín de Gerhart Luders y Bruno Zumino [13] y de Burgoyne. [5] : 393 En 1957, Res Jost derivó el teorema CPT utilizando el teorema de la estadística de espín y la prueba de Burgoyne, el teorema de la estadística de espín en 1958 no requirió restricciones sobre las interacciones ni sobre la forma de las teorías de campo. Estos resultados se encuentran entre los teoremas prácticos más rigurosos. [14] : 529
A pesar de estos éxitos, Feynman, en su conferencia universitaria de 1963 en la que discutió la conexión entre la estadística y el espín, dice: "Pedimos disculpas por el hecho de que no podemos darles una explicación elemental". [3] Neuenschwander se hizo eco de esto en 1994, preguntando si había algún progreso [15] que estimulara pruebas y libros adicionales. [5] La popularización de Neuenschwander en 2013 de la conexión estadística-espín sugirió que las explicaciones simples siguen siendo difíciles de alcanzar. [dieciséis]
En 1987, Greenberg y Mohaparra propusieron que el teorema de la estadística de espín podría tener pequeñas violaciones. [17] [18] Con la ayuda de cálculos muy precisos para los estados del átomo de He que violan el principio de exclusión de Pauli , [19] Deilamian, Gillaspy y Kelleher [20] buscaron los 1s2s 1 S 0 de He usando un haz atómico. espectrómetro. La búsqueda no tuvo éxito con un límite superior de 5×10 −6 .
El grupo de Lorentz no tiene representaciones unitarias no triviales de dimensión finita. Por lo tanto, parece imposible construir un espacio de Hilbert en el que todos los estados tengan un espín finito distinto de cero y una norma positiva invariante de Lorentz. Este problema se soluciona de diferentes maneras dependiendo de las estadísticas de espín de las partículas.
Para un estado de espín entero, los estados de norma negativos (conocidos como "polarización no física") se establecen en cero, lo que hace necesario el uso de simetría de calibre .
Para un estado de espín semientero, el argumento se puede eludir teniendo estadísticas fermiónicas. [21]
En 1982, el físico Frank Wilczek publicó un artículo de investigación sobre las posibilidades de posibles partículas con espín fraccional, a las que denominó cualquiera por su capacidad de adoptar "cualquier" espín. [22] Escribió que teóricamente se predijo que surgirían en sistemas de baja dimensión donde el movimiento está restringido a menos de tres dimensiones espaciales. Wilczek describió sus estadísticas de espín como "interpolando continuamente entre los casos habituales de bosones y fermiones". [22] El efecto se ha convertido en la base para comprender el efecto Hall cuántico fraccionario . [23] [24]
