Girar (física)

Propiedad cuántica intrínseca de las partículas.

El espín es una forma intrínseca de momento angular transportado por partículas elementales y, por tanto, por partículas compuestas como hadrones , núcleos atómicos y átomos. ^{[1] [2] : 183–184} El espín está cuantificado y los modelos precisos para la interacción con el espín requieren mecánica cuántica relativista o teoría cuántica de campos .

La existencia del momento angular del espín del electrón se infiere de experimentos, como el experimento de Stern-Gerlach , en el que se observó que los átomos de plata poseían dos posibles momentos angulares discretos a pesar de no tener ningún momento angular orbital. ^[3] El teorema relativista de la estadística de espín conecta la cuantificación del espín del electrón con el principio de exclusión de Pauli : las observaciones de exclusión implican espín y las observaciones de espín implican exclusión.

El espín se describe matemáticamente como un vector para algunas partículas como los fotones, y como espinores y bispinores para otras partículas como los electrones. Los espinores y bispinores se comportan de manera similar a los vectores : tienen magnitudes definidas y cambian con las rotaciones; sin embargo, utilizan una "dirección" poco convencional. Todas las partículas elementales de un tipo determinado tienen la misma magnitud de momento angular de espín, aunque su dirección puede cambiar. Estos se indican asignando a la partícula un número cuántico de espín . ^{[2] : 183–184}

Las unidades de espín del SI son las mismas que las del momento angular clásico (es decir, N · m · s , J · s o kg · m ² · s ⁻¹ ). En mecánica cuántica, el momento angular y el momento angular de espín toman valores discretos proporcionales a la constante de Planck . En la práctica, el espín se suele dar como un número cuántico de espín adimensional dividiendo el momento angular de espín por la constante de Planck reducida ħ . A menudo, el "número cuántico de espín" se denomina simplemente "espín".

Modelos

Masa cargada giratoria

Los primeros modelos del espín del electrón imaginaban una masa cargada en rotación, pero este modelo falla cuando se examina en detalle: la distribución espacial requerida no coincide con los límites del radio del electrón : la velocidad de rotación requerida excede la velocidad de la luz. En el Modelo Estándar , todas las partículas fundamentales se consideran "puntuales": tienen sus efectos a través del campo que las rodea. ^[4] Cualquier modelo de giro basado en la rotación de masas tendría que ser coherente con ese modelo.

La “bivaluación clásicamente indescriptible” de Pauli

Wolfgang Pauli , una figura central en la historia del espín cuántico, inicialmente rechazó cualquier idea de que el "grado de libertad" que introdujo para explicar las observaciones experimentales estuviera relacionado con la rotación. Lo llamó “dos valores clásicamente no descriptibles”. Posteriormente admitió que está relacionado con el momento angular, pero insistió en considerar el espín como una propiedad abstracta. ^[5] Este enfoque permitió a Pauli desarrollar una prueba de su principio fundamental de exclusión de Pauli , una prueba ahora llamada teorema de la estadística de espín . ^[6] En retrospectiva, esta insistencia y el estilo de su demostración iniciaron la era moderna de la física de partículas, donde dominan las propiedades cuánticas abstractas derivadas de las propiedades de simetría. La interpretación concreta pasó a ser secundaria y opcional. ^[5]

Circulación de campos clásicos.

El primer modelo clásico de espín proponía pequeñas partículas rígidas que giraban alrededor de un eje, como puede sugerir el uso habitual de la palabra. El momento angular también se puede calcular a partir de un campo clásico. ^{[7] [8] : 63} Al aplicar el enfoque de Frederik Belinfante para calcular el momento angular de un campo, Hans C. Ohanian demostró que "el giro es esencialmente una propiedad de la onda... generada por un flujo circulante de carga en la onda". campo del electrón". ^[9] Este mismo concepto de espín se puede aplicar a las ondas de gravedad en el agua: "el espín se genera por el movimiento circular de las partículas de agua por debajo de la longitud de onda". ^[10]

A diferencia de la circulación clásica de campos de ondas que permite valores continuos de momento angular, los campos de ondas cuánticos sólo permiten valores discretos. ^[9] En consecuencia, la transferencia de energía hacia o desde los estados de espín siempre se produce en pasos cuánticos fijos. Sólo se permiten unos pocos pasos: para muchos propósitos cualitativos, la complejidad de los campos de ondas cuánticas de espín puede ignorarse y las propiedades del sistema pueden discutirse en términos de modelos de espín "enteros" o "semienteros", como se analiza en los números cuánticos a continuación.

El electrón relativista de Dirac

Los cálculos cuantitativos de las propiedades de espín de los electrones requieren la ecuación de onda relativista de Dirac . ^[6]

Relación con el momento angular orbital

Como sugiere el nombre, el espín se concibió originalmente como la rotación de una partícula alrededor de algún eje. Históricamente momento angular orbital relacionado con las órbitas de las partículas. ^{[11] : 131} Si bien los nombres basados ​​en modelos mecánicos han sobrevivido, la explicación física no. La cuantificación altera fundamentalmente el carácter del espín y del momento angular orbital.

Dado que las partículas elementales son puntuales, la autorrotación para ellas no está bien definida. Sin embargo, el espín implica que la fase de la partícula depende del ángulo como , para la rotación del ángulo θ alrededor del eje paralelo al espín S . Esto equivale a la interpretación mecánico-cuántica del momento como dependencia de fase en la posición, y del momento angular orbital como dependencia de fase en la posición angular. ${\displaystyle e^{iS\theta }}$

En el caso de los fermiones, el panorama es menos claro. La velocidad angular es igual por el teorema de Ehrenfest a la derivada del hamiltoniano a su momento conjugado , que es el operador de momento angular total J = L + S. Por lo tanto, si el hamiltoniano H depende del espín S , dH / dS es distinto de cero y el espín provoca la velocidad angular y, por tanto, la rotación real, es decir, un cambio en la relación de ángulo de fase a lo largo del tiempo. Sin embargo, es ambiguo si esto es válido para el electrón libre, ya que para un electrón, S ² es constante y, por lo tanto, es una cuestión de interpretación si el hamiltoniano incluye tal término. Sin embargo, el espín aparece en la ecuación de Dirac y , por lo tanto , se puede interpretar que el hamiltoniano relativista del electrón, tratado como un campo de Dirac , incluye una dependencia en el espín S. ^[8]

Número cuántico

El espín obedece las leyes matemáticas de la cuantificación del momento angular . Las propiedades específicas de los momentos angulares de espín incluyen:

• Los números cuánticos de espín pueden tomar valores semienteros o enteros.
• Aunque la dirección de su giro se puede cambiar, la magnitud del giro de una partícula elemental no se puede cambiar.
• El giro de una partícula cargada está asociado con un momento dipolar magnético con un factor g que difiere de 1. (En el contexto clásico, esto implicaría que la carga interna y las distribuciones de masa difieren para un objeto en rotación. ^[12] )

La definición convencional del número cuántico de espín es s =norte/2, donde n puede ser cualquier número entero no negativo . Por tanto, los valores permitidos de s son 0,1/2, 1,3/2, 2, etc. El valor de s para una partícula elemental depende sólo del tipo de partícula y no puede modificarse de ninguna manera conocida (a diferencia de la dirección de giro que se describe a continuación). El momento angular de espín S de cualquier sistema físico está cuantificado . Los valores permitidos de S son

$${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$$

hconstante de Planckel momento angular orbitalsn ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

Fermiones y bosones

Aquellas partículas con espines semienteros, como1/2,3/2,5/2, se conocen como fermiones , mientras que aquellas partículas con espines enteros, como 0, 1, 2, se conocen como bosones . Las dos familias de partículas obedecen reglas diferentes y, en términos generales, tienen funciones diferentes en el mundo que nos rodea. Una distinción clave entre las dos familias es que los fermiones obedecen el principio de exclusión de Pauli : es decir, no puede haber dos fermiones idénticos que tengan simultáneamente los mismos números cuánticos (es decir, aproximadamente, que tengan la misma posición, velocidad y dirección de giro). Los fermiones obedecen las reglas de la estadística de Fermi-Dirac . Por el contrario, los bosones obedecen las reglas de las estadísticas de Bose-Einstein y no tienen tal restricción, por lo que pueden "agruparse" en estados idénticos. Además, las partículas compuestas pueden tener espines diferentes a los de las partículas que las componen. Por ejemplo, un átomo de helio-4 en el estado fundamental tiene espín 0 y se comporta como un bosón, aunque los quarks y electrones que lo componen sean todos fermiones.

Esto tiene algunas consecuencias profundas:

• Los quarks y los leptones (incluidos los electrones y los neutrinos ), que forman lo que clásicamente se conoce como materia , son todos fermiones con espín. 1/2. La idea común de que "la materia ocupa espacio" en realidad proviene del principio de exclusión de Pauli que actúa sobre estas partículas para evitar que los fermiones se encuentren en el mismo estado cuántico. Una mayor compactación requeriría que los electrones ocuparan los mismos estados de energía y, por lo tanto, un tipo de presión (a veces conocida como presión de degeneración de los electrones ) actúa para resistir que los fermiones estén demasiado cerca.
  Fermiones elementales con otros espines (3/2,5/2, etc.) no se sabe que existan.
• Las partículas elementales que se consideran portadoras de fuerzas son todas bosones con espín 1. Incluyen el fotón , que transporta la fuerza electromagnética , el gluón ( fuerza fuerte ) y los bosones W y Z ( fuerza débil ). La capacidad de los bosones de ocupar el mismo estado cuántico se utiliza en el láser , que alinea muchos fotones que tienen el mismo número cuántico (la misma dirección y frecuencia), el helio líquido superfluido resultante de que los átomos de helio-4 sean bosones, y la superconductividad , donde los pares de electrones (que individualmente son fermiones) actúan como bosones compuestos individuales.
  Históricamente no se sabía que existieran bosones elementales con otros espines (0, 2, 3, etc.), aunque han recibido un tratamiento teórico considerable y están bien establecidos dentro de sus respectivas teorías principales. En particular, los teóricos han propuesto el gravitón (que se predice que existe según algunas teorías de la gravedad cuántica ) con espín 2, y el bosón de Higgs (que explica la ruptura de simetría electrodébil ) con espín 0. Desde 2013, se ha demostrado que el bosón de Higgs con espín 0 existir. ^[13] Es la primera partícula elemental escalar (espín 0) que se sabe que existe en la naturaleza.
• Los núcleos atómicos tienen espín nuclear que puede ser medio entero o entero, de modo que los núcleos pueden ser fermiones o bosones.

Teorema de la estadística de espín

El teorema de la estadística de espín divide las partículas en dos grupos: bosones y fermiones , donde los bosones obedecen a la estadística de Bose-Einstein y los fermiones obedecen a la estadística de Fermi-Dirac (y por tanto al principio de exclusión de Pauli ). Específicamente, el teorema requiere que las partículas con espín semientero obedezcan el principio de exclusión de Pauli , mientras que las partículas con espín entero no. Por ejemplo, los electrones tienen espín medio entero y son fermiones que obedecen el principio de exclusión de Pauli, mientras que los fotones tienen espín entero y no lo hacen. El teorema fue deducido por Wolfgang Pauli en 1940; se basa tanto en la mecánica cuántica como en la teoría de la relatividad especial . Pauli describió esta conexión entre el espín y la estadística como "una de las aplicaciones más importantes de la teoría de la relatividad especial". ^[14]

Momentos magnéticos

Diagrama esquemático que representa el giro del neutrón como la flecha negra y las líneas del campo magnético asociadas con el momento magnético del neutrón . El neutrón tiene un momento magnético negativo. Mientras que el giro del neutrón está hacia arriba en este diagrama, las líneas del campo magnético en el centro del dipolo están hacia abajo.

Las partículas con espín pueden poseer un momento dipolar magnético , tal como un cuerpo cargado eléctricamente en rotación en la electrodinámica clásica . Estos momentos magnéticos se pueden observar experimentalmente de varias maneras, por ejemplo, mediante la desviación de partículas por campos magnéticos no homogéneos en un experimento de Stern-Gerlach , o midiendo los campos magnéticos generados por las propias partículas.

El momento magnético intrínseco μ de un espín-1/2partícula con carga q , masa m y momento angular de espín S , es ^[15]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,}$

donde la cantidad adimensional g _s se llama factor g de espín . Para rotaciones exclusivamente orbitales sería 1 (asumiendo que la masa y la carga ocupan esferas de igual radio).

El electrón, al ser una partícula elemental cargada, posee un momento magnético distinto de cero . Uno de los triunfos de la teoría de la electrodinámica cuántica es su predicción precisa del factor g del electrón , cuyo valor se ha determinado experimentalmente−2,002 319 304 362 56 (35) , donde los dígitos entre paréntesis indican la incertidumbre de la medición en los dos últimos dígitos con una desviación estándar . ^[16] El valor de 2 surge de la ecuación de Dirac , una ecuación fundamental que conecta el espín del electrón con sus propiedades electromagnéticas, y la desviación de−2 surge de la interacción del electrón con el campo electromagnético circundante , incluido su propio campo. ^[17]

Las partículas compuestas también poseen momentos magnéticos asociados con su giro. En particular, el neutrón posee un momento magnético distinto de cero a pesar de ser eléctricamente neutro. Este hecho fue una indicación temprana de que el neutrón no es una partícula elemental. De hecho, está formado por quarks , que son partículas cargadas eléctricamente. El momento magnético del neutrón proviene de los espines de los quarks individuales y de sus movimientos orbitales.

Los neutrinos son elementales y eléctricamente neutros. El modelo estándar mínimamente extendido que tiene en cuenta masas de neutrinos distintas de cero predice momentos magnéticos de neutrinos de: ^{[18] [19] [20]}

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},}$

donde μ _ν son los momentos magnéticos de los neutrinos, m _ν son las masas de los neutrinos y μ _B es el magnetón de Bohr . Sin embargo, la nueva física por encima de la escala electrodébil podría conducir a momentos magnéticos de neutrinos significativamente mayores. Se puede demostrar de forma independiente del modelo que los momentos magnéticos de neutrinos mayores que aproximadamente 10 ⁻¹⁴  μ _B son "antinaturales" porque también conducirían a grandes contribuciones radiativas a la masa del neutrino. Dado que se sabe que las masas de los neutrinos son, como máximo, aproximadamente1 eV/ c ² , sería necesario un ajuste fino para evitar grandes contribuciones a la masa del neutrino a través de correcciones radiativas. ^[21] La medición de los momentos magnéticos de los neutrinos es un área activa de investigación. Los resultados experimentales han situado el momento magnético del neutrino en menos de1,2 × 10 ⁻¹⁰  veces el momento magnético del electrón.

En cambio las partículas elementales con espín pero sin carga eléctrica, como un fotón o un bosón Z , no tienen momento magnético.

Temperatura de Curie y pérdida de alineación.

En los materiales ordinarios, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales producen campos magnéticos que se cancelan entre sí, porque cada dipolo apunta en una dirección aleatoria, siendo el promedio general muy cercano a cero. Sin embargo, los materiales ferromagnéticos por debajo de su temperatura de Curie exhiben dominios magnéticos en los que los momentos dipolares atómicos se alinean espontáneamente localmente, produciendo un campo magnético macroscópico distinto de cero a partir del dominio. Estos son los "imanes" ordinarios que todos conocemos.

En los materiales paramagnéticos , los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinearán parcialmente con un campo magnético aplicado externamente. En los materiales diamagnéticos , por otro lado, los momentos dipolares magnéticos de los átomos individuales se alinean de manera opuesta a cualquier campo magnético aplicado externamente, incluso si requiere energía para hacerlo.

El estudio del comportamiento de tales " modelos de espín " es un área de investigación próspera en la física de la materia condensada . Por ejemplo, el modelo de Ising describe espines (dipolos) que tienen sólo dos estados posibles, arriba y abajo, mientras que en el modelo de Heisenberg se permite que el vector de espín apunte en cualquier dirección. Estos modelos tienen muchas propiedades interesantes, que han llevado a resultados interesantes en la teoría de las transiciones de fase .

Dirección

Número cuántico y multiplicidad de proyección de espín.

En la mecánica clásica, el momento angular de una partícula posee no sólo una magnitud (qué tan rápido gira el cuerpo), sino también una dirección (hacia arriba o hacia abajo sobre el eje de rotación de la partícula). El giro mecánico-cuántico también contiene información sobre la dirección, pero de una forma más sutil. La mecánica cuántica establece que el componente del momento angular de una partícula de espín medido en cualquier dirección solo puede tomar los valores ^[22]

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

donde Si _es el componente de espín a lo largo del i -ésimo eje (ya sea x , y o z ), si _es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del i -ésimo eje y s es el número cuántico de espín principal (que se analiza en el sección previa). Convencionalmente la dirección elegida es el eje z  :

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

donde S _z es el componente de espín a lo largo del eje z  , s _z es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje z  .

Se puede ver que hay 2 s + 1 valores posibles de s _z . El número " 2 s + 1 " es la multiplicidad del sistema de espín. Por ejemplo, sólo hay dos valores posibles para un spin-1/2partícula: s _z = +1/2y s _z = −1/2. Estos corresponden a estados cuánticos en los que el componente de espín apunta en las direcciones + z o - z respectivamente, y a menudo se denominan "giro hacia arriba" y "giro hacia abajo". Para un giro-3/2partícula, como un barión delta , los valores posibles son +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.

Vector

Un único punto en el espacio puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después de una rotación de 360 ​​grados, la espiral cambia entre las orientaciones en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj. Vuelve a su configuración original después de girar 720° completos .

Para un estado cuántico dado , se podría pensar en un vector de espín cuyos componentes son los valores esperados de los componentes de espín a lo largo de cada eje, es decir ,. Este vector entonces describiría la "dirección" en la que apunta el giro, correspondiente al concepto clásico de eje de rotación . Resulta que el vector de espín no es muy útil en los cálculos reales de la mecánica cuántica, porque no se puede medir directamente: _{s x , sy y s z} no _pueden poseer valores _definidos simultáneos , debido a una relación de incertidumbre cuántica entre ellos. Sin embargo, para colecciones estadísticamente grandes de partículas que han sido colocadas en el mismo estado cuántico puro, como mediante el uso de un aparato de Stern-Gerlach , el vector de espín tiene un significado experimental bien definido: especifica la dirección en el espacio ordinario. en el que se debe orientar un detector posterior para lograr la máxima probabilidad posible (100%) de detectar cada partícula de la colección. Para girar- ${\textstyle \langle S\rangle }$ ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$1/2partículas, esta probabilidad disminuye suavemente a medida que aumenta el ángulo entre el vector de espín y el detector, hasta que en un ángulo de 180° (es decir, para detectores orientados en la dirección opuesta al vector de espín) la expectativa de detectar partículas de la colección alcanza un mínimo del 0%.

Como concepto cualitativo, el vector de espín suele ser útil porque es fácil de representar de forma clásica. Por ejemplo, el espín de la mecánica cuántica puede exhibir fenómenos análogos a los efectos giroscópicos clásicos . Por ejemplo, se puede ejercer una especie de " torque " sobre un electrón poniéndolo en un campo magnético (el campo actúa sobre el momento dipolar magnético intrínseco del electrón ; consulte la siguiente sección). El resultado es que el vector de espín sufre precesión , como un giroscopio clásico. Este fenómeno se conoce como resonancia de espín electrónico (ESR). El comportamiento equivalente de los protones en los núcleos atómicos se utiliza en espectroscopia e imágenes por resonancia magnética nuclear (RMN).

Matemáticamente, los estados de espín de la mecánica cuántica se describen mediante objetos similares a vectores conocidos como espinores . Existen diferencias sutiles entre el comportamiento de los espinores y los vectores bajo rotaciones de coordenadas . Por ejemplo, al girar un1/2una partícula en 360° no la devuelve al mismo estado cuántico, sino al estado con la fase cuántica opuesta ; En principio, esto se puede detectar mediante experimentos de interferencia . Para devolver la partícula a su estado original exacto, se necesita una rotación de 720°. (El truco de la placa y la tira de Möbius ofrecen analogías no cuánticas). Una partícula de espín cero sólo puede tener un único estado cuántico, incluso después de aplicar un par. Girar una partícula de espín 2 180° puede devolverla al mismo estado cuántico, y una partícula de espín 4 debe girarse 90° para devolverla al mismo estado cuántico. La partícula de espín-2 puede ser análoga a un palo recto que se ve igual incluso después de girarlo 180°, y una partícula de espín-0 se puede imaginar como una esfera, que se ve igual después de cualquier ángulo en el que se gire.

formulación matemática

Operador

El espín obedece a relaciones de conmutación ^[23] análogas a las del momento angular orbital :

$${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$

ε _jklsímbolo de Levi-Civitael momento angularvectores propiosketsbase S^{[2] : 166} ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

Los operadores de subida y bajada de giro que actúan sobre estos vectores propios dan

$${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$

^{[2] : 166} ${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$

Pero a diferencia del momento angular orbital, los vectores propios no son armónicos esféricos . No son funciones de θ y φ . Tampoco hay razón para excluir valores semienteros de s y m _s .

Todas las partículas de mecánica cuántica poseen un espín intrínseco (aunque este valor puede ser igual a cero). La proyección del espín sobre cualquier eje se cuantifica en unidades de la constante de Planck reducida , de modo que la función de estado de la partícula es, digamos, no , sino , donde sólo se pueden tomar los valores del siguiente conjunto discreto: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$ ${\displaystyle s_{z}}$

$${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

Se distinguen bosones (espín entero) y fermiones (espín semientero). El momento angular total conservado en los procesos de interacción es entonces la suma del momento angular orbital y el espín.

matrices de pauli

Los operadores mecánico-cuánticos asociados con el espín.1/2 los observables son

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$

$${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

Para el caso especial de spin-1/2partículas, σ _x , σ _y y σ _z son las tres matrices de Pauli :

$${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

principio de exclusión de Pauli

El principio de exclusión de Pauli establece que la función de onda para un sistema de N partículas idénticas que tienen espines s debe cambiar tras el intercambio de dos de las N partículas como ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$

$${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

Así, para los bosones el prefactor (−1) ^{2 s} se reducirá a +1, y para los fermiones a −1. Este postulado de permutación para funciones de estado de N -partículas tiene consecuencias muy importantes en la vida diaria, por ejemplo en la tabla periódica de los elementos químicos.

Rotaciones

Como se describió anteriormente, la mecánica cuántica establece que los componentes del momento angular medidos en cualquier dirección solo pueden tomar un número de valores discretos. Por lo tanto, la descripción mecánico-cuántica más conveniente del espín de una partícula es con un conjunto de números complejos correspondientes a amplitudes para encontrar un valor dado de proyección de su momento angular intrínseco sobre un eje dado. Por ejemplo, para un giro1/2partícula, necesitaríamos dos números a _±1/2 , dando amplitudes para encontrarla con proyección de momento angular igual a +ħ/2y -ħ/2, satisfaciendo el requisito

$${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

Para una partícula genérica con espín s , necesitaríamos 2 s + 1 de esos parámetros. Dado que estos números dependen de la elección del eje, se transforman entre sí de forma no trivial cuando se gira este eje. Está claro que la ley de transformación debe ser lineal, por lo que podemos representarla asociando una matriz a cada rotación, y el producto de dos matrices de transformación correspondientes a las rotaciones A y B debe ser igual (hasta la fase) a la matriz que representa la rotación. AB. Además, las rotaciones preservan el producto interno mecánico-cuántico, al igual que nuestras matrices de transformación:

$${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$

$${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

Matemáticamente hablando, estas matrices proporcionan una representación proyectiva unitaria del grupo de rotación SO(3) . Cada una de estas representaciones corresponde a una representación del grupo de cobertura de SO(3), que es SU(2) . ^[24] Hay una representación irreducible de n dimensiones de SU(2) para cada dimensión, aunque esta representación es real de n dimensiones para n impares y compleja de n dimensiones para n pares (por lo tanto, de dimensión real 2 n ). Para una rotación de ángulo θ en el plano con vector normal , ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

$${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$

S ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Prueba

Trabajando en el sistema de coordenadas donde , nos gustaría mostrar que S _x y S _y giran entre sí en un ángulo θ . Comenzando _con Sx . Usando unidades donde ħ = 1 : ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\cdots \end{aligned}}}$$

Utilizando las relaciones de conmutación del operador de espín, vemos que los conmutadores se evalúan como i S _y para los términos impares de la serie y como S _x para todos los términos pares. De este modo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\cdots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}}$$

como se esperaba. Tenga en cuenta que dado que sólo nos basamos en las relaciones de conmutación del operador de espín, esta prueba es válida para cualquier dimensión (es decir, para cualquier número cuántico de espín principal s ) ^{[25] : 164}

Se puede construir una rotación genérica en un espacio tridimensional combinando operadores de este tipo utilizando ángulos de Euler :

$${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

La matriz D de Wigner proporciona una representación irreductible de este grupo de operadores :

$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$

$${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$

la pequeña matriz d de Wignerγ = 2πα = β = 0z

$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

Recordando que un estado de espín genérico se puede escribir como una superposición de estados con m definido , vemos que si s es un número entero, los valores de m son todos números enteros y esta matriz corresponde al operador de identidad. Sin embargo, si s es un semientero, los valores de m también son todos semienteros, lo que da (−1) ^{2 m} = −1 para todo m y, por lo tanto, al girar 2 π , el estado adquiere un signo menos. Este hecho es un elemento crucial de la prueba del teorema de la estadística de espín .

Transformaciones de Lorentz

Podríamos intentar el mismo enfoque para determinar el comportamiento del espín bajo transformaciones generales de Lorentz , pero inmediatamente descubriríamos un obstáculo importante. A diferencia de SO (3), el grupo de transformaciones de Lorentz SO (3,1) no es compacto y, por lo tanto, no tiene representaciones fieles, unitarias y de dimensión finita.

En caso de giro1/2partículas, es posible encontrar una construcción que incluya tanto una representación de dimensión finita como un producto escalar que sea preservado por esta representación. Asociamos un espinor de Dirac ψ de 4 componentes con cada partícula. Estos espinores se transforman bajo transformaciones de Lorentz según la ley.

$${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$

γ _νmatrices gammaω _μν

$${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$

Medición del giro a lo largo de los ejes x , y o z

Cada una de las matrices de Pauli ( hermitianas ) de espín-1/2Las partículas tienen dos valores propios , +1 y −1. Los vectores propios normalizados correspondientes son

$${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(Debido a que cualquier vector propio multiplicado por una constante sigue siendo un vector propio, existe ambigüedad sobre el signo general. En este artículo, se elige la convención para hacer que el primer elemento sea imaginario y negativo si hay ambigüedad en el signo. La presente convención es utilizada por software como SymPy ; mientras que muchos libros de texto de física, como Sakurai y Griffiths, prefieren hacerlo real y positivo).

Según los postulados de la mecánica cuántica , un experimento diseñado para medir el espín del electrón en el eje x , y o z  sólo puede producir un valor propio del operador de espín correspondiente ( S _x , S _y o S _z ) en ese eje, es decirħ/2o -ħ/2. El estado cuántico de una partícula (con respecto al espín) se puede representar mediante un espinor de dos componentes :

$${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

Cuando el giro de esta partícula se mide con respecto a un eje dado (en este ejemplo, el eje x  ), la probabilidad de que su giro se mida comoħ/2es solo . En consecuencia, la probabilidad de que su giro se mida como – ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ħ/2es solo . Después de la medición, el estado de espín de la partícula colapsa en el estado propio correspondiente. Como resultado, si se ha medido que el giro de la partícula a lo largo de un eje determinado tiene un valor propio determinado, todas las mediciones arrojarán el mismo valor propio (desde , etc.), siempre que no se realicen mediciones del giro a lo largo de otros ejes. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$

Medición del giro a lo largo de un eje arbitrario.

El operador para medir el espín a lo largo de una dirección de eje arbitraria se obtiene fácilmente a partir de las matrices de espín de Pauli. Sea u = ( u _x , u _y , u _z ) un vector unitario arbitrario. Entonces el operador para girar en esta dirección es simplemente

$${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

El operador S _u tiene valores propios de ±ħ/2, al igual que las matrices de espín habituales. Este método de encontrar el operador para el giro en una dirección arbitraria se generaliza a estados de giro superiores, se toma el producto escalar de la dirección con un vector de los tres operadores para las tres direcciones de los ejes x , y , z .

Un espinor normalizado para el espín.1/2en la dirección ( u _x , u _y , u _z ) (que funciona para todos los estados de giro excepto el giro hacia abajo, donde dará0/0) es

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

El espinor anterior se obtiene de la forma habitual diagonalizando la matriz σ _u y encontrando los estados propios correspondientes a los valores propios. En mecánica cuántica, los vectores se denominan "normalizados" cuando se multiplican por un factor de normalización, lo que da como resultado que el vector tenga una longitud unitaria.

Compatibilidad de las mediciones de giro.

Dado que las matrices de Pauli no conmutan , las mediciones de espín a lo largo de los diferentes ejes son incompatibles. Esto significa que si, por ejemplo, conocemos el giro a lo largo del eje x  y luego medimos el giro a lo largo del eje y  , habremos invalidado nuestro conocimiento previo del  giro del eje x . Esto se puede ver en la propiedad de los vectores propios (es decir, estados propios) de las matrices de Pauli que

$${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

Entonces, cuando los físicos miden el giro de una partícula a lo largo del eje x  como, por ejemplo,ħ/2, el estado de espín de la partícula colapsa en el estado propio . Cuando posteriormente medimos el giro de la partícula a lo largo del eje y  , el estado de giro ahora colapsará en o , cada uno con probabilidad ${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$1/2. Digamos, en nuestro ejemplo, que medimos :ħ/2. Cuando volvamos a medir el giro de la partícula a lo largo del eje x  nuevamente, las probabilidades de que midamosħ/2o -ħ/2son cada uno1/2(es decir, son y respectivamente). Esto implica que la medición original del giro a lo largo del eje x  ya no es válida, ya que  ahora se medirá que el giro a lo largo del eje x tiene cualquiera de los valores propios con la misma probabilidad. ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$ ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$

Giros más altos

El giro-1/2operador S =ħ/2σ forma la representación fundamental de SU(2) . Tomandoconsigo repetidamente los productos de Kronecker de esta representación, se pueden construir todas las representaciones irreductibles superiores. Es decir, los operadores de espín resultantes para sistemas de espín superior en tres dimensiones espaciales se pueden calcular para s arbitrariamente grandes utilizando este operador de espín y operadores de escalera . Por ejemplo, tomando el producto de Kronecker de dos hilado1/2produce una representación de cuatro dimensiones, que se puede separar en una representación de spin-1 tridimensional ( estados tripletes ) y una representación de spin-0 unidimensional ( estado singlete ).

Las representaciones irreducibles resultantes producen las siguientes matrices de espín y valores propios en la base z:

1. Para el giro 1 son
   $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}}$$
2. para girar3/2ellos son
   $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}}$$
3. para girar5/2ellos son
   $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$
4. La generalización de estas matrices para espines arbitrarios s es
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}}$$
   donde los índices son números enteros tales que ${\displaystyle a,b}$
   $${\displaystyle 1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.}$$

También útil en la mecánica cuántica de sistemas multipartículas, el grupo general de Pauli G _n se define como compuesto por todos los productos tensoriales n veces de matrices de Pauli.

La fórmula analógica de la fórmula de Euler en términos de las matrices de Pauli.

$${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

^[26]

Paridad

En las tablas de números cuánticos de espín para núcleos o partículas, el espín suele ir seguido de un "+" o un "-". ^{[ cita necesaria ]} Esto se refiere a la paridad con "+" para paridad par (función de onda sin cambios por inversión espacial) y "-" para paridad impar (función de onda negada por inversión espacial). Por ejemplo, véase los isótopos del bismuto , en los que la lista de isótopos incluye la columna de espín nuclear y paridad. Para Bi-209, el isótopo de vida más larga, la entrada 9/2– significa que el espín nuclear es 9/2 y la paridad es impar.

Medición de giro

El espín nuclear de los átomos puede determinarse mediante mejoras sofisticadas del experimento original de Stern-Gerlach . ^{[27] Un} haz molecular de átomos de energía única (monocromático) en un campo magnético no homogéneo se dividirá en haces que representan cada posible estado cuántico de espín. Para un átomo con espín electrónico y espín nuclear , se observan haces. Por ejemplo, con los átomos de Na , y en un campo magnético fuerte, los dos haces electrónicos se pueden separar físicamente con una rendija selectora y luego pasar a un campo débil donde se pueden observar 4 haces: por lo tanto, el espín nuclear de los átomos de Na es . ^{[28] [29]} ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (2J+1)(2I+1)}$ ${\displaystyle J=1/2}$ ${\displaystyle J=3/2}$

El espín de los piones , un tipo de partícula elemental, estaba determinado por el principio de equilibrio detallado aplicado a aquellas colisiones de protones que producían piones cargados y deuterio .

$${\displaystyle p+p\rightarrow \pi _{-}+d}$$

de rayos gamma ${\displaystyle \pi _{-}}$ ${\displaystyle s_{\pi }=0}$

$${\displaystyle \pi _{0}\rightarrow 2\gamma }$$

^{[30] : 66}

Aplicaciones

Spin tiene importantes implicaciones teóricas y aplicaciones prácticas. Las aplicaciones directas bien establecidas del spin incluyen:

• Espectroscopia de resonancia magnética nuclear (RMN) en química;
• Espectroscopia de resonancia de espín electrónico (ESR o EPR) en química y física;
• Imágenes por resonancia magnética (MRI) en medicina, un tipo de RMN aplicada, que se basa en la densidad de espín de los protones;
• "Tecnología de cabezal de unidad magnetorresistiva gigante (GMR) en discos duros modernos ".

El espín de los electrones desempeña un papel importante en el magnetismo , con aplicaciones, por ejemplo, en las memorias de los ordenadores. La manipulación del espín nuclear mediante ondas de radiofrecuencia ( resonancia magnética nuclear ) es importante en espectroscopia química e imágenes médicas.

El acoplamiento espín-órbita conduce a la estructura fina de los espectros atómicos, que se utiliza en los relojes atómicos y en la definición moderna del segundo . Las mediciones precisas del factor g del electrón han desempeñado un papel importante en el desarrollo y verificación de la electrodinámica cuántica . El giro de los fotones está asociado con la polarización de la luz ( polarización de fotones ).

Una aplicación emergente del espín es como portador de información binaria en transistores de espín . El concepto original, propuesto en 1990, se conoce como transistor de espín Datta-Das . ^[31] La electrónica basada en transistores de espín se denomina espintrónica . La manipulación del espín en materiales semiconductores magnéticos diluidos , como ZnO o TiO ₂ dopados con metales , imparte un mayor grado de libertad y tiene el potencial de facilitar la fabricación de componentes electrónicos más eficientes. ^[32]

Hay muchas aplicaciones y manifestaciones indirectas del espín y el principio de exclusión de Pauli asociado , comenzando con la tabla periódica de la química.

Historia

Wolfgang Pauli dando una conferencia

El espín se descubrió por primera vez en el contexto del espectro de emisión de metales alcalinos . A partir de 1910, muchos experimentos con diferentes átomos produjeron una colección de relaciones que involucraban números cuánticos para niveles de energía atómica parcialmente resumidos en el modelo del átomo de Bohr ^{[33] : 106} Las transiciones entre niveles obedecieron reglas de selección y se sabía que las reglas estaban correlacionadas incluso con o número atómico impar . Se conoció información adicional a partir de los cambios en el espectro atómico observados en campos magnéticos fuertes, conocido como efecto Zeeman . En 1924, Wolfgang Pauli utilizó esta gran colección de observaciones empíricas para proponer el grado de libertad, ^[6] introduciendo lo que llamó una "dos valores no descriptibles clásicamente" ^[34] asociado con el electrón en la capa más externa .

Inicialmente se desconocía la interpretación física del "grado de libertad" de Pauli. Ralph Kronig , uno de los asistentes de Alfred Landé , sugirió a principios de 1925 que se producía por la autorrotación del electrón. Cuando Pauli se enteró de la idea, la criticó severamente, señalando que la hipotética superficie del electrón tendría que moverse más rápido que la velocidad de la luz para que gire lo suficientemente rápido como para producir el momento angular necesario. Esto violaría la teoría de la relatividad . En gran parte debido a las críticas de Pauli, Kronig decidió no publicar su idea. ^[35]

En el otoño de 1925, los físicos holandeses George Uhlenbeck y Samuel Goudsmit de la Universidad de Leiden tuvieron la misma idea . Siguiendo el consejo de Paul Ehrenfest , publicaron sus resultados. ^[36] Los jóvenes físicos inmediatamente se arrepintieron de la publicación: Hendrik Lorentz y Werner Heisenberg señalaron problemas con el concepto de electrón giratorio. ^[37]

Pauli no estaba especialmente convencido y continuó persiguiendo su doble valor de libertad. Esto le permitió formular el principio de exclusión de Pauli , afirmando que no pueden dos electrones tener el mismo estado cuántico en un mismo sistema cuántico.

Afortunadamente, en febrero de 1926 Llewellyn Thomas logró resolver una discrepancia de factor dos entre los resultados experimentales para la estructura fina en el espectro del hidrógeno y los cálculos basados ​​en el modelo de Uhlenbeck y Goudsmit (y el inédito de Kronig). ^{[2] : 385} Esta discrepancia se debió a un efecto relativista, la diferencia entre el sistema de reposo giratorio del electrón y el sistema de reposo nuclear; el efecto ahora se conoce como precesión de Thomas . ^[6] El resultado de Thomas convenció a Pauli de que el espín del electrón era la interpretación correcta de su grado de libertad de dos valores, mientras continuaba insistiendo en que el modelo clásico de carga giratoria no es válido. ^{[34] [5]}

En 1927 Pauli formalizó la teoría del espín utilizando la teoría de la mecánica cuántica inventada por Erwin Schrödinger y Werner Heisenberg . Fue pionero en el uso de matrices de Pauli como representación de los operadores de espín e introdujo una función de onda de espín de dos componentes .

La teoría del espín de Pauli no era relativista. En 1928, Paul Dirac publicó su ecuación relativista del electrón, utilizando un espinor de cuatro componentes (conocido como " espinor de Dirac ") para la función de onda del electrón. El giro relativista explicó la anomalía giromagnética. En 1940, Pauli demostró el teorema de la estadística de espín , que establece que los fermiones tienen espín semientero y los bosones tienen espín entero. ^[6]

En retrospectiva, la primera evidencia experimental directa del espín del electrón fue el experimento de Stern-Gerlach de 1922. Sin embargo, la explicación correcta de este experimento no se dio hasta 1927. ^[38] La interpretación original suponía que los dos puntos observados en el experimento eran debido al momento angular orbital cuantificado . Sin embargo, en 1927 Ronald Fraser demostró que los átomos de sodio son isotrópicos sin momento angular orbital y sugirió que las propiedades magnéticas observadas se debían al espín de los electrones. ^[39] En el mismo año, Phipps y Taylor aplicaron la técnica de Stern-Gerlach a los átomos de hidrógeno; el estado fundamental del hidrógeno tiene un momento angular cero, pero las mediciones mostraron nuevamente dos picos. ^[40] Una vez establecida la teoría cuántica, quedó claro que la interpretación original no podía haber sido correcta: los posibles valores del momento angular orbital a lo largo de un eje son siempre un número impar, a diferencia de las observaciones. Los átomos de hidrógeno tienen un solo electrón con dos estados de espín que dan los dos puntos observados; Los átomos de plata tienen capas cerradas que no contribuyen al momento magnético y sólo el espín del electrón externo incomparable responde al campo.

Ver también

• Quiralidad (física)
• Polarización nuclear dinámica
• Helicidad (física de partículas)
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Teorema de Kramers
• ecuación de pauli
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Ecuación de Rarita-Schwinger
• Teoría de la representación de SU(2)
• Momento angular de giro de la luz.
• ingeniería de giro
• giro-flip
• Isómeros de espín del hidrógeno
• Interacción giro-órbita
• tensor de giro
• onda de giro
• Yrast

Referencias

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Otras lecturas

• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernardo; Laloë, Franck (2006). Mecánica cuántica (edición de 2 volúmenes). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-56952-7.
• Condón, UE; Shortley, GH (1935). "Especialmente el Capítulo 3". La teoría de los espectros atómicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-09209-8.
• Hipple, JA; Sommer, H.; Thomas, HA (1949). "Un método preciso para determinar el faraday mediante resonancia magnética". Revisión física . 76 (12): 1877–1878. Código bibliográfico : 1949PhRv...76.1877H. doi :10.1103/PhysRev.76.1877.2.
• Edmonds, AR (1957). Momento angular en mecánica cuántica . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-07912-7.
• Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-30932-1.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Thompson, William J. (1994). Momento angular: una guía ilustrada sobre simetrías rotacionales para sistemas físicos . Wiley. ISBN 978-0-471-55264-2.
• Tipler, Paul (2004). Física para científicos e ingenieros: mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica (5ª ed.). WH Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.

• Sin-Itiro Tomonaga, La historia del giro, 1997

enlaces externos

• Citas relacionadas con Spin (física) en Wikiquote
• Goudsmit sobre el descubrimiento del espín del electrón.
• Naturaleza : "Hitos del 'giro' desde 1896".
• ECE 495N Conferencia 36: Conferencia Spin Online de S. Datta