En matemáticas y mecánica clásica , las coordenadas canónicas son conjuntos de coordenadas en el espacio de fases que se pueden utilizar para describir un sistema físico en cualquier punto dado en el tiempo. Las coordenadas canónicas se utilizan en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica . Un concepto estrechamente relacionado también aparece en la mecánica cuántica ; consulte el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónicas para obtener más detalles.
Así como la mecánica hamiltoniana se generaliza mediante la geometría simpléctica y las transformaciones canónicas se generalizan mediante las transformaciones de contacto , la definición del siglo XIX de coordenadas canónicas en la mecánica clásica puede generalizarse a una definición más abstracta del siglo XX de coordenadas en el fibrado cotangente de una variedad (la noción matemática de espacio de fases).
En mecánica clásica , las coordenadas canónicas son coordenadas y en el espacio de fases que se utilizan en el formalismo hamiltoniano . Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales del corchete de Poisson :
Un ejemplo típico de coordenadas canónicas es que sean las coordenadas cartesianas habituales y que sean los componentes del momento . Por lo tanto, en general, las coordenadas se denominan "momentos conjugados".
Las coordenadas canónicas se pueden obtener a partir de las coordenadas generalizadas del formalismo lagrangiano mediante una transformación de Legendre , o de otro conjunto de coordenadas canónicas mediante una transformación canónica .
Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el fibrado cotangente de una variedad . Por lo general, se escriben como un conjunto de o con las x o q denotando las coordenadas en la variedad subyacente y las p denotando el momento conjugado , que son 1-formas en el fibrado cotangente en el punto q en la variedad.
Una definición común de coordenadas canónicas es cualquier conjunto de coordenadas en el fibrado cotangente que permite escribir la forma unitaria canónica en la forma
hasta una diferencial total. Un cambio de coordenadas que conserva esta forma es una transformación canónica ; estos son un caso especial de un simplectomorfismo , que es esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica .
En la siguiente exposición, suponemos que las variedades son variedades reales, de modo que los vectores cotangentes que actúan sobre vectores tangentes producen números reales.
Dada una variedad Q , un campo vectorial X sobre Q (una sección del fibrado tangente TQ ) puede considerarse como una función que actúa sobre el fibrado cotangente , por la dualidad entre los espacios tangente y cotangente. Es decir, definir una función
de tal manera que
se cumple para todos los vectores cotangentes p en . Aquí, es un vector en , el espacio tangente a la variedad Q en el punto q . La función se denomina función de momento correspondiente a X .
En coordenadas locales , el campo vectorial X en el punto q puede escribirse como
donde son el marco de coordenadas en TQ . El momento conjugado tiene entonces la expresión
donde se definen como las funciones de momento correspondientes a los vectores :
El conjunto con el conjunto forma un sistema de coordenadas en el fibrado cotangente ; estas coordenadas se denominan coordenadas canónicas .
En la mecánica lagrangiana se utiliza un conjunto diferente de coordenadas, llamadas coordenadas generalizadas . Estas se denotan comúnmente como posición generalizada y velocidad generalizada . Cuando un hamiltoniano se define en el fibrado cotangente, entonces las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas por medio de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi .
