En mecánica cuántica , el principio de exclusión de Pauli establece que dos o más partículas idénticas con espines semienteros (es decir, fermiones ) no pueden ocupar simultáneamente el mismo estado cuántico dentro de un sistema que obedece las leyes de la mecánica cuántica . Este principio fue formulado por el físico austríaco Wolfgang Pauli en 1925 para los electrones y posteriormente se extendió a todos los fermiones con su teorema de estadística de espín de 1940.
En el caso de los electrones en los átomos, el principio de exclusión puede enunciarse de la siguiente manera: en un átomo polielectrónico es imposible que dos electrones tengan los mismos dos valores de sus cuatro números cuánticos , que son: n , el número cuántico principal ; ℓ , el número cuántico azimutal ; mℓ , el número cuántico magnético ; y ms , el número cuántico de espín . Por ejemplo, si dos electrones residen en el mismo orbital , entonces sus valores de n , ℓ y mℓ son iguales . En ese caso, los dos valores del par ms (espín) deben ser diferentes. Dado que los únicos dos valores posibles para la proyección de espín ms son +1/2 y −1/2, se deduce que un electrón debe tener ms = +1/2 y un ms = −1/2.
Las partículas con un espín entero ( bosones ) no están sujetas al principio de exclusión de Pauli. Cualquier número de bosones idénticos puede ocupar el mismo estado cuántico, como los fotones producidos por un láser o los átomos que se encuentran en un condensado de Bose-Einstein .
Una afirmación más rigurosa es la siguiente: en el caso del intercambio de dos partículas idénticas, la función de onda total (de muchas partículas) es antisimétrica para los fermiones y simétrica para los bosones. Esto significa que si se intercambian las coordenadas espaciales y de espín de dos partículas idénticas, la función de onda total cambia de signo para los fermiones, pero no cambia de signo para los bosones.
Por lo tanto, si hipotéticamente dos fermiones estuvieran en el mismo estado (por ejemplo, en el mismo átomo, en el mismo orbital y con el mismo espín), intercambiarlos no cambiaría nada y la función de onda total no cambiaría. Sin embargo, la única forma en que una función de onda total puede cambiar de signo (requerido para los fermiones) y también permanecer inalterada es que dicha función debe ser cero en todas partes, lo que significa que dicho estado no puede existir. Este razonamiento no se aplica a los bosones porque el signo no cambia.
El principio de exclusión de Pauli describe el comportamiento de todos los fermiones (partículas con espín semientero ), mientras que los bosones (partículas con espín entero) están sujetos a otros principios. Los fermiones incluyen partículas elementales como los quarks , los electrones y los neutrinos . Además, los bariones como los protones y los neutrones ( partículas subatómicas compuestas por tres quarks) y algunos átomos (como el helio-3 ) son fermiones y, por lo tanto, también se describen mediante el principio de exclusión de Pauli. Los átomos pueden tener un espín general diferente, lo que determina si son fermiones o bosones: por ejemplo, el helio-3 tiene espín 1/2 y, por lo tanto, es un fermión, mientras que el helio-4 tiene espín 0 y es un bosón. [2] : 123–125 El principio de exclusión de Pauli sustenta muchas propiedades de la materia cotidiana, desde su estabilidad a gran escala hasta el comportamiento químico de los átomos .
El espín semientero significa que el valor del momento angular intrínseco de los fermiones es ( constante de Planck reducida ) multiplicado por un semientero (1/2, 3/2, 5/2, etc.). En la teoría de la mecánica cuántica , los fermiones se describen mediante estados antisimétricos . Por el contrario, las partículas con espín entero (bosones) tienen funciones de onda simétricas y pueden compartir los mismos estados cuánticos. Los bosones incluyen el fotón , los pares de Cooper que son responsables de la superconductividad y los bosones W y Z. Los fermiones toman su nombre de la distribución estadística de Fermi-Dirac , a la que obedecen, y los bosones toman el suyo de la distribución de Bose-Einstein .
A principios del siglo XX se hizo evidente que los átomos y las moléculas con números pares de electrones son químicamente más estables que aquellos con números impares de electrones. En el artículo de 1916 "El átomo y la molécula" de Gilbert N. Lewis , por ejemplo, el tercero de sus seis postulados de comportamiento químico establece que el átomo tiende a tener un número par de electrones en cualquier capa dada, y especialmente a tener ocho electrones, que él asumió que normalmente están dispuestos simétricamente en las ocho esquinas de un cubo . [3] En 1919, el químico Irving Langmuir sugirió que la tabla periódica podría explicarse si los electrones de un átomo estuvieran conectados o agrupados de alguna manera. Se pensaba que los grupos de electrones ocupaban un conjunto de capas de electrones alrededor del núcleo. [4] En 1922, Niels Bohr actualizó su modelo del átomo al suponer que ciertas cantidades de electrones (por ejemplo, 2, 8 y 18) correspondían a "capas cerradas" estables. [5] : 203
Pauli buscó una explicación para estos números, que al principio eran sólo empíricos . Al mismo tiempo, intentaba explicar los resultados experimentales del efecto Zeeman en la espectroscopia atómica y en el ferromagnetismo . Encontró una pista esencial en un artículo de 1924 de Edmund C. Stoner , que señalaba que, para un valor dado del número cuántico principal ( n ), el número de niveles de energía de un solo electrón en los espectros de metales alcalinos en un campo magnético externo, donde todos los niveles de energía degenerados están separados, es igual al número de electrones en la capa cerrada de los gases nobles para el mismo valor de n . Esto llevó a Pauli a darse cuenta de que los complicados números de electrones en capas cerradas pueden reducirse a la simple regla de un electrón por estado si los estados de los electrones se definen utilizando cuatro números cuánticos. Para este propósito, introdujo un nuevo número cuántico de dos valores, identificado por Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck como espín electrónico . [6] [7]
En su discurso del Nobel, Pauli aclaró la importancia de la simetría de estados cuánticos para el principio de exclusión: [8]
Entre las diferentes clases de simetría, las más importantes (que además para dos partículas son las únicas) son la clase simétrica , en la que la función de onda no cambia su valor cuando se permutan las coordenadas espaciales y de espín de dos partículas, y la clase antisimétrica , en la que para tal permutación la función de onda cambia su signo...[La clase antisimétrica es] la formulación mecánica ondulatoria correcta y general del principio de exclusión.
El principio de exclusión de Pauli con una función de onda de múltiples partículas de un solo valor es equivalente a exigir que la función de onda sea antisimétrica con respecto al intercambio . Si y abarcan los vectores base del espacio de Hilbert que describe un sistema de una partícula, entonces el producto tensorial produce los vectores base del espacio de Hilbert que describe un sistema de dos de esas partículas. Cualquier estado de dos partículas se puede representar como una superposición (es decir, suma) de estos vectores base:
donde cada A ( x , y ) es un coeficiente escalar (complejo). La antisimetría bajo intercambio significa que A ( x , y ) = − A ( y , x ) . Esto implica que A ( x , y ) = 0 cuando x = y , que es exclusión de Pauli. Esto es cierto en cualquier base ya que los cambios locales de base mantienen antisimétricas las matrices antisimétricas.
Por el contrario, si las cantidades diagonales A ( x , x ) son cero en cada base , entonces el componente de la función de onda
es necesariamente antisimétrica. Para demostrarlo, considere el elemento de matriz
Esto es cero, porque las dos partículas tienen probabilidad cero de estar ambas en el estado de superposición . Pero esto es igual a
El primer y el último término son elementos diagonales y son cero, y la suma total es igual a cero. Por lo tanto, los elementos de la matriz de función de onda obedecen a:
o
Para un sistema con n > 2 partículas, los estados base de múltiples partículas se convierten en productos tensoriales n- fold de estados base de una partícula, y los coeficientes de la función de onda se identifican por n estados de una partícula. La condición de antisimetría establece que los coeficientes deben cambiar de signo siempre que se intercambien dos estados cualesquiera: para cualquier . El principio de exclusión es la consecuencia de que, si para cualquier entonces Esto muestra que ninguna de las n partículas puede estar en el mismo estado.
Según el teorema de estadística de espín , las partículas con espín entero ocupan estados cuánticos simétricos, y las partículas con espín semientero ocupan estados antisimétricos; además, los principios de la mecánica cuántica solo permiten valores de espín enteros o semienteros. En la teoría cuántica de campos relativista , el principio de Pauli se deduce de la aplicación de un operador de rotación en tiempo imaginario a partículas con espín semientero.
En una dimensión, los bosones, así como los fermiones, pueden obedecer al principio de exclusión. Un gas de Bose unidimensional con interacciones repulsivas de función delta de fuerza infinita es equivalente a un gas de fermiones libres. La razón de esto es que, en una dimensión, el intercambio de partículas requiere que pasen una a través de la otra; para una repulsión infinitamente fuerte esto no puede suceder. Este modelo se describe mediante una ecuación de Schrödinger cuántica no lineal . En el espacio de momento, el principio de exclusión es válido también para la repulsión finita en un gas de Bose con interacciones de función delta, [9] así como para espines interactuantes y el modelo de Hubbard en una dimensión, y para otros modelos resolubles por Bethe ansatz . El estado fundamental en los modelos resolubles por Bethe ansatz es una esfera de Fermi .
El principio de exclusión de Pauli ayuda a explicar una amplia variedad de fenómenos físicos. Una consecuencia particularmente importante del principio es la elaborada estructura de capas electrónicas de los átomos y la forma en que los átomos comparten electrones, lo que explica la variedad de elementos químicos y sus combinaciones químicas. Un átomo eléctricamente neutro contiene electrones ligados en igual número que los protones en el núcleo . Los electrones, al ser fermiones, no pueden ocupar el mismo estado cuántico que otros electrones, por lo que los electrones tienen que "apilarse" dentro de un átomo, es decir, tener diferentes espines mientras se encuentran en el mismo orbital electrónico, como se describe a continuación.
Un ejemplo es el átomo neutro de helio (He), que tiene dos electrones ligados, los cuales pueden ocupar los estados de menor energía ( 1s ) al adquirir espín opuesto; como el espín es parte del estado cuántico del electrón, los dos electrones están en diferentes estados cuánticos y no violan el principio de Pauli. Sin embargo, el espín solo puede tomar dos valores diferentes ( valores propios ). En un átomo de litio (Li), con tres electrones ligados, el tercer electrón no puede residir en un estado 1s y debe ocupar un estado de mayor energía en su lugar. El estado más bajo disponible es 2s, de modo que el estado fundamental de Li es 1s 2 2s. De manera similar, los elementos sucesivamente más grandes deben tener capas de energía sucesivamente más alta. Las propiedades químicas de un elemento dependen en gran medida del número de electrones en la capa más externa; los átomos con diferentes números de capas de electrones ocupadas pero el mismo número de electrones en la capa más externa tienen propiedades similares, lo que da lugar a la tabla periódica de los elementos . [10] : 214–218
Para probar el principio de exclusión de Pauli para el átomo de helio, Gordon Drake [11] realizó cálculos muy precisos para estados hipotéticos del átomo de He que lo violan, que se denominan estados parónicos . Más tarde, K. Deilamian et al. [12] utilizaron un espectrómetro de haz atómico para buscar el estado parónico 1s2s 1 S 0 calculado por Drake. La búsqueda no tuvo éxito y mostró que el peso estadístico de este estado parónico tiene un límite superior de5 × 10 −6 . (El principio de exclusión implica un peso de cero).
En los conductores y semiconductores , hay un gran número de orbitales moleculares que forman efectivamente una estructura de banda continua de niveles de energía . En los conductores fuertes ( metales ), los electrones están tan degenerados que ni siquiera pueden contribuir mucho a la capacidad térmica de un metal. [13] : 133–147 Muchas propiedades mecánicas, eléctricas, magnéticas, ópticas y químicas de los sólidos son consecuencia directa de la exclusión de Pauli.
La estabilidad de cada estado electrónico en un átomo se describe mediante la teoría cuántica del átomo, que muestra que la aproximación de un electrón al núcleo necesariamente aumenta la energía cinética del electrón, una aplicación del principio de incertidumbre de Heisenberg. [14] Sin embargo, la estabilidad de los sistemas grandes con muchos electrones y muchos nucleones es una cuestión diferente y requiere el principio de exclusión de Pauli. [15]
Se ha demostrado que el principio de exclusión de Pauli es responsable del hecho de que la materia ordinaria sea estable y ocupe volumen. Esta sugerencia fue hecha por primera vez en 1931 por Paul Ehrenfest , quien señaló que los electrones de cada átomo no pueden caer todos en el orbital de menor energía y deben ocupar capas sucesivamente más grandes. Los átomos, por lo tanto, ocupan un volumen y no pueden comprimirse demasiado. [16]
La primera prueba rigurosa fue proporcionada en 1967 por Freeman Dyson y Andrew Lenard (de), quienes consideraron el equilibrio de fuerzas atractivas (electrón-nuclear) y repulsivas (electrón-electrón y nuclear-nuclear) y demostraron que la materia ordinaria colapsaría y ocuparía un volumen mucho más pequeño sin el principio de Pauli. [17] [18] Una prueba mucho más simple fue encontrada más tarde por Elliott H. Lieb y Walter Thirring en 1975. Proporcionaron un límite inferior en la energía cuántica en términos del modelo de Thomas-Fermi , que es estable debido a un teorema de Teller . La prueba utilizó un límite inferior en la energía cinética que ahora se llama desigualdad de Lieb-Thirring .
La consecuencia del principio de Pauli es que los electrones del mismo espín se mantienen separados por una interacción de intercambio repulsivo , que es un efecto de corto alcance que actúa simultáneamente con la fuerza electrostática o de Coulomb de largo alcance . Este efecto es en parte responsable de la observación cotidiana en el mundo macroscópico de que dos objetos sólidos no pueden estar en el mismo lugar al mismo tiempo.
Dyson y Lenard no consideraron las fuerzas magnéticas o gravitacionales extremas que ocurren en algunos objetos astronómicos . En 1995, Elliott Lieb y colaboradores demostraron que el principio de Pauli todavía conduce a la estabilidad en campos magnéticos intensos como en las estrellas de neutrones , aunque a una densidad mucho mayor que en la materia ordinaria. [19] Es una consecuencia de la relatividad general que, en campos gravitacionales suficientemente intensos, la materia colapsa para formar un agujero negro .
La astronomía proporciona una demostración espectacular del efecto del principio de Pauli, en forma de enanas blancas y estrellas de neutrones . En ambos cuerpos, la estructura atómica se ve alterada por una presión extrema, pero las estrellas se mantienen en equilibrio hidrostático por la presión de degeneración , también conocida como presión de Fermi. Esta forma exótica de materia se conoce como materia degenerada . La inmensa fuerza gravitatoria de la masa de una estrella se mantiene normalmente en equilibrio por la presión térmica causada por el calor producido en la fusión termonuclear en el núcleo de la estrella. En las enanas blancas, que no experimentan fusión nuclear, una fuerza opuesta a la gravedad la proporciona la presión de degeneración de los electrones . En las estrellas de neutrones , sujetas a fuerzas gravitatorias aún más fuertes, los electrones se han fusionado con los protones para formar neutrones. Los neutrones son capaces de producir una presión de degeneración aún mayor, presión de degeneración de neutrones , aunque en un rango más corto. Esto puede estabilizar a las estrellas de neutrones de un mayor colapso, pero a un tamaño menor y una densidad mayor que una enana blanca. Las estrellas de neutrones son los objetos más "rígidos" conocidos; su módulo de Young (o, más exactamente, módulo volumétrico ) es 20 órdenes de magnitud mayor que el del diamante . Sin embargo, incluso esta enorme rigidez puede ser superada por el campo gravitatorio de una estrella de neutrones cuya masa exceda el límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff , lo que conduce a la formación de un agujero negro . [20] : 286–287
