momento magnético del electrón

Spin de un electrón

En física atómica , el momento magnético del electrón , o más específicamente el momento dipolar magnético del electrón , es el momento magnético de un electrón resultante de sus propiedades intrínsecas de espín y carga eléctrica . El valor del momento magnético del electrón (símbolo μ _e ) es−9,284 764 7043 (28) × 10 ⁻²⁴  J⋅T ⁻¹ . ^[1] En unidades del magnetón de Bohr ( μ _B ), es−1,001 159 652 180 59 (13)  μ _B , ^[2] un valor que se midió con una precisión relativa de1,3 × 10-13 . ^_

Momento magnético de un electrón.

El electrón es una partícula cargada con carga −e , donde e es la unidad de carga elemental . Su momento angular proviene de dos tipos de rotación: giro y movimiento orbital . Según la electrodinámica clásica , una distribución giratoria de carga eléctrica produce un dipolo magnético , de modo que se comporta como una pequeña barra magnética . Una consecuencia es que un campo magnético externo ejerce un par sobre el momento magnético del electrón que depende de la orientación de este dipolo con respecto al campo.

Si visualizamos al electrón como un cuerpo rígido clásico en el que la masa y la carga tienen idéntica distribución y movimiento que gira alrededor de un eje con momento angular L , su momento dipolar magnético μ viene dado por:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{2m_{\text{e}}}}\,\mathbf {L} \,,}$$

m _emasa en reposo del electrónmomento angular Lmomento magnético de espínadimensional g _efactor g

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{\text{e}}\,{\frac {(-e)}{~2m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,.}$$

Es habitual expresar el momento magnético en términos de la constante de Planck reducida ħ y el magnetón de Bohr μ _B :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{\text{e}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {\mathbf {L} }{\hbar }}\,.}$$

Dado que el momento magnético se cuantifica en unidades de μ _B , correspondientemente el momento angular se cuantifica en unidades de ħ .

Definicion formal

Sin embargo, nociones clásicas como centro de carga y masa son difíciles de precisar para una partícula elemental cuántica. En la práctica, la definición utilizada por los experimentadores proviene de los factores de forma que aparecen en el elemento de la matriz. ${\displaystyle F_{i}(q^{2})}$

$${\displaystyle \langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left[F_{1}(q^{2})\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\text{e}}~}}q_{\nu }F_{2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+{\frac {1}{~2\,m_{\text{e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{\mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right]u(p_{i})}$$

del operador de corriente electromagnética entre dos estados en el caparazón. Aquí y son la solución de 4 espinores de la ecuación de Dirac normalizada de modo que y es la transferencia de impulso de la corriente al electrón. El factor de forma es la carga del electrón, es su momento dipolar magnético estático y proporciona la definición formal del momento dipolar eléctrico del electrón . El factor de forma restante sería, si fuera distinto de cero, el momento anapolar . ${\displaystyle u(p_{i})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}(p_{f})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}u=2m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=0}$ ${\displaystyle F_{1}(0)=-e}$ ${\textstyle \mu ={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2m_{\text{e}}}}F_{3}(0)}$ ${\displaystyle F_{4}(q^{2})}$

Momento dipolar magnético de giro

El momento magnético del espín es intrínseco al electrón. ^[3] Es

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.}$$

Aquí S es el momento angular de espín del electrón. El factor g de espín es aproximadamente dos: . El factor de dos indica que el electrón parece ser dos veces más eficaz para producir un momento magnético que un cuerpo cargado cuyas distribuciones de masa y carga son idénticas. ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

El momento dipolar magnético de espín es aproximadamente un μ _B porque y el electrón es una partícula de espín 1 ⁄ 2 ( S = ħ ⁄ 2 ): ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

La componente z del momento magnético del electrón es

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_{\text{s}}\,,}$$

m _snúmero cuántico de espínμnegativa multiplicada por el espínantiparalelo

El factor de espín g g _s = 2 proviene de la ecuación de Dirac , una ecuación fundamental que conecta el espín del electrón con sus propiedades electromagnéticas. La reducción de la ecuación de Dirac para un electrón en un campo magnético a su límite no relativista produce la ecuación de Schrödinger con un término de corrección, que tiene en cuenta la interacción del momento magnético intrínseco del electrón con el campo magnético que proporciona la energía correcta.

Para el espín del electrón, se ha determinado experimentalmente que el valor más preciso para el factor g de espín es el valor

−2,002 319 304 362 56 (35) . ^[4]

Tenga en cuenta que esto difiere sólo marginalmente del valor de la ecuación de Dirac. La pequeña corrección se conoce como momento dipolar magnético anómalo del electrón; surge de la interacción del electrón con fotones virtuales en la electrodinámica cuántica . Un triunfo de la teoría de la electrodinámica cuántica es la predicción precisa del factor g del electrón . El valor CODATA para el momento magnético del electrón es

−9,284 764 7043 (28) × 10 ⁻²⁴  J⋅T ⁻¹ . ^[1]

Momento dipolar magnético orbital

La revolución de un electrón alrededor de un eje que pasa por otro objeto, como el núcleo, da lugar al momento dipolar magnético orbital. Supongamos que el momento angular del movimiento orbital es L. Entonces el momento dipolar magnético orbital es

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.}$$

Aquí g _L es el factor g del orbital del electrón y μ _B es el magnetón de Bohr . El valor de g _L es exactamente igual a uno, según un argumento mecánico-cuántico análogo a la derivación de la relación giromagnética clásica .

Momento dipolar magnético total

El momento dipolar magnético total resultante de los momentos angulares orbitales y de espín de un electrón está relacionado con el momento angular total J mediante una ecuación similar:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.}$$

El factor g g _J se conoce como factor g de Landé , que puede relacionarse con g _L y g _S mediante la mecánica cuántica. Consulte el factor g de Landé para obtener más detalles.

Ejemplo: átomo de hidrógeno

Para un átomo de hidrógeno , un electrón que ocupa el orbital atómico Ψ _n,ℓ,m  , el momento dipolar magnético viene dado por

$${\displaystyle \mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.}$$

Aquí L es el momento angular orbital , n , ℓ y m son los números cuánticos principal , azimutal y magnético , respectivamente. La componente z del momento dipolar magnético orbital para un electrón con un número cuántico magnético m _ℓ viene dada por

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.}$$

Historia

El momento magnético del electrón está intrínsecamente conectado al espín del electrón y se planteó por primera vez la hipótesis durante los primeros modelos del átomo a principios del siglo XX. El primero en introducir la idea del espín del electrón fue Arthur Compton en su artículo de 1921 sobre investigaciones de sustancias ferromagnéticas con rayos X. ^{[5] : 145-155  [6]} En el artículo de Compton, escribió: "Quizás la visión más natural, y ciertamente la más generalmente aceptada, de la naturaleza del imán elemental, es que la revolución de los electrones en órbitas dentro del átomo da al átomo en su conjunto las propiedades de un pequeño imán permanente". ^{[5] : 146}

Ese mismo año, Otto Stern propuso un experimento llevado a cabo más tarde llamado Experimento de Stern-Gerlach en el que los átomos de plata en un campo magnético se desviaban en direcciones de distribución opuestas. Este período anterior a 1925 marcó la antigua teoría cuántica construida sobre el modelo del átomo de Bohr-Sommerfeld con sus órbitas electrónicas elípticas clásicas. Durante el período comprendido entre 1916 y 1925, se lograron muchos avances en relación con la disposición de los electrones en la tabla periódica . Para explicar el efecto Zeeman en el átomo de Bohr, Sommerfeld propuso que los electrones se basarían en tres "números cuánticos", n, k y m, que describían el tamaño de la órbita, la forma de la órbita y la dirección. hacia el que apuntaba la órbita. ^[7] Irving Langmuir había explicado en su artículo de 1919 sobre los electrones en sus capas: "Rydberg ha señalado que estos números se obtienen de la serie . El factor dos sugiere una simetría doble fundamental para todos los átomos estables". ^[8] Esta configuración fue adoptada por Edmund Stoner , en octubre de 1924 en su artículo 'La distribución de electrones entre niveles atómicos' publicado en la Revista Filosófica. Wolfgang Pauli planteó la hipótesis de que esto requería un cuarto número cuántico con dos valores. ^[9] ${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$ ${\displaystyle 2n^{2}}$

El giro del electrón en las teorías de Pauli y Dirac.

A partir de aquí la carga del electrón es e < 0  . La necesidad de introducir un espín semiintegral se remonta experimentalmente a los resultados del experimento de Stern-Gerlach . Un haz de átomos pasa a través de un fuerte campo magnético no uniforme, que luego se divide en N partes dependiendo del momento angular intrínseco de los átomos. Se descubrió que para los átomos de plata , el haz se dividía en dos; por lo tanto, el estado fundamental no podía ser integral, porque incluso si el momento angular intrínseco de los átomos fuera lo más pequeño posible, 1, el haz se dividiría en 3 partes. , correspondiente a átomos con L _z = −1, 0 y +1. La conclusión es que los átomos de plata tienen un momento angular intrínseco neto de 1 ⁄ 2 . Pauli estableció una teoría que explicaba esta división introduciendo una función de onda de dos componentes y un término de corrección correspondiente en el hamiltoniano , que representa un acoplamiento semiclásico de esta función de onda a un campo magnético aplicado, así:

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}+e\phi .}$$

Aquí A es el potencial del vector magnético y ϕ el potencial eléctrico , ambos representan el campo electromagnético , y σ = ( σ _x , σ _y , σ _z ) son las matrices de Pauli . Al elevar el primer término al cuadrado, se encuentra una interacción residual con el campo magnético, junto con el hamiltoniano clásico habitual de una partícula cargada que interactúa con un campo aplicado:

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Este hamiltoniano es ahora una matriz de 2 × 2, por lo que la ecuación de Schrödinger basada en ella debe utilizar una función de onda de dos componentes. Pauli había introducido las matrices sigma de 2 × 2 como fenomenología pura ; Dirac ahora tenía un argumento teórico que implicaba que el espín era de alguna manera la consecuencia de incorporar la relatividad a la mecánica cuántica . Al introducir el 4 potencial electromagnético externo en la ecuación de Dirac de una manera similar, conocida como acoplamiento mínimo , toma la forma (en unidades naturales ħ = c = 1)

$${\displaystyle \left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0}$$

matrices gammamatrices de Diraciunidad imaginariaoperador de Diracirelación giromagnética ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}}$$

Suponiendo que el campo es débil y el movimiento del electrón no relativista, tenemos la energía total del electrón aproximadamente igual a su energía en reposo y el impulso se reduce al valor clásico,

$${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$$

que es de orden v ⁄ c ; por lo tanto, a energías y velocidades típicas, los componentes inferiores del espinor de Dirac en la representación estándar están muy suprimidos en comparación con los componentes superiores. Al sustituir esta expresión en la primera ecuación se obtiene, después de algún reordenamiento

$${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$$

El operador de la izquierda representa la energía de la partícula reducida por su energía en reposo, que es solo la energía clásica, por lo que recuperamos la teoría de Pauli si identificamos su 2-espinor con los componentes superiores del espinor de Dirac en la aproximación no relativista. Una mayor aproximación da la ecuación de Schrödinger como límite de la teoría de Pauli. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger puede verse como la aproximación no relativista de la ecuación de Dirac cuando se puede ignorar el espín y trabajar sólo a bajas energías y velocidades. Esto también fue un gran triunfo para la nueva ecuación, ya que rastreaba la misteriosa i que aparece en ella y la necesidad de una función de onda compleja hasta la geometría del espacio-tiempo a través del álgebra de Dirac. También resalta por qué la ecuación de Schrödinger, aunque superficialmente tiene la forma de una ecuación de difusión, en realidad representa la propagación de ondas.

Se debe enfatizar fuertemente que esta separación del espinor de Dirac en componentes grandes y pequeños depende explícitamente de una aproximación de baja energía. Todo el espinor de Dirac representa un todo irreductible , y los componentes que acabamos de ignorar para llegar a la teoría de Pauli traerán nuevos fenómenos al régimen relativista: la antimateria y la idea de creación y aniquilación de partículas.

En un caso general (si una determinada función lineal del campo electromagnético no desaparece de manera idéntica), tres de los cuatro componentes de la función de espinor en la ecuación de Dirac pueden eliminarse algebraicamente, produciendo una ecuación diferencial parcial de cuarto orden equivalente para solo un componente. . Además, este componente restante se puede hacer real mediante una transformación de calibre. ^[10]

Medición

La existencia del momento magnético anómalo del electrón ha sido detectada experimentalmente mediante el método de resonancia magnética . ^[2] Esto permite la determinación de la división hiperfina de los niveles de energía de la capa de electrones en átomos de protio y deuterio utilizando la frecuencia de resonancia medida para varias transiciones. ^{[11] [12]}

El momento magnético del electrón se ha medido utilizando un ciclotrón cuántico de un electrón y espectroscopía cuántica de no demolición . La frecuencia de espín del electrón está determinada por el factor g .

$${\displaystyle \nu _{s}={\frac {g}{2}}\nu _{c}}$$

$${\displaystyle {\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\nu }}_{c}}}}$$

Ver también

• Girar (física)
• Precipitación de electrones
• magnetón de bohr
• Momento magnético nuclear
• Momento magnético del nucleón
• Momento dipolar magnético anómalo
• Momento dipolar eléctrico del electrón.
• Estructura fina
• Estructura hiperfina

Referencias

1. "Valor CODATA 2018: momento magnético del electrón". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 10 de septiembre de 2022 .
2. Fan, X.; Myers, TG; Sukra, BAD; Gabrielse, G. (13 de febrero de 2023). "Medición del momento magnético del electrón". Cartas de revisión física . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . doi :10.1103/PhysRevLett.130.071801.
3. Mahajan, A.; Rangwala, A. (1989). Electricidad y magnetismo. pag. 419.ISBN _ 9780074602256.
4. "Valor CODATA 2018: factor g de electrones". La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 13 de marzo de 2020 .
5. Compton, Arthur H. (agosto de 1921). "El electrón magnético". Revista del Instituto Franklin . 192 (2). doi :10.1016/S0016-0032(21)90917-7.
6. Charles P. Enz, Las aplicaciones de la mecánica cuántica de Heisenberg (1926-33) o el asentamiento de la nueva tierra*), Department de Physique Théorique Université de Genève, 1211 Genève 4, Suiza (10. I. 1983)
7. Manjit Kumar, Quantum: Einstein, Bohr y el gran debate sobre la naturaleza de la realidad, 2008.
8. Langmuir, Irving (1919). "La disposición de los electrones en átomos y moléculas". Revista del Instituto Franklin . 187 (3): 359–362. doi :10.1016/S0016-0032(19)91097-0.
9. Wolfgang Pauli. Principio de exclusión y mecánica cuántica. Disponible en línea a través de ⟨http://nobelprize.org⟩ ^{[ enlace muerto permanente ]} . Conferencia Nobel pronunciada el 13 de diciembre de 1946 para el Premio Nobel de Física de 1945.
10. Akhmeteli, Andrey (2011). "Una función real en lugar de la función de espinor de Dirac". Revista de Física Matemática . 52 (8): 082303. arXiv : 1008.4828 . Código Bib : 2011JMP....52h2303A. doi : 10.1063/1.3624336. S2CID  119331138. Archivado desde el original el 18 de julio de 2012 . Consultado el 26 de abril de 2012 .
11. Foley, HM; Kusch, Polykarp (15 de febrero de 1948). "Momento intrínseco del electrón". Revisión física . 73 (4): 412. doi : 10.1103/PhysRev.73.412. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2021 . Consultado el 2 de abril de 2015 .
12. Kusch, Polikarpo ; Foley, HM (1 de agosto de 1948). "El momento magnético del electrón". Revisión física . 74 (3): 207–11. Código bibliográfico : 1948PhRv...74..250K. doi : 10.1103/PhysRev.74.250. PMID  17820251. Archivado desde el original el 22 de abril de 2021 . Consultado el 2 de abril de 2015 .

Bibliografía

• Serguéi Vonsovsky (1975). Magnetismo de partículas elementales. Editorial Mir.
• Sin-Itiro Tomonaga (1997). La historia del giro . Prensa de la Universidad de Chicago.