Factor G de Landé

Factor G para electrones con espín y momento angular orbital

En física , el factor g de Landé es un ejemplo particular de un factor g , es decir, para un electrón con momentos angulares tanto de espín como orbitales . Recibe su nombre en honor a Alfred Landé , quien lo describió por primera vez en 1921. ^[1]

En física atómica , el factor g de Landé es un término multiplicativo que aparece en la expresión de los niveles de energía de un átomo en un campo magnético débil . Los estados cuánticos de los electrones en orbitales atómicos normalmente están degenerados en energía , y todos estos estados degenerados comparten el mismo momento angular. Sin embargo, cuando el átomo se coloca en un campo magnético débil, la degeneración desaparece.

Descripción

El factor surge durante el cálculo de la perturbación de primer orden en la energía de un átomo cuando se aplica al sistema un campo magnético uniforme débil (es decir, débil en comparación con el campo magnético interno del sistema). Formalmente podemos escribir el factor como ^[2]

${\displaystyle g_{J}=g_{L}{\frac {J(J+1)-S(S+1)+L(L+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

El orbital es igual a 1, y bajo la aproximación , la expresión anterior se simplifica a ${\displaystyle g_{L}}$ ${\displaystyle g_{S}=2}$

${\displaystyle g_{J}(g_{L}=1,g_{S}=2)=1+{\frac {J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}}.}$

Aquí, J es el momento angular electrónico total , L es el momento angular orbital y S es el momento angular de espín . Porque para los electrones, a menudo se ve esta fórmula escrita con 3/4 en lugar de . Las cantidades g _L y g _S son otros factores g de un electrón. Para un átomo, y para un átomo, . ${\displaystyle S=1/2}$ ${\displaystyle S(S+1)}$ ${\displaystyle S=0}$ ${\displaystyle g_{J}=1}$ ${\displaystyle L=0}$ ${\displaystyle g_{J}=2}$

Si deseamos conocer el factor g para un átomo con momento angular atómico total (núcleo + electrones), tal que el número cuántico del momento angular atómico total pueda tomar valores de , dando ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}}$ ${\displaystyle F=J+I,J+I-1,\dots ,|J-I|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{F}&=g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}+g_{I}{\frac {\mu _{\text{N}}}{\mu _{\text{B}}}}{\frac {F(F+1)+I(I+1)-J(J+1)}{2F(F+1)}}\\&\approx g_{J}{\frac {F(F+1)-I(I+1)+J(J+1)}{2F(F+1)}}\end{aligned}}}$

Aquí está el magnetón de Bohr y es el magnetón nuclear . Esta última aproximación se justifica porque es menor que la relación entre la masa del electrón y la masa del protón. ${\displaystyle \mu _{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{N}}}$ ${\displaystyle \mu _{N}}$ ${\displaystyle \mu _{B}}$

Una derivación

El siguiente funcionamiento es una derivación común. ^{[3] [4]}

Tanto el momento angular orbital como el momento angular de espín del electrón contribuyen al momento magnético. En particular, cada uno de ellos por sí solo contribuye al momento magnético de la siguiente forma:

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{L}=-{\vec {L}}g_{L}\mu _{\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{S}=-{\vec {S}}g_{S}\mu _{\rm {B}}/\hbar }$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}={\vec {\mu }}_{L}+{\vec {\mu }}_{S}}$

dónde

${\displaystyle g_{L}=1}$

${\displaystyle g_{S}\approx 2}$

Nótese que los signos negativos en las expresiones anteriores se deben a que un electrón lleva carga negativa, y el valor de se puede derivar naturalmente de la ecuación de Dirac . El momento magnético total , como operador vectorial, no se encuentra en la dirección del momento angular total , porque los factores g para la parte orbital y de espín son diferentes. Sin embargo, debido al teorema de Wigner-Eckart , su valor esperado se encuentra efectivamente en la dirección de que se puede emplear en la determinación del factor g de acuerdo con las reglas de acoplamiento del momento angular . En particular, el factor g se define como una consecuencia del propio teorema . ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{J}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle }$

Por lo tanto,

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle }$

${\displaystyle \sum _{J'_{z}}\langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-\sum _{J'_{z}}g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}|J,J'_{z}\rangle \cdot \langle J,J'_{z}|{\vec {J}}|J,J_{z}\rangle }$

${\displaystyle \langle J,J_{z}|{\vec {\mu }}_{J}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle =-g_{J}\mu _{\rm {B}}\quad \hbar ^{2}J(J+1)}$

Uno se pone

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{J}\langle J,J_{z}|{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}|J,J_{z}\rangle &=\langle J,J_{z}|g_{L}{{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}+g_{S}{{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}|J,J_{z}\rangle \\&=\langle J,J_{z}|g_{L}{({\vec {L}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}+g_{S}{({\vec {S}}^{2}+{\frac {1}{2}}({\vec {J}}^{2}-{\vec {L}}^{2}-{\vec {S}}^{2}))}|J,J_{z}\rangle \\&={\frac {g_{L}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)+L(L+1)-S(S+1))+{\frac {g_{S}\hbar ^{2}}{2}}(J(J+1)-L(L+1)+S(S+1))\\g_{J}&=g_{L}{\frac {J(J+1)+L(L+1)-S(S+1)}{2J(J+1)}}+g_{S}{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}\end{aligned}}}$

Véase también

• Efecto Einstein-de Haas
• Efecto Zeeman

Referencias

1. Landé, Alfred (1921). "Über den anomalen Zeemaneffekt". Zeitschrift für Physik . 5 (4): 231. Código bibliográfico : 1921ZPhy....5..231L. doi :10.1007/BF01335014.
2. Nave, CR (25 de enero de 1999). «Magnetic Interactions and the Lande' g-Factor». HyperPhysics . Universidad Estatal de Georgia . Consultado el 14 de octubre de 2014 .
3. Ashcroft, Neil W.; Mermin, N. David (1976). Física del estado sólido. Saunders College. ISBN 9780030493461.
4. Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009). Física atómica y nuclear moderna (edición revisada). World Scientific. pág. 132. ISBN 9789814277167.