Teorema de Wigner-Eckart

Teorema utilizado en mecánica cuántica para cálculos del momento angular

El teorema de Wigner-Eckart es un teorema de la teoría de la representación y la mecánica cuántica . Afirma que los elementos matriciales de los operadores tensoriales esféricos en base a los estados propios del momento angular se pueden expresar como el producto de dos factores, uno de los cuales es independiente de la orientación del momento angular y el otro es un coeficiente de Clebsch-Gordan . El nombre deriva de los físicos Eugene Wigner y Carl Eckart , quienes desarrollaron el formalismo como vínculo entre los grupos de transformación de simetría del espacio (aplicados a las ecuaciones de Schrödinger) y las leyes de conservación de la energía, del momento y del momento angular. ^[1]

Matemáticamente, el teorema de Wigner-Eckart generalmente se expresa de la siguiente manera. Dado un operador tensor y dos estados de momentos angulares y , existe una constante tal que para todos , y , se satisface la siguiente ecuación: ${\displaystyle T^{(k)}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j'}$ ${\displaystyle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle ,}$

dónde

• ${\displaystyle T_{q}^{(k)}}$es el q -ésimo componente del operador tensor esférico de rango k , ^[2] ${\displaystyle T^{(k)}}$
• ${\displaystyle |jm\rangle }$denota un estado propio del momento angular total J ² y su componente z J _z ,
• ${\displaystyle \langle j'm'kq|jm\rangle }$es el coeficiente de Clebsch-Gordan para acoplar j ′ con k para obtener j ,
• ${\displaystyle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }$denota ^[3] algún valor que no depende de m , m ′ ni de q y se denomina elemento de matriz reducido .

De hecho, el teorema de Wigner-Eckart establece que operar con un operador tensor esférico de rango k en un estado propio de momento angular es como agregar un estado con momento angular k al estado. El elemento matricial que se encuentra para el operador tensor esférico es proporcional a un coeficiente de Clebsch-Gordan, que surge al considerar la suma de dos momentos angulares. Dicho de otra manera, se puede decir que el teorema de Wigner-Eckart es un teorema que indica cómo se comportan los operadores vectoriales en un subespacio. Dentro de un subespacio dado, una componente de un operador vectorial se comportará de manera proporcional a la misma componente del operador de momento angular. Esta definición se da en el libro Quantum Mechanics de Cohen-Tannoudji, Diu y Laloe.

Antecedentes y descripción general

Ejemplo motivador: elementos de la matriz del operador de posición para la transición 4d → 2p

Digamos que queremos calcular los momentos dipolares de transición para una transición electrónica de un orbital 4d a un orbital 2p de un átomo de hidrógeno, es decir, los elementos de la matriz de la forma , donde r _i es el componente x , y o z del operador de posición. , y m ₁ , m ₂ son los números cuánticos magnéticos que distinguen diferentes orbitales dentro de la subcapa 2p o 4d . Si hacemos esto directamente, implica calcular 45 integrales diferentes: hay 3 posibilidades para m ₁ (−1, 0, 1), 5 posibilidades para m ₂ (−2, −1, 0, 1, 2) y 3 posibilidades para i , por lo que el total es 3 × 5 × 3 = 45. ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }$

El teorema de Wigner-Eckart permite obtener la misma información después de evaluar solo una de esas 45 integrales ( se puede utilizar cualquiera de ellas, siempre que sea distinta de cero). Luego, las otras 44 integrales se pueden inferir a partir de la primera, sin necesidad de escribir funciones de onda ni evaluar integrales, con la ayuda de los coeficientes de Clebsch-Gordan , que se pueden buscar fácilmente en una tabla o calcular a mano o por computadora. .

Resumen cualitativo de la prueba

El teorema de Wigner-Eckart funciona porque los 45 cálculos diferentes están relacionados entre sí mediante rotaciones. Si un electrón está en uno de los orbitales 2p, la rotación del sistema generalmente lo moverá a un orbital 2p diferente (normalmente terminará en una superposición cuántica de los tres estados básicos, m  = +1, 0, −1). De manera similar, si un electrón está en uno de los orbitales 4d, al girar el sistema lo moverá a un orbital 4d diferente. Finalmente, una afirmación análoga es válida para el operador de posición: cuando se gira el sistema, los tres componentes diferentes del operador de posición se intercambian o mezclan efectivamente.

Si comenzamos conociendo solo uno de los 45 valores (digamos, sabemos que ) y luego rotamos el sistema, podemos inferir que K también es el elemento de matriz entre la versión rotada de , la versión rotada de y la versión rotada. de . Esto da una relación algebraica que involucra K y algunos o todos los 44 elementos desconocidos de la matriz. Diferentes rotaciones del sistema conducen a diferentes relaciones algebraicas, y resulta que hay suficiente información para descifrar todos los elementos de la matriz de esta manera. ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle =K}$ ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle |4d,m_{2}\rangle }$

(En la práctica, cuando trabajamos con estos cálculos, generalmente aplicamos operadores de momento angular a los estados, en lugar de rotar los estados. Pero esto es fundamentalmente lo mismo, debido a la estrecha relación matemática entre las rotaciones y los operadores de momento angular ).

En términos de teoría de la representación.

Para formular estas observaciones con mayor precisión y probarlas, resulta útil invocar las matemáticas de la teoría de la representación . Por ejemplo, el conjunto de todos los orbitales 4d posibles (es decir, los 5 estados m  = −2, −1, 0, 1, 2 y sus superposiciones cuánticas ) forman un espacio vectorial abstracto de 5 dimensiones . La rotación del sistema transforma estos estados entre sí, por lo que este es un ejemplo de una "representación de grupo", en este caso, la representación irreducible de 5 dimensiones ("irrep") del grupo de rotación SU(2) o SO(3). , también llamada "representación spin-2". De manera similar, los estados cuánticos 2p forman un irrep tridimensional (llamado "spin-1"), y los componentes del operador de posición también forman el irrep tridimensional "spin-1".

Consideremos ahora los elementos de la matriz . Resulta que estos se transforman mediante rotaciones de acuerdo con el producto tensorial de esas tres representaciones, es decir, la representación de espín-1 de los orbitales 2p, la representación de espín-1 de los componentes de r y la representación de espín-2 de los orbitales 4d. orbitales. Este producto directo, una representación de 45 dimensiones de SU(2), no es una representación irreducible , sino que es la suma directa de una representación de espín-4, dos representaciones de espín-3, tres representaciones de espín-2, dos representaciones de espín-1 representaciones y una representación spin-0 (es decir, trivial). Los elementos de la matriz distintos de cero solo pueden provenir del subespacio spin-0. El teorema de Wigner-Eckart funciona porque la descomposición directa del producto contiene uno y sólo un subespacio de espín-0, lo que implica que todos los elementos de la matriz están determinados por un único factor de escala. ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }$

Aparte del factor de escala general, calcular el elemento de la matriz equivale a calcular la proyección del vector abstracto correspondiente (en un espacio de 45 dimensiones) en el subespacio spin-0. Los resultados de este cálculo son los coeficientes de Clebsch-Gordan . El aspecto cualitativo clave de la descomposición de Clebsch-Gordan que hace que el argumento funcione es que en la descomposición del producto tensorial de dos representaciones irreducibles, cada representación irreducible ocurre sólo una vez. Esto permite utilizar el lema de Schur . ^[4] ${\displaystyle \langle 2p,m_{1}|r_{i}|4d,m_{2}\rangle }$

Prueba

Comenzando con la definición de operador tensor esférico , tenemos

${\displaystyle [J_{\pm },T_{q}^{(k)}]=\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}T_{q\pm 1}^{(k)},}$

que usamos para luego calcular

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle =\hbar {\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}}$

Si ampliamos el conmutador en el LHS calculando la acción del J _± en el sujetador y el ket, entonces obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j\,m|[J_{\pm },T_{q}^{(k)}]|j'\,m'\rangle ={}&\hbar {\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\,\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle \\&-\hbar {\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle .\end{aligned}}}$

Podemos combinar estos dos resultados para obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {(j\pm m)(j\mp m+1)}}\langle j\,(m\mp 1)|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle =&{\sqrt {(j'\mp m')(j'\pm m'+1)}}\,\langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,(m'\pm 1)\rangle \\&+{\sqrt {(k\mp q)(k\pm q+1)}}\,\langle j\,m|T_{q\pm 1}^{(k)}|j'\,m'\rangle .\end{aligned}}}$

Esta relación de recursividad para los elementos de la matriz se parece mucho a la del coeficiente de Clebsch-Gordan . De hecho, ambos tienen la forma Σ _c a _{b , c} x _c = 0 . Por tanto tenemos dos conjuntos de ecuaciones lineales homogéneas:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{c}a_{b,c}x_{c}&=0,&\sum _{c}a_{b,c}y_{c}&=0.\end{aligned}}}$

uno para los coeficientes de Clebsch-Gordan ( x _c ) y otro para los elementos de la matriz ( y _c ). No es posible resolver exactamente x _c ​​. Sólo podemos decir que las razones son iguales, es decir

${\displaystyle {\frac {x_{c}}{x_{d}}}={\frac {y_{c}}{y_{d}}}}$

o que x _c ​​∝ y _c , donde el coeficiente de proporcionalidad es independiente de los índices. Por lo tanto, al comparar las relaciones de recursividad, podemos identificar el coeficiente de Clebsch-Gordan ⟨ j ₁ m ₁ j ₂ ( m ₂ ± 1)| jm ⟩ con el elemento de matriz ⟨ j ′ m ′| T ^{( k )} _{q ±1} | j m ⟩ , entonces podemos escribir

${\displaystyle \langle j'\,m'|T_{q\pm 1}^{(k)}|j\,m\rangle \propto \langle j\,m\,k\,(q\pm 1)|j'\,m'\rangle .}$

Convenciones alternativas

Existen diferentes convenciones para los elementos de la matriz reducida. Una convención, utilizada por Racah ^[5] y Wigner, ^[6] incluye una fase adicional y un factor de normalización,

${\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {(-1)^{2k}\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }}{\sqrt {2j+1}}}=(-1)^{j-m}{\begin{pmatrix}j&k&j'\\-m&q&m'\end{pmatrix}}\langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }.}$

donde la matriz de 2 × 3 denota el símbolo 3-j . (Dado que en la práctica k suele ser un número entero, el factor (−1) ^{2 k} a veces se omite en la literatura). Con esta elección de normalización, el elemento de la matriz reducida satisface la relación:

${\displaystyle \langle j\|T^{\dagger (k)}\|j'\rangle _{\mathrm {R} }=(-1)^{k+j'-j}\langle j'\|T^{(k)}\|j\rangle _{\mathrm {R} }^{*},}$

donde el adjunto hermitiano se define con la convención k − q . Aunque esta relación no se ve afectada por la presencia o ausencia del factor de fase (−1) ^{2 k} en la definición del elemento de matriz reducida, sí se ve afectada por la convención de fase para el adjunto hermitiano.

Otra convención para elementos matriciales reducidos es la de la Mecánica Cuántica Moderna de Sakurai :

${\displaystyle \langle j\,m|T_{q}^{(k)}|j'\,m'\rangle ={\frac {\langle j'\,m'\,k\,q|j\,m\rangle \langle j\|T^{(k)}\|j'\rangle }{\sqrt {2j'+1}}}.}$

Ejemplo

Considere el valor esperado de la posición ⟨ njm | x | njm ⟩ . Este elemento de la matriz es el valor esperado de un operador cartesiano en una base esféricamente simétrica del estado propio del átomo de hidrógeno , lo cual no es un problema trivial. Sin embargo, el teorema de Wigner-Eckart simplifica el problema. (De hecho, podríamos obtener la solución rápidamente usando la paridad , aunque se tomará una ruta un poco más larga).

Sabemos que x es un componente de r , que es un vector. Dado que los vectores son operadores tensoriales esféricos de rango 1, se deduce que x debe ser alguna combinación lineal de un tensor esférico de rango 1 T ⁽¹⁾ _q con q ∈ {−1, 0, 1 }. De hecho, se puede demostrar que

${\displaystyle x={\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}},}$

donde definimos los tensores esféricos como ^[7]

${\displaystyle T_{q}^{(1)}={\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}rY_{1}^{q}}$

y Y _l ^m son armónicos esféricos , que a su vez son también tensores esféricos de rango l . Además, T ⁽¹⁾ ₀ = z , y

${\displaystyle T_{\pm 1}^{(1)}=\mp {\frac {x\pm iy}{\sqrt {2}}}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n\,j\,m|x|n'\,j'\,m'\rangle &=\left\langle n\,j\,m\left|{\frac {T_{-1}^{(1)}-T_{1}^{(1)}}{\sqrt {2}}}\right|n'\,j'\,m'\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle n\,j\|T^{(1)}\|n'\,j'\rangle \,{\big (}\langle j'\,m'\,1\,(-1)|j\,m\rangle -\langle j'\,m'\,1\,1|j\,m\rangle {\big )}.\end{aligned}}}$

La expresión anterior nos da el elemento matricial para x en | njm ⟩ base. Para encontrar el valor esperado, establecemos n ′ = n , j ′ = j y m ′ = m . La regla de selección para m ′ y m es m ± 1 = m ′ para los tensores esféricos T ⁽¹⁾ _±1 . Como tenemos m ′ = m , esto hace que los coeficientes de Clebsch-Gordan sean cero, lo que lleva a que el valor esperado sea igual a cero.

Ver también

• Operador tensorial
• Factor g de Landé

Referencias

1. Biografía de Eckart - The National Academies Press.
2. El superíndice entre paréntesis ( k ) proporciona un recordatorio de su rango. Sin embargo, a diferencia de q , no es necesario que sea un índice real.
3. Ésta es una notación especial específica del teorema de Wigner-Eckart.
4. Salón 2015 Apéndice C.
5. Racah, G. (1942). "Teoría de los espectros complejos II". Revisión física . 62 (9–10): 438–462. Código bibliográfico : 1942PhRv...62..438R. doi : 10.1103/PhysRev.62.438.
6. Wigner, EP (1951). "Sobre las matrices que reducen los productos Kronecker de representaciones de grupos SR". En Wightman, Arthur S. (ed.). Las obras completas de Eugene Paul Wigner . vol. 3. pág. 614. doi :10.1007/978-3-662-02781-3_42. ISBN 978-3-642-08154-5.
7. JJ Sakurai: "Mecánica cuántica moderna" (Massachusetts, 1994, Addison-Wesley).

General

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666

enlaces externos

• JJ Sakurai, (1994). "Mecánica cuántica moderna", Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2 . 
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Wigner-Eckart". MundoMatemático .
• Teorema de Wigner-Eckart
• Operadores tensoriales