Teorema de Kramers

Teorema de la mecánica cuántica

En mecánica cuántica , el teorema de degeneración de Kramers establece que para cada estado propio de energía de un sistema simétrico de inversión del tiempo con espín total semientero , hay otro estado propio con la misma energía relacionado por inversión del tiempo. En otras palabras, la degeneración de cada nivel de energía es un número par si tiene espín semientero. El teorema lleva el nombre del físico holandés HA Kramers .

En física teórica, la simetría de inversión del tiempo es la simetría de las leyes físicas bajo una transformación de inversión del tiempo:

${\displaystyle T:t\mapsto -t.}$

Si el operador hamiltoniano conmuta con el operador de inversión de tiempo, es decir

${\displaystyle [H,T]=0,}$

entonces, para cada estado propio de energía , el estado invertido en el tiempo también es un estado propio con la misma energía. Estos dos estados a veces se denominan par de Kramers . ^[1] En general, este estado invertido en el tiempo puede ser idéntico al original, pero eso no es posible en un sistema de espín semientero: dado que la inversión del tiempo invierte todos los momentos angulares, invertir un espín semientero no puede producir el mismo estado (el número cuántico magnético nunca es cero). ${\displaystyle |n\rangle }$ ${\displaystyle T|n\rangle }$

Declaración matemática y prueba.

En mecánica cuántica, la operación de inversión del tiempo está representada por un operador antiunitario que actúa sobre un espacio de Hilbert . Si sucede eso , entonces tenemos el siguiente teorema simple: ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$

Si es un operador antiunitario que actúa sobre un espacio de Hilbert que satisface y un vector en , entonces es ortogonal a . ${\textstyle T:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle Tv}$ ${\textstyle v}$

Prueba

Según la definición de operador antiunitario, , donde y son vectores en . Reemplazando y usando eso , obtenemos lo que implica eso . ${\textstyle \langle Tu,Tw\rangle =\langle w,u\rangle }$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle {\mathcal {H}}}$ ${\textstyle u=Tv}$ ${\textstyle w=v}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\textstyle -\langle v,Tv\rangle =\langle T^{2}v,Tv\rangle =\langle v,Tv\rangle ,}$ ${\textstyle \langle v,Tv\rangle =0}$

En consecuencia, si un hamiltoniano es simétrico por inversión de tiempo, es decir, conmuta con , entonces todos sus espacios propios de energía tienen degeneración uniforme, ya que la aplicación a un estado propio de energía arbitrario da otro estado propio de energía que es ortogonal al primero. La propiedad de ortogonalidad es crucial, ya que significa que los dos estados propios representan estados físicos diferentes. Si por el contrario estuvieran en el mismo estado físico, entonces para un ángulo , lo que implicaría ${\textstyle H}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle T}$ ${\textstyle |n\rangle }$ ${\textstyle T|n\rangle }$ ${\textstyle |n\rangle }$ ${\textstyle T|n\rangle }$ ${\displaystyle T|n\rangle =e^{i\alpha }|n\rangle }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle T^{2}|n\rangle =T(e^{i\alpha }|n\rangle )=e^{-i\alpha }e^{i\alpha }|n\rangle =+\,|n\rangle }$

Para completar el teorema de degeneración de Kramers, solo necesitamos demostrar que el operador de inversión de tiempo que actúa sobre un espacio de Hilbert de espín semientero impar satisface . Esto se desprende del hecho de que el operador de giro representa un tipo de momento angular y, como tal, debe invertir la dirección según : ${\textstyle T}$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\textstyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathbf {S} \to T^{-1}\mathbf {S} T=-\mathbf {S} .}$

Concretamente, un operador que tiene esta propiedad suele escribirse como ${\textstyle T}$

${\displaystyle T=e^{-i\pi S_{y}}K}$

donde es el operador de espín en la dirección y es el mapa de conjugación complejo en la base de espín. ^[2] ${\textstyle S_{y}}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle K}$ ${\textstyle S_{z}}$

Dado que tiene componentes matriciales reales en la base, entonces ${\textstyle iS_{y}}$ ${\displaystyle S_{z}}$

${\displaystyle T^{2}=e^{-i\pi S_{y}}Ke^{-i\pi S_{y}}K=e^{-i2\pi S_{y}}K^{2}=(-1)^{2S}.}$

Por lo tanto, para giros de número entero impar , tenemos . Este es el mismo signo menos que aparece cuando uno hace una rotación completa en sistemas con espines medio enteros impares , como los fermiones . ${\textstyle S={\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},\ldots }$ ${\textstyle T^{2}=-1}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Consecuencias

Los niveles de energía de un sistema con un número total impar de fermiones (como electrones , protones y neutrones ) permanecen al menos doblemente degenerados en presencia de campos puramente eléctricos (es decir, sin campos magnéticos externos ). Fue descubierto por primera vez en 1930 por HA Kramers ^[3] como consecuencia de la ecuación de Breit . Como lo demostró Eugene Wigner en 1932, ^[4] es una consecuencia de la invariancia de inversión temporal de los campos eléctricos , y se deriva de una aplicación del operador T antiunitario a la función de onda de un número impar de fermiones. El teorema es válido para cualquier configuración de campos eléctricos estáticos o variables en el tiempo.

Por ejemplo, el átomo de hidrógeno (H) contiene un protón y un electrón, por lo que no se aplica el teorema de Kramers. De hecho, el nivel de energía más bajo (hiperfino) de H no es degenerado, aunque un sistema genérico podría tener degeneración por otras razones. Por otro lado, el isótopo de deuterio (D) contiene un neutrón adicional, de modo que el número total de fermiones es tres, y el teorema sí se aplica. El estado fundamental de D contiene dos componentes hiperfinos, que están doble y cuádruple degenerados.

Ver también

• Degeneración
• simetría T

Referencias

1. Zhang, ventilador; Kane, CL; Mele, EJ (2 de agosto de 2013). "Superconductividad topológica invariante en inversión de tiempo y pares de Majorana Kramers". Cartas de revisión física . 111 (5): 056402. arXiv : 1212.4232 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.111e6402Z. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.056402. PMID  23952423. S2CID  31559089.
2. Tasaki, Hal (2020). "2.3: inversión del tiempo y degeneración de Kramers". Física y matemáticas de sistemas cuánticos de muchos cuerpos. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-41265-4. OCLC  1154567924.
3. Kramers, HA (1930). "Teoría general de la rotación paramagnétique dans les cristaux" (PDF) . Actas de la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos (en francés). 33 (6–10): 959–972.
4. E. Wigner, Über die Operation der Zeitumkehr in der Quantenmechanik, Nachr. Akád. Ges. Wiss. Gotinga 31, 546–559 (1932) http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=GDZPPN002509032