Ecuación de Breit

Ecuación de onda relativista derivada por Gregory Breit en 1929

La ecuación de Breit , o ecuación de Dirac–Coulomb–Breit , es una ecuación de onda relativista derivada por Gregory Breit en 1929 basada en la ecuación de Dirac , que describe formalmente dos o más partículas masivas de espín -1/2 ( electrones , por ejemplo) que interactúan electromagnéticamente hasta el primer orden en la teoría de perturbaciones . Explica las interacciones magnéticas y los efectos de retardo hasta el orden de 1/ c ² . Cuando otros efectos electrodinámicos cuánticos son insignificantes, se ha demostrado que esta ecuación da resultados que concuerdan bien con los experimentos. Originalmente se derivó del lagrangiano de Darwin , pero luego fue reivindicada por la teoría del absorbedor de Wheeler–Feynman y, finalmente, por la electrodinámica cuántica .

Introducción

La ecuación de Breit no es sólo una aproximación en términos de mecánica cuántica , sino también en términos de teoría de la relatividad, ya que no es completamente invariante con respecto a la transformación de Lorentz . Al igual que la ecuación de Dirac , trata a los núcleos como fuentes puntuales de un campo externo para las partículas que describe. Para N partículas, la ecuación de Breit tiene la forma ( r _ij es la distancia entre las partículas i y j ):

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(\sum _{i}{\hat {H}}_{\rm {D}}(i)+\sum _{i>j}{\frac {1}{r_{ij}}}+\sum _{i>j}{\hat {B}}_{ij}\right)\Psi }$

donde es el hamiltoniano de Dirac (ver ecuación de Dirac ) para la partícula i en la posición y es el potencial escalar en esa posición; q _i es la carga de la partícula, por lo tanto para los electrones q _i = − e . Los hamiltonianos de Dirac de un electrón de las partículas, junto con sus interacciones instantáneas de Coulomb 1/ r _ij , forman el operador de Dirac-Coulomb . A esto, Breit agregó el operador (ahora conocido como el operador de Breit (independiente de la frecuencia) ): donde las matrices de Dirac para el electrón i : α ( i ) = [ α _x ( i ), α _y ( i ), α _z ( i )] . Los dos términos en el operador de Breit dan cuenta de los efectos de retardo de primer orden. La función de onda Ψ en la ecuación de Breit es un espinor con 4 ^N elementos, ya que cada electrón está descrito por un bispinor de Dirac con 4 elementos como en la ecuación de Dirac , y la función de onda total es el producto tensorial de estos. $${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{D}}(i)=\left[q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})+c\sum _{s=x,y,z}\alpha _{s}(i)\pi _{s}(I)+\alpha _{0}(I)m_{0}c^{2}\right]}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$ $${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}=-{\frac {1}{2r_{ij}}}\left[{\vec {\alpha }}(i)\cdot {\vec {\alpha }}(j)+{\frac {\left({\vec {\alpha }}(i)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)\left({\vec {\alpha }}(j)\cdot \mathbf {r} _{ij}\right)}{r_{ij}^{2}}}\right],}$$

Hamiltonianos de Breit

El hamiltoniano total de la ecuación de Breit, a veces llamado hamiltoniano de Dirac–Coulomb–Breit ( H _DCB ) se puede descomponer en los siguientes operadores de energía prácticos para electrones en campos eléctricos y magnéticos (también llamados hamiltoniano de Breit–Pauli ), ^[1] que tienen significados bien definidos en la interacción de moléculas con campos magnéticos (por ejemplo para resonancia magnética nuclear ): en el que los operadores parciales consecutivos son: $${\displaystyle {\hat {B}}_{ij}={\hat {H}}_{0}+{\hat {H}}_{1}+\dots +{\hat {H}}_{6},}$$

• ${\displaystyle {\hat {H}}_{0}=\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{2}}{2m_{i}}}+V}$es el hamiltoniano no relativista ( es la masa estacionaria de la partícula i ). ${\displaystyle m_{i}}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{1}=-{\frac {1}{8c^{2}}}\sum _{i}{\frac {{\hat {p}}_{i}^{4}}{m_{i}^{3}}}}$está relacionado con la dependencia de la masa con la velocidad: . ${\displaystyle E_{\rm {kin}}^{2}-\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}=m^{2}v^{2}c^{2}}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{2}=-\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{2r_{ij}m_{i}m_{j}c^{2}}}\left[\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{j}+{\frac {(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{i})(\mathbf {r_{ij}} \cdot \mathbf {\hat {p}} _{j})}{r_{ij}^{2}}}\right]}$es una corrección que explica en parte el retardo y puede describirse como la interacción entre los momentos dipolares magnéticos de las partículas, que surgen del movimiento orbital de las cargas (también llamado interacción órbita-órbita ).
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{3}={\frac {\mu _{\rm {B}}}{c}}\sum _{i}{\frac {1}{m_{i}}}\mathbf {s} _{i}\cdot \left[\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\times \mathbf {\hat {p}} _{i}+\sum _{j>i}{\frac {2q_{i}}{r_{ij}^{3}}}\mathbf {r} _{ij}\times \mathbf {\hat {p}} _{j}\right]}$es la interacción clásica entre los momentos magnéticos orbitales (del movimiento orbital de la carga) y los momentos magnéticos de espín (también llamada interacción espín-órbita ). El primer término describe la interacción del espín de una partícula con su propio momento orbital ( F ( r _i ) es el campo eléctrico en la posición de la partícula), y el segundo término entre dos partículas diferentes.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{4}={\frac {ih}{8\pi c^{2}}}\sum _{i}{\frac {q_{i}}{m_{i}^{2}}}\mathbf {\hat {p}} _{i}\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})}$es un término no clásico característico de la teoría de Dirac, a veces llamado término de Darwin .
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{5}=4\mu _{\rm {B}}^{2}\sum _{i>j}\left\lbrace -{\frac {8\pi }{3}}(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j})\delta (\mathbf {r} _{ij})+{\frac {1}{r_{ij}^{3}}}\left[\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-{\frac {3(\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {r} _{ij})(\mathbf {s} _{j}\cdot \mathbf {r} _{ij})}{r_{ij}^{2}}}\right]\right\rbrace }$es la interacción espín-espín del momento magnético . El primer término se denomina interacción de contacto , porque es distinta de cero solo cuando las partículas están en la misma posición; el segundo término es la interacción del tipo clásico dipolo-dipolo.
• ${\displaystyle {\hat {H}}_{6}=2\mu _{\rm {B}}\sum _{i}\left[\mathbf {H} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {s} _{i}+{\frac {q_{i}}{m_{i}c}}\mathbf {A} (\mathbf {r} _{i})\cdot \mathbf {\hat {p}} _{i}\right]}$es la interacción entre los momentos magnéticos de espín y orbital con un campo magnético externo H.

donde: y es el magnetón de Bohr . ${\textstyle V=\sum _{i>j}{\frac {q_{i}q_{j}}{r_{ij}}}}$ ${\textstyle \mu _{\rm {B}}={\frac {e\hbar }{2mc}}}$

Véase también

• Ecuación de Bethe-Salpeter
• Lagrangiano de Darwin
• Ecuaciones de Dirac de dos cuerpos
• Positronio
• Teoría de absorción de Wheeler-Feynman

Referencias

1. Bethe, HA; Salpeter, EE (1977). Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones . Nueva York: Plenum Press. pág. 181.

• G. Breit (1932). "Ecuación de Dirac y las interacciones espín-espín de dos electrones". Phys. Rev . 39 (4): 616–624. Bibcode :1932PhRv...39..616B. doi :10.1103/PhysRev.39.616.
• JL Friar, JW Negele (1973). "Análisis de la ecuación de Breit de las correcciones de retroceso a los niveles de energía de los átomos muónicos". Physics Letters B . 46 (1): 5–7. Bibcode :1973PhLB...46....5F. doi :10.1016/0370-2693(73)90459-0.
• J. Mourad, H. Sazdjian (1995). "Cómo obtener una ecuación de tipo Breit covariante a partir de la teoría de restricciones relativista". Journal of Physics G: Física nuclear y de partículas . 46 (3): 267–279. arXiv : hep-ph/9412261 . Código Bibliográfico :1995JPhG...21..267M. doi :10.1088/0954-3899/21/3/004. S2CID  17983477.

Enlaces externos

• Forma tensorial de la ecuación de Breit, Instituto de Física Teórica, Universidad de Varsovia.
• Solución no perturbativa de la ecuación de Breit para parapositronio, Instituto de Física Teórica, Universidad de Varsovia.