Operadores de creación y aniquilación.

Operadores útiles en mecánica cuántica.

Los operadores de creación y de aniquilación son operadores matemáticos que tienen aplicaciones generalizadas en la mecánica cuántica , en particular en el estudio de osciladores armónicos cuánticos y sistemas de muchas partículas. ^[1] Un operador de aniquilación (normalmente denominado ) reduce en uno el número de partículas en un estado determinado. Un operador de creación (normalmente denominado ) aumenta en uno el número de partículas en un estado determinado y es el adjunto del operador de aniquilación. En muchos subcampos de la física y la química , el uso de estos operadores en lugar de funciones de onda se conoce como segunda cuantificación . Fueron presentados por Paul Dirac . ^[2] ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

Los operadores de creación y aniquilación pueden actuar sobre estados de varios tipos de partículas. Por ejemplo, en la química cuántica y la teoría de muchos cuerpos, los operadores de creación y aniquilación suelen actuar sobre los estados de los electrones . También pueden referirse específicamente a los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico . En el último caso, el operador ascendente se interpreta como un operador de creación, que agrega un cuanto de energía al sistema oscilador (de manera similar para el operador descendente). Se pueden utilizar para representar fonones . Construir hamiltonianos utilizando estos operadores tiene la ventaja de que la teoría satisface automáticamente el teorema de descomposición de conglomerados . ^[3]

Las matemáticas para los operadores de creación y aniquilación de bosones son las mismas que para los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico . ^[4] Por ejemplo, el conmutador de los operadores de creación y aniquilación que están asociados con el mismo estado de bosón es igual a uno, mientras que todos los demás conmutadores desaparecen. Sin embargo, para los fermiones las matemáticas son diferentes e implican anticonmutadores en lugar de conmutadores. ^[5]

Operadores de escalera para el oscilador armónico cuántico

En el contexto del oscilador armónico cuántico , se reinterpretan los operadores de escalera como operadores de creación y aniquilación, sumando o restando cuantos fijos de energía al sistema oscilador.

Los operadores de creación/aniquilación son diferentes para bosones (espín entero) y fermiones (espín medio entero). Esto se debe a que sus funciones de onda tienen diferentes propiedades de simetría .

Consideremos primero el caso bosónico más simple de los fotones del oscilador armónico cuántico. Comience con la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico cuántico unidimensional independiente del tiempo ,

$${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

Haz una sustitución de coordenadas para adimensionalizar la ecuación diferencial.

$${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

La ecuación de Schrödinger para el oscilador se convierte en

$${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Tenga en cuenta que la cantidad es la misma energía que la encontrada para los cuantos de luz y que el paréntesis en el hamiltoniano se puede escribir como ${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$

$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}.}$$

Los dos últimos términos se pueden simplificar considerando su efecto sobre una función diferenciable arbitraria. ${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dq}}q-q{\frac {d}{dq}}=1,}$$

${\displaystyle -i[q,p]=1}$ ${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$

Por lo tanto,

$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$

$${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

Si uno define

$${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$

"operador de creación""operador de elevación"

$${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ \ \ \!{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$

"operador de aniquilación""operador de descenso"

$${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

Dejando , ¿dónde está el operador de momento adimensionalizado que se tiene? ${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

Tenga en cuenta que esto implica

$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

Los operadores y pueden contrastarse con los operadores normales , que viajan con sus adjuntos. ^{[nota 1]} ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

Utilizando las relaciones de conmutación dadas anteriormente, el operador hamiltoniano se puede expresar como

$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

Se pueden calcular las relaciones de conmutación entre los operadores y y el hamiltoniano: ^[6] ${\displaystyle a\,}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

Estas relaciones se pueden utilizar para encontrar fácilmente todos los estados propios de energía del oscilador armónico cuántico de la siguiente manera.

Suponiendo que sea un estado propio del hamiltoniano . Utilizando estas relaciones de conmutación, se deduce que ^[6] ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

Esto muestra que y también son estados propios del hamiltoniano, con valores propios y respectivamente. Esto identifica a los operadores y como operadores de "baja" y "aumento" entre estados propios adyacentes. La diferencia de energía entre estados propios adyacentes es . ${\displaystyle a\psi _{n}}$ ${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$ ${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$

El estado fundamental se puede encontrar suponiendo que el operador de descenso posee un núcleo no trivial: con . Aplicando el hamiltoniano al estado fundamental, ${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$ ${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$

${\displaystyle \psi _{0}}$

Esto da la energía del estado fundamental , lo que permite identificar el valor propio de energía de cualquier estado propio como ^[6] ${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

$${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

Además, resulta que el primer operador mencionado en (*), el operador numérico, juega el papel más importante en las aplicaciones, mientras que el segundo puede simplemente ser reemplazado por . ${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$ ${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle N+1}$

Como consecuencia,

$${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

El operador de evolución temporal es entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

Funciones propias explícitas

El estado fundamental del oscilador armónico cuántico se puede encontrar imponiendo la condición de que ${\displaystyle \ \psi _{0}(q)}$

$${\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}$$

Escrita como una ecuación diferencial, la función de onda satisface

$${\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}$$

$${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}$$

Se encuentra que la constante de normalización C es de , utilizando la integral gaussiana . Ahora se pueden encontrar fórmulas explícitas para todas las funciones propias aplicando repetidamente to . ^[7] ${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

Representación matricial

La expresión matricial de los operadores de creación y aniquilación del oscilador armónico cuántico con respecto a la base ortonormal anterior es

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Estos se pueden obtener a través de las relaciones y . Los vectores propios son los del oscilador armónico cuántico y, a veces, se les denomina "base numérica". ${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle \psi _{i}}$

Operadores generalizados de creación y aniquilación.

Gracias a la teoría de la representación y las álgebras C*, los operadores derivados anteriormente son en realidad un ejemplo específico de una noción más generalizada de operadores de creación y aniquilación en el contexto de las álgebras CCR y CAR . Matemáticamente y aún más en general, los operadores de escalera pueden entenderse en el contexto de un sistema raíz de un grupo de Lie semisimple y el álgebra de Lie semisimple asociada sin la necesidad de realizar la representación como operadores en un espacio de Hilbert funcional . ^[8]

En el caso de representación del espacio de Hilbert, los operadores se construyen de la siguiente manera: Sea un espacio de Hilbert de una partícula (es decir, cualquier espacio de Hilbert, visto como representativo del estado de una sola partícula). El álgebra CCR ( bosónica ) over es el operador de álgebra con conjugación (llamado * ) generado de manera abstracta por elementos , donde varía libremente , sujeto a las relaciones ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle f\,}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}$$

notación de soporte

Se requiere que el mapa desde el álgebra bosónica CCR sea antilineal complejo (esto agrega más relaciones). Su adjunto es , y el mapa es lineal complejo en H . Por lo tanto, se integra como un subespacio vectorial complejo de su propia álgebra CCR. En una representación de este álgebra, el elemento se realizará como operador de aniquilación y como operador de creación. ${\displaystyle a:f\to a(f)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$

En general, el álgebra CCR es de dimensión infinita. Si completamos un espacio de Banach, se convierte en un álgebra C* . El álgebra CCR está estrechamente relacionada, pero no es idéntica, a un álgebra de Weyl . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle H}$

Para fermiones, el álgebra CAR (fermiónica) se construye de manera similar, pero utilizando relaciones anticonmutador , a saber ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}$$

El álgebra CAR es de dimensión finita sólo si es de dimensión finita. Si tomamos una finalización del espacio de Banach (sólo necesaria en el caso de dimensión infinita), se convierte en un álgebra. El álgebra CAR está estrechamente relacionada, pero no es idéntica, al álgebra de Clifford . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle C^{*}}$

Físicamente hablando, elimina (es decir, aniquila) una partícula en el estado mientras que crea una partícula en el estado . ${\displaystyle a(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$

El estado de vacío de campo libre es el estado sin partículas, caracterizado por ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$

$${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$$

Si se normaliza de modo que , entonces da el número de partículas en el estado . ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$ ${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$ ${\displaystyle |f\rangle }$

Operadores de creación y aniquilación para ecuaciones de reacción-difusión.

La descripción del operador de aniquilación y creación también ha sido útil para analizar ecuaciones de reacción de difusión clásicas, como la situación cuando un gas de moléculas se difunde e interactúa al contacto, formando un producto inerte: . Para ver cómo este tipo de reacción puede ser descrita por el formalismo del operador de creación y aniquilación, consideremos partículas en un sitio i en una red unidimensional. Cada partícula se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda con una cierta probabilidad, y cada par de partículas en el mismo sitio se aniquilan entre sí con una cierta otra probabilidad. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A+A\to \emptyset }$ ${\displaystyle n_{i}}$

La probabilidad de que una partícula abandone el sitio durante el corto período de tiempo dt es proporcional a , digamos, la probabilidad de saltar hacia la izquierda y hacia la derecha. Todas las partículas permanecerán quietas con una probabilidad . (Dado que dt es tan corto, la probabilidad de que dos o más se vayan durante dt es muy pequeña y se ignorará). ${\displaystyle n_{i}\,dt}$ ${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$ ${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$

Ahora podemos describir la ocupación de partículas en la red como un 'ket' de la forma . Representa la yuxtaposición (o conjunción, o producto tensorial) de los estados numéricos , ubicados en los sitios individuales de la red. Recordar que ${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$ ${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{0}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$

$${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$

n ≥ 0

$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Esta definición de operadores ahora se cambiará para adaptarse a la naturaleza "no cuántica" de este problema y usaremos la siguiente definición: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

tenga en cuenta que aunque el comportamiento de los operadores en los kets ha sido modificado, estos operadores aún obedecen a la relación de conmutación

$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

Ahora defina para que se aplique a . En consecuencia, defina como aplicable a . Así, por ejemplo, el efecto neto de es mover una partícula del -ésimo al i -ésimo sitio mientras se multiplica con el factor apropiado. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle a^{\dagger }}$ ${\displaystyle |n_{i}\rangle }$ ${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle (i-1)}$

Esto permite escribir el comportamiento de difusión puro de las partículas como

$${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

El término de reacción se puede deducir observando que las partículas pueden interactuar de diferentes maneras, de modo que la probabilidad de que un par se aniquile es , lo que da un término ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)}$ ${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$

$${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

donde el estado numérico n se reemplaza por el estado numérico n − 2 en el sitio a una cierta velocidad. ${\displaystyle i}$

Así, el Estado evoluciona

$${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

Se pueden incluir otros tipos de interacciones de manera similar.

Este tipo de notación permite el uso de técnicas de teoría cuántica de campos en el análisis de sistemas de reacción y difusión. ^[10]

Operadores de creación y aniquilación en teorías cuánticas de campos.

En las teorías cuánticas de campos y los problemas de muchos cuerpos se trabaja con operadores de creación y aniquilación de estados cuánticos, y . Estos operadores cambian los valores propios del operador numérico , ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$ ${\displaystyle a_{i}^{\,}}$

$${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$

números cuánticostuplaátomo de hidrógeno ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$

Las relaciones de conmutación de los operadores de creación y aniquilación en un sistema de bosones múltiples son,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$

conmutadordelta de Kronecker ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Para los fermiones , el conmutador se reemplaza por el anticonmutador , ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle i\neq j}$

Si los estados etiquetados por i son una base ortonormal de un espacio de Hilbert H , entonces el resultado de esta construcción coincide con la construcción del álgebra CCR y del álgebra CAR en la penúltima sección anterior. Si representan "vectores propios" correspondientes al espectro continuo de algún operador, como ocurre con las partículas no unidas en QFT, entonces la interpretación es más sutil.

Normalización

Mientras que Zee ^[11] obtiene la normalización del espacio de momento mediante la convención simétrica para las transformadas de Fourier, Tong ^[12] y Peskin & Schroeder ^[13] utilizan la convención asimétrica común para obtener . Cada uno deriva . ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

Srednicki además fusiona la medida invariante de Lorentz en su medida asimétrica de Fourier, produciendo . ^[14] ${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$ ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$

Ver también

• espacio de mierda
• Espacio Segal-Bargmann
• Espacio de fase óptica
• Transformación de Bogoliubov-Valatin
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Transformación Jordan-Wigner
• Transformación Jordania-Schwinger
• Transformación de Klein
• Relaciones de conmutación canónicas

Notas

1. Un operador normal tiene una representación A = B + i C , donde B , C son autoadjuntos y conmutan , es decir . Por el contrario, a tiene la representación donde son autojuntos pero . Entonces B y C tienen un conjunto común de funciones propias (y son simultáneamente diagonalizables), mientras que p y q no lo tienen ni lo son. ${\displaystyle BC=CB}$ ${\displaystyle a=q+ip}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle [p,q]=1}$

Referencias

1. Feynman 1998, pag. 151
2. Dirac, PAMD (1927). "La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación", Proc Roy Soc London Ser A , 114 (767), 243-265.
3. Weinberg, Steven (1995). "4". La teoría cuántica de campos Volumen 1 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 169.ISBN _ 9780521670531.
4. Feynman 1998, pag. 167
5. Feynman 1998, págs. 174-5
6. Branson, Jim. "Física Cuántica en UCSD" . Consultado el 16 de mayo de 2012 .
7. Esto, y más formalismo de operadores, se pueden encontrar en Glimm y Jaffe, Quantum Physics , págs.
8. Harris, Fulton, Teoría de la representaciónpágs.164
9. Pruessner, Gunnar. "Análisis de procesos de reacción-difusión mediante métodos teóricos de campo" (PDF) . Consultado el 31 de mayo de 2021 .
10. Báez, Juan Carlos (2011). Teoría de redes (serie de publicaciones de blog; primera publicación). Posteriormente adaptado a Báez, John Carlos; Biamonte, Jacob D. (abril de 2018). Técnicas cuánticas en mecánica estocástica . doi :10.1142/10623.
11. Zee, A. (2003). La teoría cuántica de campos en pocas palabras . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 63.ISBN _ 978-0691010199.
12. Pinzas, David (2007). Teoría cuántica de campos. pag. 24,31 . Consultado el 3 de diciembre de 2019 .
13. Peskin, M .; Schroeder, D. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Prensa de Westview. ISBN 978-0-201-50397-5.
14. Srednicki, Mark (2007). Teoría cuántica de campos. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.39, 41. ISBN 978-0521-8644-97. Consultado el 3 de diciembre de 2019 .

• Feynman, Richard P. (1998) [1972]. Mecánica estadística: una serie de conferencias (2ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-36076-9.
• Albert Messiah , 1966. Mecánica cuántica (Vol. I), traducción al inglés del francés por GM Temmer. Holanda del Norte, John Wiley & Sons. Cap. XII. en línea