Operador (matemáticas)

Función que actúa sobre espacios funcionales.

En matemáticas , un operador es generalmente un mapeo o función que actúa sobre elementos de un espacio para producir elementos de otro espacio (posiblemente y en ocasiones requerido que sea el mismo espacio). No existe una definición general de operador , pero el término se utiliza a menudo en lugar de función cuando el dominio es un conjunto de funciones u otros objetos estructurados. Además, el dominio de un operador suele ser difícil de caracterizar explícitamente (por ejemplo, en el caso de un operador integral ), y puede ampliarse para actuar sobre objetos relacionados (un operador que actúa sobre funciones puede actuar también sobre ecuaciones diferenciales cuyos las soluciones son funciones que satisfacen la ecuación). Consulte Operador (física) para ver otros ejemplos.

Los operadores más básicos son aplicaciones lineales , que actúan sobre espacios vectoriales . Los operadores lineales se refieren a mapas lineales cuyo dominio y rango son el mismo espacio, por ejemplo de a ^{[1] [2] [a].} Estos operadores a menudo conservan propiedades, como la continuidad . Por ejemplo, la diferenciación y la integración indefinida son operadores lineales; Los operadores que se construyen a partir de ellos se denominan operadores diferenciales , operadores integrales u operadores integrodiferenciales. ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

Operador también se utiliza para indicar el símbolo de una operación matemática . Esto está relacionado con el significado de “operador” en programación informática ; ver Operador (programación informática) .

Operadores lineales

El tipo más común de operadores encontrados son los operadores lineales . Sean U y V espacios vectoriales sobre  algún campo K. Un mapeo es lineal si ${\displaystyle \ \operatorname {A} :U\to V\ }$

$${\displaystyle \ \operatorname {A} \left(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} \right)=\alpha \operatorname {A} \mathbf {x} +\beta \operatorname {A} \mathbf {y} \ }$$

xyUα , βK. morfismosmatricesKespaciosK. UV. la convención de Einstein ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ \operatorname {A} :U\to V\ }$

$${\displaystyle \ \operatorname {A} \mathbf {x} =x^{i}\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}=x^{i}\left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\mathbf {v} _{j}~.}$$

nmbiyectiva ${\displaystyle \ a_{i}^{j}\equiv \left(\operatorname {A} \mathbf {u} _{i}\right)^{j}\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{i}^{j}\in K\ ,}$ ${\displaystyle \operatorname {A} }$ ${\displaystyle \ \{\mathbf {u} _{i}\}_{i=1}^{n}~.}$ ${\displaystyle \ a_{i}^{j}\ }$ ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \;\operatorname {A} \mathbf {x} =\mathbf {y} \;}$ ${\displaystyle \ a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}~.}$ ${\displaystyle \ U\ }$ ${\displaystyle \ V~.}$

Los conceptos importantes directamente relacionados con los operadores entre espacios vectoriales de dimensión finita son los de rango , determinante , operador inverso y espacio propio .

Los operadores lineales también juegan un papel importante en el caso de dimensión infinita. Los conceptos de rango y determinante no pueden extenderse a matrices de dimensión infinita. Esta es la razón por la que se emplean técnicas muy diferentes al estudiar operadores lineales (y operadores en general) en el caso de dimensión infinita. El estudio de operadores lineales en el caso de dimensión infinita se conoce como análisis funcional (llamado así porque varias clases de funciones forman ejemplos interesantes de espacios vectoriales de dimensión infinita).

El espacio de secuencias de números reales, o más generalmente secuencias de vectores en cualquier espacio vectorial, forman en sí mismos un espacio vectorial de dimensión infinita. Los casos más importantes son las sucesiones de números reales o complejos, y estos espacios, junto con los subespacios lineales, se conocen como espacios sucesivos . Los operadores en estos espacios se conocen como transformaciones de secuencia .

Los operadores lineales acotados sobre un espacio de Banach forman un álgebra de Banach con respecto a la norma del operador estándar. La teoría de las álgebras de Banach desarrolla un concepto muy general de espectros que generaliza elegantemente la teoría de los espacios propios.

Operadores acotados

Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo campo ordenado (por ejemplo, ) y están equipados con normas . Entonces un operador lineal de U a V se llama acotado si existe c > 0 tal que ${\displaystyle \ \mathbb {R} \ }$

$${\displaystyle \ \|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\ }$$

xUUV

$${\displaystyle \ \|\operatorname {A} \|=\inf\{\ c:\|\operatorname {A} \mathbf {x} \|_{V}\leq c\ \|\mathbf {x} \|_{U}\}~.}$$

U

${\textstyle \ \|\operatorname {A} \operatorname {B} \|\leq \|\operatorname {A} \|\cdot \|\operatorname {B} \|~.}$ ^[b]

Cualquier álgebra unital normada con esta propiedad se llama álgebra de Banach . Es posible generalizar la teoría espectral a tales álgebras. Las álgebras C* , que son álgebras de Banach con alguna estructura adicional, desempeñan un papel importante en la mecánica cuántica .

Ejemplos

Análisis (cálculo)

Desde el punto de vista del análisis funcional , el cálculo es el estudio de dos operadores lineales: el operador diferencial y el operador de Volterra. ${\displaystyle {\frac {\ \mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}}$ ${\displaystyle \ \int _{0}^{t}~.}$

Operadores de análisis fundamental en campos escalares y vectoriales.

Tres operadores son clave para el cálculo vectorial :

• Grad ( gradiente ), (con símbolo de operador ) asigna un vector a cada punto de un campo escalar que apunta en la dirección de mayor tasa de cambio de ese campo y cuya norma mide el valor absoluto de esa mayor tasa de cambio. ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\nabla }}\ }$
• Div ( divergencia ), (con símbolo de operador ) es un operador vectorial que mide la divergencia o convergencia de un campo vectorial desde o hacia un punto determinado. ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\nabla \cdot }}\ }$
• Curl , (con símbolo de operador ) es un operador vectorial que mide la tendencia de curvatura (girando, girando) de un campo vectorial alrededor de un punto determinado. ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\nabla \!\times }}\ }$

Como una extensión de los operadores de cálculo vectorial a la física, la ingeniería y los espacios tensoriales, los operadores grad, div y curl también suelen asociarse con el cálculo tensorial y con el cálculo vectorial. ^[3]

Geometría

En geometría , a veces se estudian estructuras adicionales en espacios vectoriales . Los operadores que asignan biyectivamente dichos espacios vectoriales a sí mismos son muy útiles en estos estudios, ya que naturalmente forman grupos por composición.

Por ejemplo, los operadores biyectivos que conservan la estructura de un espacio vectorial son precisamente los operadores lineales invertibles . Forman el grupo lineal general bajo composición. Sin embargo, no forman un espacio vectorial bajo la suma de operadores; ya que, por ejemplo, tanto la identidad como la −identidad son invertibles (biyectivas), pero su suma, 0, no lo es.

Los operadores que preservan la métrica euclidiana en dicho espacio forman el grupo de isometría , y aquellos que fijan el origen forman un subgrupo conocido como grupo ortogonal . Los operadores del grupo ortogonal que también conservan la orientación de las tuplas vectoriales forman el grupo ortogonal especial , o el grupo de rotaciones.

Teoría de probabilidad

Los operadores también participan en la teoría de la probabilidad, como expectativa , varianza y covarianza , que se utilizan para nombrar tanto las estadísticas numéricas como los operadores que las producen. De hecho, cada covarianza es básicamente un producto escalar : cada varianza es un producto escalar de un vector consigo mismo y, por tanto, es una norma cuadrática ; toda desviación estándar es una norma (raíz cuadrada de la norma cuadrática); el coseno correspondiente a este producto escalar es el coeficiente de correlación de Pearson ; El valor esperado es básicamente un operador integral (utilizado para medir formas ponderadas en el espacio).

Serie de Fourier y transformada de Fourier

La transformada de Fourier es útil en matemáticas aplicadas, particularmente en física y procesamiento de señales. Es otro operador integral; Es útil principalmente porque convierte una función en un dominio (temporal) en una función en otro dominio (frecuencia), de una manera efectivamente invertible . No se pierde información, ya que existe un operador de transformación inversa. En el caso simple de las funciones periódicas , este resultado se basa en el teorema de que cualquier función periódica continua se puede representar como la suma de una serie de ondas senoidales y coseno:

$${\displaystyle \ f(t)={\frac {\ a_{0}\ }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\ a_{n}\cos(\omega \ n\ t)+b_{n}\sin(\omega \ n\ t)\ }$$

( a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ , ... )ℓ 2

Cuando se trata de una función general, la transformación adquiere una forma integral : ${\displaystyle \ \mathbb {R} \to \mathbb {C} \ ,}$

$${\displaystyle \ f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\ g(\omega )\ e^{i\ \omega \ t}\ \mathrm {d} \ \omega }~.}$$

transformada de Laplace

La transformada de Laplace es otro operador integral y participa en la simplificación del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales.

Dado f = f ( s ) , se define por:

$${\displaystyle \ F(s)=\operatorname {\mathcal {L}} \{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-s\ t}\ f(t)\ \mathrm {d} \ t~.}$$

Notas a pie de página

1. : (1) Una transformación lineal de V a V se denomina operador lineal en V. El conjunto de todos los operadores lineales en V se denota ℒ ( V )  . Un operador lineal en un espacio vectorial real se llama operador real y un operador lineal en un espacio vectorial complejo se llama operador complejo . ... También debemos mencionar que algunos autores utilizan el término operador lineal para cualquier transformación lineal de V a W. ...
   Definición: También se emplean los siguientes términos:

   (2) endomorfismo para operador lineal...

   (6) automorfismo para operador lineal biyectivo.

   — Romano (2008) ^[2]

2. En esta expresión, el punto elevado simplemente representa la multiplicación en cualquier campo escalar que se use  con V.

Ver también

• Función
• Álgebra de operadores
• Lista de operadores

Referencias

1. Rudin, Walter (1976). "Capítulo 9: Funciones de varias variables". Principios del análisis matemático (3ª ed.). McGraw-Hill. pag. 207.ISBN _ 0-07-054235-X. Las transformaciones lineales de X en X a  menudo se denominan operadores lineales en X.
2. Roman, Steven (2008). "Capítulo 2: Transformaciones lineales". Álgebra lineal avanzada (3ª ed.). Saltador. pag. 59.ISBN _ 978-0-387-72828-5.
3. Schey, HM (2005). Div, Grad, Curl y todo eso . Nueva York, Nueva York: WW Norton. ISBN 0-393-92516-1.