Linealidad

Propiedades de las relaciones matemáticas.

En matemáticas, el término lineal se utiliza en dos sentidos distintos para dos propiedades diferentes:

• linealidad de una función (o mapeo );
• linealidad de un polinomio .

Un ejemplo de función lineal es la función definida por que asigna la recta real a una recta en el plano euclidiano R ² que pasa por el origen. Un ejemplo de un polinomio lineal en las variables y es ${\displaystyle f(x)=(ax,bx)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle aX+bY+cZ+d.}$

La linealidad de un mapeo está estrechamente relacionada con la proporcionalidad . Los ejemplos en física incluyen la relación lineal entre voltaje y corriente en un conductor eléctrico ( ley de Ohm ) y la relación entre masa y peso . Por el contrario, las relaciones más complicadas, como entre velocidad y energía cinética , no son lineales .

Generalizada para funciones en más de una dimensión , la linealidad significa la propiedad de una función de ser compatible con la suma y el escalado , también conocido como principio de superposición .

La linealidad de un polinomio significa que su grado es menor que dos. El uso del término para polinomios surge del hecho de que la gráfica de un polinomio en una variable es una línea recta . En el término " ecuación lineal ", la palabra se refiere a la linealidad de los polinomios involucrados.

Debido a que una función como está definida por un polinomio lineal en su argumento, a veces también se la denomina "función lineal", y la relación entre el argumento y el valor de la función puede denominarse "relación lineal". Esto puede resultar confuso, pero normalmente el significado deseado quedará claro a partir del contexto. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

La palabra lineal proviene del latín linearis , "perteneciente o parecido a una línea".

En matemáticas

mapas lineales

En matemáticas, una aplicación lineal o función lineal f ( x ) es una función que satisface las dos propiedades: ^[1]

• Aditividad : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) .
• Homogeneidad de grado 1: f (α x ) = α f ( x ) para todo α.

Estas propiedades se conocen como principio de superposición . En esta definición, x no es necesariamente un número real , sino que en general puede ser un elemento de cualquier espacio vectorial . En matemáticas elementales se utiliza una definición más especial de función lineal , que no coincide con la definición de aplicación lineal (ver más abajo).

La aditividad por sí sola implica homogeneidad para α racional , ya que implica para cualquier número natural n por inducción matemática , y luego implica . La densidad de los números racionales en los reales implica que cualquier función continua aditiva es homogénea para cualquier número real α y, por tanto, es lineal. ${\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}$ ${\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}$

El concepto de linealidad se puede extender a los operadores lineales . Ejemplos importantes de operadores lineales incluyen la derivada considerada como operador diferencial , y otros operadores construidos a partir de ella, como del y el laplaciano . Cuando una ecuación diferencial se puede expresar en forma lineal, generalmente se puede resolver dividiendo la ecuación en partes más pequeñas, resolviendo cada una de esas partes y sumando las soluciones.

Polinomios lineales

En un uso diferente a la definición anterior, un polinomio de grado 1 se dice lineal, porque la gráfica de una función de esa forma es una línea recta. ^[2]

Sobre los reales, un ejemplo simple de ecuación lineal viene dado por:

${\displaystyle y=mx+b\ }$

donde m a menudo se llama pendiente o gradiente , y b la intersección con el eje y , que da el punto de intersección entre la gráfica de la función y el eje y .

Tenga en cuenta que este uso del término lineal no es el mismo que en la sección anterior, porque los polinomios lineales sobre números reales en general no satisfacen ni la aditividad ni la homogeneidad. De hecho, lo hacen si y sólo si el término constante – b en el ejemplo – es igual a 0. Si b ≠ 0 , la función se llama función afín (ver con mayor generalidad transformación afín ).

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa de los sistemas de ecuaciones lineales.

funciones booleanas

Diagrama de Hasse de una función booleana lineal

En álgebra booleana , una función lineal es una función para la cual existen tales que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}$

${\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}$, dónde ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}$

Tenga en cuenta que si , la función anterior se considera afín en álgebra lineal (es decir, no lineal). ${\displaystyle a_{0}=1}$

Una función booleana es lineal si se cumple una de las siguientes condiciones para la tabla de verdad de la función :

1. En cada fila en la que el valor de verdad de la función es T , hay un número impar de T asignados a los argumentos, y en cada fila en la que la función es F hay un número par de T asignados a los argumentos. Específicamente, f (F, F, ..., F) = F , y estas funciones corresponden a mapas lineales sobre el espacio vectorial booleano.
2. En cada fila en la que el valor de la función es T, hay un número par de T asignados a los argumentos de la función; y en cada fila en la que el valor de verdad de la función es F, hay un número impar de T asignados a argumentos. En este caso, f (F,F,...,F) = T.

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre marca una diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca hace una diferencia.

La negación , la lógica bicondicional , la exclusiva o , la tautología y la contradicción son funciones lineales.

Física

En física , la linealidad es una propiedad de las ecuaciones diferenciales que gobiernan muchos sistemas; por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell o la ecuación de difusión . ^[3]

La linealidad de una ecuación diferencial homogénea significa que si dos funciones f y g son soluciones de la ecuación, entonces cualquier combinación lineal af + bg también lo es.

En instrumentación, linealidad significa que un cambio dado en una variable de entrada produce el mismo cambio en la salida del aparato de medición: esto es muy deseable en el trabajo científico. En general, los instrumentos son casi lineales en un cierto rango y son más útiles dentro de ese rango. Por el contrario, los sentidos humanos son muy no lineales: por ejemplo, el cerebro ignora por completo la luz entrante a menos que supere un cierto umbral absoluto de fotones.

El movimiento lineal traza una trayectoria en línea recta.

Electrónica

En electrónica , la región de funcionamiento lineal de un dispositivo, por ejemplo un transistor , es donde una variable dependiente de salida (como la corriente del colector del transistor ) es directamente proporcional a una variable dependiente de entrada (como la corriente de base). Esto garantiza que una salida analógica sea una representación precisa de una entrada, normalmente con mayor amplitud (amplificada). Un ejemplo típico de equipo lineal es un amplificador de audio de alta fidelidad , que debe amplificar una señal sin cambiar su forma de onda. Otros son filtros lineales , y amplificadores lineales en general.

En la mayoría de las aplicaciones científicas y tecnológicas , a diferencia de las matemáticas, algo puede describirse como lineal si la característica es aproximadamente, pero no exactamente, una línea recta; y la linealidad puede ser válida sólo dentro de una determinada región operativa; por ejemplo, un amplificador de alta fidelidad puede distorsionar una señal pequeña, pero lo suficientemente pequeña como para ser aceptable (linealidad aceptable pero imperfecta); y puede distorsionarse mucho si la entrada excede un cierto valor. ^[4]

Linealidad integral

Para un dispositivo electrónico (u otro dispositivo físico) que convierte una cantidad en otra cantidad, Bertram S. Kolts escribe: ^{[5] [6]}

Hay tres definiciones básicas de linealidad integral de uso común: linealidad independiente, linealidad de base cero y linealidad terminal o de punto final. En cada caso, la linealidad define qué tan bien se aproxima a una línea recta el rendimiento real del dispositivo en un rango operativo específico. La linealidad generalmente se mide en términos de una desviación o no linealidad de una línea recta ideal y generalmente se expresa en términos de porcentaje de la escala completa o en ppm (partes por millón) de la escala completa. Normalmente, la línea recta se obtiene realizando un ajuste de mínimos cuadrados de los datos. Las tres definiciones varían en la manera en que se coloca la línea recta en relación con el rendimiento real del dispositivo. Además, estas tres definiciones ignoran cualquier error de ganancia o compensación que pueda estar presente en las características de rendimiento del dispositivo real.

Ver también

• Actuador lineal
• elemento lineal
• Pie lineal
• sistema lineal
• Programación lineal
• Ecuación diferencial lineal
• bilineal
• multilineal
• motor lineal
• Interpolación linear

Referencias

1. Edwards, Harold M. (1995). Álgebra lineal. Saltador. pag. 78.ISBN​ 9780817637316.
2. Stewart, James (2008). Cálculo: Trascendentales tempranos , 6ª ed., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8 , Sección 1.2 
3. Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales (PDF) , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 19 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , doi :10.1090/gsm/019, ISBN 978-0-8218-4974-3, MR  2597943, archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022
4. Whitaker, Jerry C. (2002). El manual de sistemas de transmisión de RF. Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-0973-1.
5. Kolts, Bertram S. (2005). "Comprensión de la linealidad y la monotonicidad" (PDF) . ZONA analógica. Archivado desde el original (PDF) el 4 de febrero de 2012 . Consultado el 24 de septiembre de 2014 .
6. Kolts, Bertram S. (2005). "Comprensión de la linealidad y la monotonicidad". Tecnología de medición electrónica extranjera . 24 (5): 30–31 . Consultado el 25 de septiembre de 2014 .

enlaces externos

• La definición del diccionario de linealidad en Wikcionario.