Transformación de secuencia

Un operador matemático que actúa sobre un espacio dado de secuencias.

En matemáticas , una transformación de secuencia es un operador que actúa sobre un espacio dado de secuencias (un espacio de secuencias ). Las transformaciones de secuencias incluyen aplicaciones lineales como la convolución discreta con otra secuencia y la suma de una secuencia y aplicaciones no lineales, de manera más general. Se utilizan comúnmente para la aceleración de series , es decir, para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia o serie que converge lentamente . Las transformaciones de secuencias también se utilizan comúnmente para calcular numéricamente el antilímite de una serie divergente y se utilizan junto con métodos de extrapolación .

Los ejemplos clásicos de transformaciones de secuencias incluyen la transformada binomial , la transformada de Möbius y la transformada de Stirling .

Definiciones

Para una secuencia dada

${\displaystyle (s_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,}$

y una transformación de secuencia la secuencia resultante de la transformación por es ${\displaystyle \mathbf {T} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ((s_{n}))=(s'_{n})_{n\in \mathbb {N} },}$

donde los elementos de la secuencia transformada se calculan usualmente a partir de un número finito de miembros de la secuencia original, por ejemplo

${\displaystyle s_{n}'=T_{n}(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k_{n}})}$

para algún número natural para cada uno y una función multivariada de variables para cada uno Véase, por ejemplo, la transformada binomial y el proceso delta-cuadrado de Aitken . En el caso más simple, los elementos de las secuencias, y , son números reales o complejos . De manera más general, pueden ser elementos de algún espacio vectorial o álgebra . ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle k_{n}+1}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle s_{n}}$ ${\displaystyle s'_{n}}$

Si las funciones multivariadas son lineales en cada uno de sus argumentos para cada valor de por ejemplo si ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle n,}$

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k_{n}}c_{n,m}s_{n+m}}$

Para algunas constantes y para cada una de ellas, la transformación de secuencia se denomina transformación de secuencia lineal . Las transformaciones de secuencia que no son lineales se denominan transformaciones de secuencia no lineales. ${\displaystyle k_{n}}$ ${\displaystyle c_{n,0},\dots ,c_{n,k_{n}}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

En el contexto de la aceleración en serie , cuando la secuencia original y la secuencia transformada comparten el mismo límite , se dice que la secuencia transformada tiene una tasa de convergencia más rápida que la secuencia original si ${\displaystyle (s_{n})}$ ${\displaystyle (s'_{n})}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty ,}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.}$

Si la secuencia original es divergente , la transformación de secuencia puede actuar como un método de extrapolación a un antilímite . ${\displaystyle \ell }$

Ejemplos

Los ejemplos más simples de transformaciones de secuencia incluyen el desplazamiento de todos los elementos por un número entero que no depende de si y 0 en caso contrario, y la multiplicación escalar de la secuencia por alguna constante que no depende de Ambos son ejemplos de transformaciones de secuencia lineal. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s'_{n}=s_{n+k}}$ ${\displaystyle n+k\geq 0}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle s'_{n}=cs_{n}.}$

Ejemplos menos triviales incluyen la convolución discreta de secuencias con otra secuencia de referencia. Un ejemplo particularmente básico es el operador de diferencia , que es una convolución con la secuencia y es un análogo discreto de la derivada ; técnicamente, el operador de desplazamiento y la multiplicación escalar también se pueden escribir como convoluciones discretas triviales. La transformada binomial y la transformada de Stirling son dos transformaciones lineales de un tipo más general. ${\displaystyle (-1,1,0,\ldots )}$

Un ejemplo de una transformación de secuencia no lineal es el proceso delta-cuadrado de Aitken , que se utiliza para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia de convergencia lenta. Una forma extendida de esto es la transformación de Shanks . La transformación de Möbius también es una transformación no lineal, solo posible para secuencias de números enteros .

Véase también

• Proceso delta-cuadrado de Aitken
• Extrapolación polinómica mínima
• Extrapolación de Richardson
• Aceleración en serie
• El método de Steffensen

Referencias

• Hugh J. Hamilton, "Teorema de Mertens y transformaciones de secuencias", AMS (1947)

Enlaces externos

• Transformaciones de sucesiones enteras, una subpágina de la Enciclopedia en línea de sucesiones enteras