Conmutador

Operación que mide la imposibilidad de conmutar de dos entidades

En matemáticas , el conmutador da una indicación de hasta qué punto una determinada operación binaria no logra ser conmutativa . Existen diferentes definiciones utilizadas en la teoría de grupos y la teoría de anillos .

teoría de grupos

El conmutador de dos elementos, g y h , de un grupo G , es el elemento

[ gramo , h ] = gramo ⁻¹ h ⁻¹ gh .

Este elemento es igual a la identidad del grupo si y sólo si g y h conmutan (de la definición gh = hg [ g , h ] , siendo [ g , h ] igual a la identidad si y sólo si gh = hg ).

El conjunto de todos los conmutadores de un grupo en general no está cerrado bajo la operación de grupo, pero el subgrupo de G generado por todos los conmutadores está cerrado y se llama grupo derivado o subgrupo del conmutador de G. Los conmutadores se utilizan para definir grupos nilpotentes y solubles y el grupo de cociente abeliano más grande .

La definición de conmutador anterior se utiliza a lo largo de este artículo, pero muchos otros teóricos de grupos definen el conmutador como

[ gramo , h ] = gei ⁻¹ h ⁻¹ . ^{[1] [2]}

Identidades (teoría de grupos)

Las identidades de conmutador son una herramienta importante en la teoría de grupos . ^[3] La expresión a ^x denota el conjugado de a por x , definido como x ⁻¹ ax .

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$y ${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$y ${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$y ${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

La identidad (5) también se conoce como identidad Hall-Witt , en honor a Philip Hall y Ernst Witt . Es un análogo en teoría de grupos de la identidad de Jacobi para el conmutador de teoría de anillos (ver la siguiente sección).

Nota: algunos teóricos de grupos utilizan la definición anterior del conjugado de a por x . ^[4] Muchos otros teóricos de grupos definen el conjugado de a por x como xax ⁻¹ . ^[5] Esto se escribe a menudo . Identidades similares se aplican a estas convenciones. ${\displaystyle {}^{x}a}$

Se utilizan muchas identidades que son verdaderas módulo de ciertos subgrupos. Estos pueden ser particularmente útiles en el estudio de grupos solubles y grupos nilpotentes . Por ejemplo, en cualquier grupo, las segundas potencias se comportan bien:

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

Si el subgrupo derivado es central, entonces

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

Teoría del anillo

Los anillos a menudo no soportan la división. Así, el conmutador de dos elementos a y b de un anillo (o cualquier álgebra asociativa ) se define de manera diferente por

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

El conmutador es cero si y sólo si a y b conmutan. En álgebra lineal , si dos endomorfismos de un espacio se representan mediante matrices conmutadoras en términos de una base, entonces se representan así en términos de cada base. Al utilizar el conmutador como corchete de Lie , cada álgebra asociativa se puede convertir en un álgebra de Lie .

El anticonmutador de dos elementos a y b de un anillo o álgebra asociativa se define por

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

A veces se usa para denotar anticonmutador, mientras que luego se usa para conmutador. ^[6] El anticonmutador se usa con menos frecuencia, pero puede usarse para definir las álgebras de Clifford y las álgebras de Jordan y en la derivación de la ecuación de Dirac en física de partículas . ${\displaystyle [a,b]_{+}}$ ${\displaystyle [a,b]_{-}}$

El conmutador de dos operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert es un concepto central en la mecánica cuántica , ya que cuantifica qué tan bien se pueden medir simultáneamente los dos observables descritos por estos operadores. El principio de incertidumbre es, en última instancia, un teorema sobre tales conmutadores, en virtud de la relación de Robertson-Schrödinger . ^[7] En el espacio de fases , los conmutadores equivalentes de funciones de productos en estrella se denominan corchetes de Moyal y son completamente isomórficos a las estructuras de conmutadores del espacio de Hilbert mencionadas.

Identidades (teoría de los anillos)

El conmutador tiene las siguientes propiedades:

Identidades de álgebra de mentiras

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

La relación (3) se llama anticonmutatividad , mientras que (4) es la identidad de Jacobi .

Identidades adicionales

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Si A es un elemento fijo de un anillo R , la identidad (1) puede interpretarse como una regla de Leibniz para el mapa dado por . En otras palabras, el mapa ad _A define una derivación en el anillo R. Las identidades (2), (3) representan reglas de Leibniz para más de dos factores y son válidas para cualquier derivación. Las identidades (4) a (6) también pueden interpretarse como reglas de Leibniz. Las identidades (7), (8) expresan Z - bilinealidad . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

De la identidad (9), se encuentra que el conmutador de potencias enteras de los elementos del anillo es:

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}}$

Algunas de las identidades anteriores se pueden extender al anticonmutador utilizando la notación de subíndice ± anterior. ^[8] Por ejemplo:

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

Identidades exponenciales

Considere un anillo o álgebra en el que la exponencial se pueda definir de manera significativa, como un álgebra de Banach o un anillo de series de potencias formales . ${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

En tal anillo, el lema de Hadamard aplicado a conmutadores anidados da: (Para la última expresión, consulte Derivación adjunta a continuación). Esta fórmula subyace a la expansión de Baker-Campbell-Hausdorff de log(exp( A ) exp( B )). ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

Una expansión similar expresa el grupo conmutador de expresiones (análogo a los elementos de un grupo de Lie ) en términos de una serie de conmutadores anidados (corchetes de Lie), ${\displaystyle e^{A}}$

$${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

Anillos graduados y álgebras

Cuando se trata de álgebras graduadas , el conmutador suele ser sustituido por el conmutador graduado , definido en componentes homogéneos como

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Derivación adjunta

Especialmente si se trata de múltiples conmutadores en un anillo R , resulta útil otra notación. Para un elemento , definimos el mapeo adjunto por: ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Este mapeo es una derivación en el anillo R :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

Por la identidad de Jacobi , también es una derivación de la operación de conmutación:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

Al componer tales asignaciones, obtenemos, por ejemplo , y ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$

$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$

Rdel álgebra de Lie ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ ${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

Por el contrario, no siempre es un homomorfismo de anillo: normalmente . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

Gobierno general de Leibniz

La regla general de Leibniz , que expande derivadas repetidas de un producto, se puede escribir de forma abstracta utilizando la representación adjunta:

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

Reemplazando por el operador de diferenciación y por el operador de multiplicación , obtenemos , y aplicando ambos lados a una función g , la identidad se convierte en la regla habitual de Leibniz para la n -ésima derivada . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$ ${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

Ver también

• Anticonmutatividad
• asociado
• Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff
• Relación de conmutación canónica
• Centralizador también conocido como conmutante
• Derivación (álgebra abstracta)
• soporte moyal
• Derivado de Pincherle
• soporte de veneno
• conmutador ternario
• Lema de tres subgrupos

Notas

1. Fraleigh (1976, pág.108)
2. Herstein (1975, pág.65)
3. McKay (2000, pág.4)
4. Herstein (1975, pág.83)
5. Fraleigh (1976, pág.128)
6. McMahon (2008)
7. Liboff (2003, págs. 140-142)
8. Lavrov (2014)

Referencias

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Griffiths, David J. (2004), Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.), Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X
• Herstein, IN (1975), Temas de álgebra (2ª ed.), Wiley, ISBN 0471010901
• Lavrov, PM (2014), "Identidades de tipo Jacobi en álgebras y superálgebras", Física teórica y matemática , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L, doi : 10.1007 /s11232-014-0161-2, S2CID  119175276
• Liboff, Richard L. (2003), Introducción a la mecánica cuántica (4ª ed.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
• McKay, Susan (2000), Grupos p finitos , Queen Mary Maths Notes, vol. 18, Universidad de Londres , ISBN 978-0-902480-17-9, señor  1802994
• McMahon, D. (2008), Teoría cuántica de campos , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8

Otras lecturas

• McKenzie, R .; Snow, J. (2005), "Variedades modulares de congruencia: teoría del conmutador", en Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (eds.), Teoría estructural de autómatas, semigrupos y álgebra universal , NATO Science Series II, vol. 207, Springer, págs. 273–329, doi :10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN 9781402038174

enlaces externos

• "Conmutador", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]