soporte de veneno

Operación en mecánica hamiltoniana

Siméon Denis Poisson

En matemáticas y mecánica clásica , el corchete de Poisson es una operación binaria importante en la mecánica hamiltoniana , desempeñando un papel central en las ecuaciones de movimiento de Hamilton, que gobiernan la evolución temporal de un sistema dinámico hamiltoniano . El corchete de Poisson también distingue una cierta clase de transformaciones de coordenadas, llamadas transformaciones canónicas , que asignan sistemas de coordenadas canónicos a sistemas de coordenadas canónicos. Un "sistema de coordenadas canónico" consta de variables canónicas de posición y momento (simbolizadas a continuación por y , respectivamente) que satisfacen las relaciones canónicas entre corchetes de Poisson. El conjunto de posibles transformaciones canónicas es siempre muy rico. Por ejemplo, a menudo es posible elegir el propio hamiltoniano como una de las nuevas coordenadas de momento canónicas. ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle H=H(q,p,t)}$

En un sentido más general, el corchete de Poisson se utiliza para definir un álgebra de Poisson , de la cual el álgebra de funciones sobre una variedad de Poisson es un caso especial. También hay otros ejemplos generales: ocurre en la teoría de las álgebras de Lie , donde el álgebra tensorial de un álgebra de Lie forma un álgebra de Poisson; En el artículo de álgebra envolvente universal se ofrece una construcción detallada de cómo se produce esto . Las deformaciones cuánticas del álgebra envolvente universal conducen a la noción de grupos cuánticos .

Todos estos objetos llevan el nombre de Siméon Denis Poisson .

Propiedades

Dadas dos funciones f y g que dependen del espacio de fase y el tiempo, su soporte de Poisson es otra función que depende del espacio de fase y el tiempo. Las siguientes reglas son válidas para tres funciones cualesquiera de espacio y tiempo de fase: ${\displaystyle \{f,g\}}$ ${\displaystyle f,\,g,\,h}$

Anticonmutatividad

${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$

Bilinealidad

${\displaystyle \{af+bg,h\}=a\{f,h\}+b\{g,h\},\quad \{h,af+bg\}=a\{h,f\}+b\{h,g\},\quad a,b\in \mathbb {R} }$

El gobierno de Leibniz

${\displaystyle \{fg,h\}=\{f,h\}g+f\{g,h\}}$

identidad jacobi

${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$

Además, si una función es constante en el espacio de fase (pero puede depender del tiempo), entonces para cualquier . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \{f,\,k\}=0}$ ${\displaystyle f}$

Definición en coordenadas canónicas

En coordenadas canónicas (también conocidas como coordenadas de Darboux ) en el espacio de fase , dadas dos funciones y , ^{[Nota 1]} el corchete de Poisson toma la forma ${\displaystyle (q_{i},\,p_{i})}$ ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},t)}$ ${\displaystyle g(p_{i},\,q_{i},t)}$

$${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right).}$$

Los corchetes de Poisson de las coordenadas canónicas son

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{q_{i},q_{j}\}&=0\\\{p_{i},p_{j}\}&=0\\\{q_{i},p_{j}\}&=\delta _{ij}\end{aligned}}}$$

delta del Kronecker ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton.

Las ecuaciones de movimiento de Hamilton tienen una expresión equivalente en términos del corchete de Poisson. Esto puede demostrarse más directamente en un marco de coordenadas explícito. Supongamos que es una función en la variedad de trayectorias de la solución. Luego, de la regla de la cadena multivariable , ${\displaystyle f(p,q,t)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(p,q,t)={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {dq}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}.}$$

Además, se pueden tomar y como soluciones a las ecuaciones de Hamilton ; eso es, ${\displaystyle p=p(t)}$ ${\displaystyle q=q(t)}$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}=\{q,H\};\\{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=\{p,H\}.\end{cases}}}$$

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}f(p,q,t)&={\frac {\partial f}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial f}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}\\&=\{f,H\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la evolución temporal de una función en una variedad simpléctica se puede dar como una familia de simplectomorfismos de un solo parámetro (es decir, transformaciones canónicas , difeomorfismos que preservan el área), siendo el tiempo el parámetro: el movimiento hamiltoniano es una transformación canónica generada por el hamiltoniano. Es decir, los corchetes de Poisson se conservan en él, de modo que en cualquier momento de la solución de las ecuaciones de Hamilton, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle q(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})q(0),\quad p(t)=\exp(-t\{H,\cdot \})p(0),}$$

Los corchetes de Poisson son invariantes canónicos

Dejando caer las coordenadas,

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f=\left({\frac {\partial }{\partial t}}-\{H,\cdot \}\right)f.}$$

El operador en la parte convectiva de la derivada, a veces se denomina liouviliano (ver teorema de Liouville (hamiltoniano) ). ${\displaystyle i{\hat {L}}=-\{H,\cdot \}}$

Matriz de Poisson en transformaciones canónicas.

El concepto de corchetes de Poisson se puede ampliar al de matrices definiendo la matriz de Poisson.

Considere la siguiente transformación canónica:

$${\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}$$

${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ${\displaystyle J}$

$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_{k}}}\right)=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }.}$$

La matriz de Poisson satisface las siguientes propiedades conocidas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{|M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=-{\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{aligned}}}$$

donde se conoce como matriz de Lagrange y cuyos elementos corresponden a corchetes de Lagrange . La última identidad también se puede expresar de la siguiente manera: ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}$$

La invariancia del corchete de Poisson se puede expresar como: , lo que conduce directamente a la condición simpléctica: . ^[1] ${\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_{ij}}$ ${\textstyle MJM^{T}=J}$

Constantes de movimiento

Un sistema dinámico integrable tendrá constantes de movimiento además de la energía. Tales constantes de movimiento conmutarán con el hamiltoniano bajo el paréntesis de Poisson. Supongamos que alguna función es una constante de movimiento. Esto implica que si es una trayectoria o solución de las ecuaciones de movimiento de Hamilton , entonces ${\displaystyle f(p,q)}$ ${\displaystyle p(t),q(t)}$

$${\displaystyle 0={\frac {df}{dt}}}$$

$${\displaystyle 0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}}$$

ecuación de Liouvilleteorema de Liouvillemedidafunción de distribución ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Si el corchete de Poisson de y desaparece ( ), entonces se dice que y está en involución . Para que un sistema hamiltoniano sea completamente integrable , las constantes de movimiento independientes deben estar en involución mutua , donde es el número de grados de libertad. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \{f,g\}=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Además, según el teorema de Poisson , si dos cantidades y son constantes de movimiento explícitamente independientes del tiempo ( ), también lo son sus corchetes de Poisson . Sin embargo, esto no siempre proporciona un resultado útil, ya que el número de posibles constantes de movimiento es limitado ( para un sistema con grados de libertad) y, por lo tanto, el resultado puede ser trivial (una constante o una función de y ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A(p,q),B(p,q)}$ ${\displaystyle \{A,\,B\}}$ ${\displaystyle 2n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El corchete de Poisson en lenguaje sin coordenadas

Sea una variedad simpléctica , es decir, una variedad equipada con una forma simpléctica : una forma 2 que es a la vez cerrada (es decir, su derivada exterior desaparece) y no degenerada . Por ejemplo, en el tratamiento anterior, tomar para ser y tomar ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

$${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}.}$$

Si el producto interior o la operación de contracción están definidos por , entonces la no degeneración equivale a decir que para cada forma existe un campo vectorial único tal que . Alternativamente ,. Entonces, si es una función suave , el campo vectorial hamiltoniano se puede definir como . Es fácil ver eso ${\displaystyle \iota _{v}\omega }$ ${\displaystyle (\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \Omega _{\alpha }}$ ${\displaystyle \iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha }$ ${\displaystyle \Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle \Omega _{dH}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}.\end{aligned}}}$$

El corchete de Poisson en ( M , ω ) es una operación bilineal en funciones diferenciables , definida por ; el corchete de Poisson de dos funciones en M es en sí mismo una función en M . El corchete de Poisson es antisimétrico porque: ${\displaystyle \ \{\cdot ,\,\cdot \}}$ ${\displaystyle \{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})}$

$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.}$$

Además,

Aquí X _g f denota el campo vectorial X _g aplicado a la función f como derivada direccional, y denota la derivada de Lie (totalmente equivalente) de la función f . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{g}}f}$

Si α es una forma única arbitraria en M , el campo vectorial Ω _α genera (al menos localmente) un flujo que satisface la condición de frontera y la ecuación diferencial de primer orden. ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ ${\displaystyle \phi _{x}(0)=x}$

$${\displaystyle {\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.}$$

Habrá simplectomorfismos ( transformaciones canónicas ) para cada t en función de x si y sólo si ; cuando esto es cierto, Ω _α se llama campo vectorial simpléctico . Recordando la identidad de Cartan y d ω = 0 , se deduce que . Por lo tanto, Ω _α es un campo vectorial simpléctico si y sólo si α es una forma cerrada . Desde , se deduce que todo campo vectorial hamiltoniano X _f es un campo vectorial simpléctico y que el flujo hamiltoniano consta de transformaciones canónicas. Desde (1) arriba, bajo el flujo hamiltoniano X _H , ${\displaystyle \phi _{x}(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\;=\;d\alpha }$ ${\displaystyle d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.}$$

Este es un resultado fundamental en la mecánica hamiltoniana, que rige la evolución temporal de funciones definidas en el espacio de fases. Como se señaló anteriormente, cuando { f , H } = 0 , f es una constante de movimiento del sistema. Además, en coordenadas canónicas (con y ), las ecuaciones de Hamilton para la evolución temporal del sistema se derivan inmediatamente de esta fórmula. ${\displaystyle \{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0}$ ${\displaystyle \{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}}$

También se deduce de (1) que el corchete de Poisson es una derivación ; es decir, satisface una versión no conmutativa de la regla del producto de Leibniz :

El corchete de Poisson está íntimamente conectado con el corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos. Debido a que la derivada de Lie es una derivación,

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .}$$

Así, si v y w son simplécticos, utilizando la identidad de Cartan y el hecho de que es una forma cerrada, ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0}$ ${\displaystyle \iota _{w}\omega }$

$${\displaystyle \iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)).}$$

Se deduce que , de modo que ${\displaystyle [v,w]=X_{\omega (w,v)}}$

Por tanto, el corchete de Poisson en funciones corresponde al corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos asociados. También hemos demostrado que el corchete de Lie de dos campos vectoriales simplécticos es un campo vectorial hamiltoniano y, por tanto, también es simpléctico. En el lenguaje del álgebra abstracta , los campos vectoriales simplécticos forman una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales suaves en M , y los campos vectoriales hamiltonianos forman un ideal de esta subálgebra. Los campos vectoriales simplécticos son el álgebra de Lie del grupo de Lie (de dimensión infinita) de simplectomorfismos de M.

Se afirma ampliamente que la identidad de Jacobi para el grupo de Poisson,

$${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$$

demostrar

$${\displaystyle \operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname {ad} _{g}]}$$

M(1)X _g(3) ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}}$ ${\displaystyle [\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{g}}$

El álgebra de funciones suaves en M, junto con el corchete de Poisson, forma un álgebra de Poisson , porque es un álgebra de Lie bajo el corchete de Poisson, que además satisface la regla de Leibniz (2) . Hemos demostrado que toda variedad simpléctica es una variedad de Poisson , es decir, una variedad con un operador de "llaves" en funciones suaves tales que las funciones suaves forman un álgebra de Poisson. Sin embargo, no todas las variedades de Poisson surgen de esta manera, porque las variedades de Poisson permiten una degeneración que no puede surgir en el caso simpléctico.

Un resultado sobre momentos conjugados

Dado un campo vectorial suave en el espacio de configuración, sea su momento conjugado . El mapeo de momento conjugado es un antihomomorfismo del álgebra de Lie del corchete de Lie al corchete de Poisson: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P_{X}}$

$${\displaystyle \{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.}$$

Este importante resultado merece una breve demostración. Escriba un campo vectorial en un punto del espacio de configuración como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$

${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$$

espacio de fases ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (q,p)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i}(q)\;p_{i},Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q){\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}(q,p).\end{aligned}}}$$

Lo anterior es válido para todos , dando el resultado deseado. ${\displaystyle (q,p)}$

Cuantización

Los corchetes de Poisson se deforman a corchetes de Moyal tras la cuantificación , es decir, se generalizan a un álgebra de Lie diferente, el álgebra de Moyal o, de manera equivalente en el espacio de Hilbert , conmutadores cuánticos . La contracción del grupo Wigner-İnönü de estos (el límite clásico, ħ → 0 ) produce el álgebra de Lie anterior.

Para decir esto de manera más explícita y precisa, el álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg es el álgebra de Weyl (módulo la relación de que el centro sea la unidad). El producto de Moyal es entonces un caso especial del producto estrella en el álgebra de símbolos. En el artículo sobre el álgebra envolvente universal se da una definición explícita del álgebra de símbolos y del producto estrella .

Ver también

• Conmutador
• soporte de dirac
• soporte de Lagrange
• soporte moyal
• Soporte Peierls
• Espacio de fase
• álgebra de Poisson
• anillo de veneno
• superálgebra de Poisson
• Supersoporte de Poisson

Observaciones

1. significa es una función de las variables independientes: impulso ,; posición, ; y tiempo, ${\displaystyle f(p_{i},\,q_{i},\,t)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2N+1}$ ${\displaystyle p_{1\dots N}}$ ${\displaystyle q_{1\dots N}}$ ${\displaystyle t}$

Referencias

1. Giacaglia, Giorgio EO (1972). Métodos de perturbación en sistemas no lineales . Ciencias matemáticas aplicadas. Nueva York Heidelberg: Springer. págs. 8–9. ISBN 978-3-540-90054-2.

• Arnold, Vladimir I. (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Landau, Lev D .; Lifshitz, Evegeny M. (1982). Mecánica . Curso de Física Teórica . vol. 1 (3ª ed.). Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.
• Karasëv, Mikhail V.; Maslov, Víctor P. (1993). Corchetes de Poisson no lineales, Geometría y Cuantización . Traducciones de monografías matemáticas. vol. 119. Traducido por Sossinsky, Alexey; Shishkova, MA Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0821887967. SEÑOR  1214142.
• Moretti, Valter (2023). Mecánica Analítica, Mecánica Clásica, Lagrangiana y Hamiltoniana, Teoría de la Estabilidad, Relatividad Especial . UNITEXTO. vol. 150. Saltador. ISBN 978-3-031-27612-5.

enlaces externos

• "Corchetes de Poisson", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Eric W. Weisstein . "Soporte de Poisson". MundoMatemático .