Soporte de Dirac

Método de cuantificación para sistemas hamiltonianos restringidos con restricciones de segunda clase

El corchete de Dirac es una generalización del corchete de Poisson desarrollado por Paul Dirac ^[1] para tratar sistemas clásicos con restricciones de segunda clase en la mecánica hamiltoniana , y así permitirles experimentar una cuantificación canónica . Es una parte importante del desarrollo de la mecánica hamiltoniana de Dirac manejar con elegancia los lagrangianos más generales ; específicamente, cuando hay restricciones a mano, de modo que el número de variables aparentes exceda el de las dinámicas. ^[2] De manera más abstracta, la forma dual implícita del corchete de Dirac es la restricción de la forma simpléctica a la superficie de restricción en el espacio de fases . ^[3]

En este artículo se presupone que se está familiarizado con los formalismos lagrangiano y hamiltoniano estándar y su conexión con la cuantificación canónica . También se resumen los detalles del formalismo hamiltoniano modificado de Dirac para poner el corchete de Dirac en contexto.

Insuficiencia del procedimiento hamiltoniano estándar

El desarrollo estándar de la mecánica hamiltoniana es inadecuado en varias situaciones específicas:

1. Cuando el lagrangiano es lineal como máximo en la velocidad de al menos una coordenada; en cuyo caso, la definición del momento canónico lleva a una restricción . Esta es la razón más frecuente para recurrir a los corchetes de Dirac. Por ejemplo, el lagrangiano (densidad) para cualquier fermión tiene esta forma.
2. Cuando hay grados de libertad de calibre (u otros no físicos) que necesitan ser fijados.
3. Cuando existen otras restricciones que se desean imponer en el espacio de fases.

Ejemplo de un Lagrangiano lineal en velocidad

Un ejemplo en mecánica clásica es una partícula con carga q y masa m confinada al plano x - y con un fuerte campo magnético perpendicular, constante y homogéneo, por lo que apunta en la dirección z con una fuerza B. ^[4]

El Lagrangiano para este sistema con una elección apropiada de parámetros es

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}+{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}-V({\vec {r}}),}$

dónde→A es el potencial vectorial del campo magnético,→B; c es la velocidad de la luz en el vacío; y V(→a) es un potencial escalar externo arbitrario; uno podría fácilmente tomarlo como cuadrático en x e y , sin pérdida de generalidad. Usamos

${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {B}{2}}(x{\hat {y}}-y{\hat {x}})}$

como nuestro potencial vectorial; esto corresponde a un campo magnético B uniforme y constante en la dirección z . Aquí, los sombreros indican vectores unitarios. Sin embargo, más adelante en el artículo se utilizan para distinguir los operadores mecánicos cuánticos de sus análogos clásicos. El uso debería quedar claro a partir del contexto.

Explícitamente, el lagrangiano equivale simplemente a

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}$

Lo que conduce a las ecuaciones de movimiento.

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {qB}{c}}{\dot {y}}}$

${\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}.}$

Para un potencial armónico, el gradiente de V equivale simplemente a las coordenadas −( x , y ) .

Ahora bien, en el límite de un campo magnético muy grande, qB / mc ≫ 1. Se puede entonces prescindir del término cinético para producir un lagrangiano aproximado simple,

${\displaystyle L={\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}$

con ecuaciones de movimiento de primer orden

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}~.}$

Obsérvese que este lagrangiano aproximado es lineal en las velocidades , que es una de las condiciones en las que el procedimiento hamiltoniano estándar deja de funcionar. Si bien este ejemplo se ha presentado como una aproximación, el lagrangiano en consideración es legítimo y conduce a ecuaciones de movimiento consistentes en el formalismo lagrangiano.

Sin embargo, siguiendo el procedimiento hamiltoniano, los momentos canónicos asociados con las coordenadas son ahora

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=-{\frac {qB}{2c}}y}$

${\displaystyle p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {qB}{2c}}x~,}$

que son inusuales en el sentido de que no son invertibles a las velocidades; en cambio, están limitadas a ser funciones de las coordenadas: las cuatro variables del espacio de fase son linealmente dependientes, por lo que la variable base es sobrecompleta .

Una transformación de Legendre produce entonces el hamiltoniano

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})={\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}-L=V(x,y).}$

Nótese que este hamiltoniano "ingenuo" no depende de los momentos , lo que significa que las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Hamilton) son inconsistentes.

El procedimiento hamiltoniano ha fracasado. Se podría intentar solucionar el problema eliminando dos de los componentes del espacio de fases de 4 dimensiones, por ejemplo y y p _y , hasta llegar a un espacio de fases reducido de 2 dimensiones, que a veces expresa las coordenadas como momentos y a veces como coordenadas. Sin embargo, esta no es una solución general ni rigurosa. Esto nos lleva al meollo del asunto: que la definición de los momentos canónicos implica una restricción en el espacio de fases (entre los momentos y las coordenadas) que nunca se tuvo en cuenta.

Procedimiento hamiltoniano generalizado

En la mecánica lagrangiana, si el sistema tiene restricciones holonómicas , generalmente se añaden multiplicadores de Lagrange al lagrangiano para tenerlas en cuenta. Los términos adicionales desaparecen cuando se satisfacen las restricciones, lo que obliga a que la trayectoria de la acción estacionaria se encuentre en la superficie de restricción. En este caso, recurrir al formalismo hamiltoniano introduce una restricción en el espacio de fases en la mecánica hamiltoniana, pero la solución es similar.

Antes de continuar, es útil comprender las nociones de igualdad débil e igualdad fuerte . Dos funciones en el espacio de fases, f y g , son débilmente iguales si son iguales cuando se satisfacen las restricciones, pero no en todo el espacio de fases , lo que se denota f ≈ g . Si f y g son iguales independientemente de que se satisfagan las restricciones, se denominan fuertemente iguales, lo que se escribe f = g . Es importante señalar que, para obtener la respuesta correcta, no se pueden utilizar ecuaciones débiles antes de evaluar las derivadas o los corchetes de Poisson .

El nuevo procedimiento funciona de la siguiente manera: se comienza con un lagrangiano y se definen los momentos canónicos de la forma habitual. Algunas de esas definiciones pueden no ser invertibles y, en su lugar, dar una restricción en el espacio de fases (como se indica anteriormente). Las restricciones derivadas de esta manera o impuestas desde el comienzo del problema se denominan restricciones primarias . Las restricciones, etiquetadas como φ _j , deben desaparecer débilmente, φ _j ( p,q ) ≈ 0 .

A continuación, se obtiene el hamiltoniano ingenuo , H , de la forma habitual mediante una transformación de Legendre, exactamente como en el ejemplo anterior. Nótese que el hamiltoniano siempre se puede escribir como una función de q s y p s solamente, incluso si las velocidades no se pueden invertir en funciones de los momentos.

Generalizando el hamiltoniano

Dirac sostiene que deberíamos generalizar el hamiltoniano (de manera algo análoga al método de los multiplicadores de Lagrange) a

${\displaystyle H^{*}=H+\sum _{j}c_{j}\phi _{j}\approx H,}$

donde las c _j no son constantes sino funciones de las coordenadas y momentos. Puesto que este nuevo hamiltoniano es la función más general de coordenadas y momentos débilmente igual al hamiltoniano ingenuo, H ^* es la generalización más amplia posible del hamiltoniano de modo que δH * ≈ δH cuando δϕ _j ≈ 0 .

Para ilustrar mejor el c _j , consideremos cómo se obtienen las ecuaciones de movimiento a partir del hamiltoniano ingenuo en el procedimiento estándar. Se expande la variación del hamiltoniano de dos maneras y se las iguala (usando una notación algo abreviada con índices y sumas suprimidos):

${\displaystyle \delta H={\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\approx {\dot {q}}\delta p-{\dot {p}}\delta q~,}$

donde la segunda igualdad se cumple después de simplificar con las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange y la definición de momento canónico. A partir de esta igualdad, se deducen las ecuaciones de movimiento en el formalismo hamiltoniano de

${\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial q}}+{\dot {p}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial H}{\partial p}}-{\dot {q}}\right)\delta p=0~,}$

donde el símbolo de igualdad débil ya no se muestra explícitamente, ya que por definición las ecuaciones de movimiento solo se cumplen débilmente. En el presente contexto, no se pueden simplemente poner a cero los coeficientes de δq y δp por separado, ya que las variaciones están algo restringidas por las restricciones. En particular, las variaciones deben ser tangentes a la superficie de restricción.

Se puede demostrar que la solución a

${\displaystyle \sum _{n}A_{n}\delta q_{n}+\sum _{n}B_{n}\delta p_{n}=0,}$

para las variaciones δq _n y δp _n restringidas por las restricciones Φ _j ≈ 0 (asumiendo que las restricciones satisfacen algunas condiciones de regularidad ) es generalmente ^[5]

${\displaystyle A_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial q_{n}}}}$

${\displaystyle B_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial p_{n}}},}$

donde u _m son funciones arbitrarias.

Utilizando este resultado, las ecuaciones de movimiento se convierten en

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial q_{j}}}}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial p_{j}}}}$

${\displaystyle \phi _{j}(q,p)=0,}$

donde u _k son funciones de coordenadas y velocidades que pueden determinarse, en principio, a partir de la segunda ecuación de movimiento anterior.

La transformada de Legendre entre el formalismo lagrangiano y el formalismo hamiltoniano se ha salvado a costa de añadir nuevas variables.

Condiciones de consistencia

Las ecuaciones de movimiento se vuelven más compactas cuando se utiliza el corchete de Poisson, ya que si f es alguna función de las coordenadas y los momentos entonces

${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H^{*}\}_{PB}\approx \{f,H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{f,\phi _{k}\}_{PB},}$

Si se supone que existe el corchete de Poisson con las u _k (funciones de la velocidad), esto no causa problemas ya que la contribución se desvanece débilmente. Ahora bien, hay algunas condiciones de consistencia que deben cumplirse para que este formalismo tenga sentido. Si se van a satisfacer las restricciones, entonces sus ecuaciones de movimiento deben desvanecerse débilmente, es decir, requerimos

${\displaystyle {\dot {\phi _{j}}}\approx \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

Hay cuatro tipos diferentes de condiciones que pueden resultar de lo anterior:

1. Una ecuación que es inherentemente falsa, como 1=0 .
2. Una ecuación que es idénticamente verdadera, posiblemente después de utilizar una de nuestras restricciones primarias.
3. Una ecuación que impone nuevas restricciones a nuestras coordenadas y momentos, pero es independiente de u _k .
4. Una ecuación que sirve para especificar el u _k .

El primer caso indica que el lagrangiano de partida da ecuaciones de movimiento inconsistentes, como por ejemplo L = q . El segundo caso no aporta nada nuevo.

El tercer caso da nuevas restricciones en el espacio de fases. Una restricción derivada de esta manera se llama restricción secundaria . Al encontrar la restricción secundaria, uno debe agregarla al hamiltoniano extendido y verificar las nuevas condiciones de consistencia, lo que puede dar como resultado aún más restricciones. Itere este proceso hasta que no haya más restricciones. La distinción entre restricciones primarias y secundarias es en gran medida artificial (es decir, una restricción para el mismo sistema puede ser primaria o secundaria dependiendo del lagrangiano), por lo que este artículo no las distingue de aquí en adelante. Suponiendo que la condición de consistencia se ha iterado hasta que se hayan encontrado todas las restricciones, entonces ϕ _j las indexará todas. Tenga en cuenta que este artículo utiliza restricción secundaria para significar cualquier restricción que no estaba inicialmente en el problema o derivada de la definición de momentos canónicos; algunos autores distinguen entre restricciones secundarias, restricciones terciarias, etcétera.

Finalmente, el último caso ayuda a fijar el u _k . Si, al final de este proceso, los u _k no están completamente determinados, eso significa que hay grados de libertad no físicos (de calibración) en el sistema. Una vez que se agregan todas las restricciones (primarias y secundarias) al hamiltoniano ingenuo y se introducen las soluciones a las condiciones de consistencia para el u _k , el resultado se denomina hamiltoniano total .

Determinación de la Reino Unido

El Reino _Unido debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales no homogéneas de la forma

${\displaystyle \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

La ecuación anterior debe tener al menos una solución, ya que de lo contrario el lagrangiano inicial es inconsistente; sin embargo, en sistemas con grados de libertad de calibración, la solución no será única. La solución más general es de la forma

${\displaystyle u_{k}=U_{k}+V_{k},}$

donde U _k es una solución particular y V _k es la solución más general de la ecuación homogénea

${\displaystyle \sum _{k}V_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

La solución más general será una combinación lineal de soluciones linealmente independientes para la ecuación homogénea anterior. El número de soluciones linealmente independientes es igual al número de u _k (que es el mismo que el número de restricciones) menos el número de condiciones de consistencia del cuarto tipo (en la subsección anterior). Este es el número de grados de libertad no físicos en el sistema. Etiquetando las soluciones lineales independientes como V _k ^a donde el índice a va desde 1 hasta el número de grados de libertad no físicos, la solución general para las condiciones de consistencia es de la forma

${\displaystyle u_{k}\approx U_{k}+\sum _{a}v_{a}V_{k}^{a},}$

donde son funciones completamente arbitrarias del tiempo. Una elección diferente de corresponde a una transformación de calibre y debería dejar inalterado el estado físico del sistema. ^[6] ${\displaystyle v_{a}}$ ${\displaystyle v_{a}}$

El hamiltoniano total

En este punto, es natural introducir el hamiltoniano total.

${\displaystyle H_{T}=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}+\sum _{a,k}v_{a}V_{k}^{a}\phi _{k}}$

y que se denota

${\displaystyle H'=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}.}$

La evolución temporal de una función en el espacio de fases, f , está gobernada por

${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H_{T}\}_{PB}.}$

Más adelante se introduce el hamiltoniano extendido. Para magnitudes invariantes de norma (magnitudes medibles físicamente), todos los hamiltonianos deberían dar la misma evolución temporal, ya que todos son débilmente equivalentes. La distinción sólo se vuelve importante para magnitudes no invariantes de norma.

El soporte de Dirac

Lo anterior incluye todo lo necesario para hallar las ecuaciones de movimiento en el procedimiento hamiltoniano modificado de Dirac. Sin embargo, disponer de las ecuaciones de movimiento no es el punto final de las consideraciones teóricas. Si se desea cuantificar canónicamente un sistema general, se necesitan los corchetes de Dirac. Antes de definir los corchetes de Dirac, es necesario introducir restricciones de primera y segunda clase .

Llamamos a una función f(q, p) de coordenadas y momentos de primera clase si su corchete de Poisson con todas las restricciones se desvanece débilmente, es decir,

${\displaystyle \{f,\phi _{j}\}_{PB}\approx 0,}$

para todo j . Nótese que las únicas cantidades que se desvanecen débilmente son las restricciones ϕ _j , y por lo tanto cualquier cosa que se desvanezca débilmente debe ser fuertemente igual a una combinación lineal de las restricciones. Se puede demostrar que el corchete de Poisson de dos cantidades de primera clase también debe ser de primera clase. Las restricciones de primera clase están íntimamente conectadas con los grados de libertad no físicos mencionados anteriormente. Es decir, el número de restricciones de primera clase independientes es igual al número de grados de libertad no físicos y, además, las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de calibre. Dirac postuló además que todas las restricciones secundarias de primera clase son generadoras de transformaciones de calibre, lo que resulta ser falso; sin embargo, normalmente se opera bajo el supuesto de que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de calibre cuando se utiliza este tratamiento. ^[7]

Cuando se añaden las restricciones secundarias de primera clase al hamiltoniano con valores arbitrarios como se añaden las restricciones primarias de primera clase para llegar al hamiltoniano total, se obtiene el hamiltoniano extendido . El hamiltoniano extendido proporciona la evolución temporal más general posible para cualquier cantidad dependiente del calibre y puede, de hecho, generalizar las ecuaciones de movimiento a partir de las del formalismo lagrangiano. ${\displaystyle v_{a}}$

A los efectos de introducir el corchete de Dirac, las restricciones de segunda clase revisten un interés más inmediato . Las restricciones de segunda clase son restricciones que tienen un corchete de Poisson no nulo con al menos otra restricción.

Por ejemplo, considere las restricciones de segunda clase ϕ ₁ y ϕ ₂ cuyo corchete de Poisson es simplemente una constante, c ,

${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=c~.}$

Ahora bien, supongamos que se desea emplear la cuantificación canónica, entonces las coordenadas del espacio de fases se convierten en operadores cuyos conmutadores se convierten en iħ multiplicado por su corchete de Poisson clásico. Suponiendo que no hay problemas de ordenación que den lugar a nuevas correcciones cuánticas, esto implica que

${\displaystyle [{\hat {\phi }}_{1},{\hat {\phi }}_{2}]=i\hbar ~c,}$

donde los sombreros enfatizan el hecho de que las restricciones recaen sobre los operadores.

Por un lado, la cuantificación canónica da la relación de conmutación anterior, pero por otro lado ϕ ₁ y ϕ ₂ son restricciones que deben desaparecer en los estados físicos, mientras que el lado derecho no puede desaparecer. Este ejemplo ilustra la necesidad de alguna generalización del corchete de Poisson que respete las restricciones del sistema y que conduzca a un procedimiento de cuantificación consistente. Este nuevo corchete debe ser bilineal, antisimétrico, satisfacer la identidad de Jacobi como lo hace el corchete de Poisson, reducirse al corchete de Poisson para sistemas sin restricciones y, además, el corchete de cualquier restricción de segunda clase con cualquier otra cantidad debe desaparecer .

En este punto, las restricciones de la segunda clase se etiquetarán como . Defina una matriz con entradas ${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{a}}$

${\displaystyle M_{ab}=\{{\tilde {\phi }}_{a},{\tilde {\phi }}_{b}\}_{PB}.}$

En este caso, el corchete de Dirac de dos funciones en el espacio de fases, f y g , se define como

${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}-\sum _{a,b}\{f,{\tilde {\phi }}_{a}\}_{PB}M_{ab}^{-1}\{{\tilde {\phi }}_{b},g\}_{PB}~,}$

donde M ⁻¹ _ab denota la entrada ab de la matriz inversa de M. Dirac demostró que M siempre será invertible .

Es sencillo comprobar que la definición anterior del corchete de Dirac satisface todas las propiedades deseadas, y especialmente la última, la de desaparecer para un argumento que es una restricción de segunda clase.

Al aplicar la cuantificación canónica a un sistema hamiltoniano restringido, el conmutador de los operadores se reemplaza por iħ multiplicado por su corchete de Dirac clásico . Dado que el corchete de Dirac respeta las restricciones, no es necesario tener cuidado al evaluar todos los corchetes antes de utilizar cualquier ecuación débil, como es el caso del corchete de Poisson.

Obsérvese que, si bien el corchete de Poisson de las variables bosónicas (Grassmann par) consigo mismo debe anularse, el corchete de Poisson de los fermiones representados como variables de Grassmann consigo mismo no necesita anularse. Esto significa que en el caso fermiónico es posible que haya un número impar de restricciones de segunda clase.

Ilustración del ejemplo proporcionado

Volviendo al ejemplo anterior, el hamiltoniano ingenuo y las dos restricciones primarias son

${\displaystyle H=V(x,y)}$

${\displaystyle \phi _{1}=p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y,\qquad \phi _{2}=p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x.}$

Por lo tanto, el hamiltoniano extendido se puede escribir

${\displaystyle H^{*}=V(x,y)+u_{1}\left(p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y\right)+u_{2}\left(p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x\right).}$

El siguiente paso es aplicar las condiciones de consistencia { Φ _j , H ^* } _PB ≈ 0 , que en este caso se convierten en

${\displaystyle \{\phi _{1},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{1},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+u_{2}{\frac {qB}{c}}\approx 0}$

${\displaystyle \{\phi _{2},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{2},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-u_{1}{\frac {qB}{c}}\approx 0.}$

Éstas no son restricciones secundarias, sino condiciones que fijan u ₁ y u ₂ . Por lo tanto, no hay restricciones secundarias y los coeficientes arbitrarios están completamente determinados, lo que indica que no hay grados de libertad no físicos.

Si uno reemplaza los valores de u ₁ y u ₂ , entonces puede ver que las ecuaciones de movimiento son

${\displaystyle {\dot {x}}=\{x,H\}_{PB}+u_{1}\{x,\phi _{1}\}_{PB}+u_{2}\{x,\phi _{2}\}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{x}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{y}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial y}},}$

que son autoconsistentes y coinciden con las ecuaciones de movimiento lagrangianas.

Un cálculo simple confirma que ϕ ₁ y ϕ ₂ son restricciones de segunda clase ya que

${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=-\{\phi _{2},\phi _{1}\}_{PB}={\frac {qB}{c}},}$

Por lo tanto la matriz se ve así

${\displaystyle M={\frac {qB}{c}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),}$

que se invierte fácilmente a

${\displaystyle M^{-1}={\frac {c}{qB}}\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}}\right)\quad \Rightarrow \quad M_{ab}^{-1}=-{\frac {c}{qB_{0}}}\varepsilon _{ab},}$

donde ε _ab es el símbolo de Levi-Civita . Por lo tanto, los corchetes de Dirac se definen como

${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}+{\frac {c\varepsilon _{ab}}{qB}}\{f,\phi _{a}\}_{PB}\{\phi _{b},g\}_{PB}.}$

Si siempre se utiliza el corchete de Dirac en lugar del corchete de Poisson, no hay ningún problema con el orden de aplicación de las restricciones y la evaluación de las expresiones, ya que el corchete de Dirac de cualquier valor débilmente igual a cero es fuertemente igual a cero. Esto significa que se puede utilizar simplemente el hamiltoniano ingenuo con corchetes de Dirac, en su lugar, para obtener así las ecuaciones de movimiento correctas, que se pueden confirmar fácilmente en las ecuaciones anteriores.

Para cuantificar el sistema, se necesitan los corchetes de Dirac entre todas las variables del espacio de fases. Los corchetes de Dirac que no se anulan para este sistema son

${\displaystyle \{x,y\}_{DB}=-{\frac {c}{qB}}}$

${\displaystyle \{x,p_{x}\}_{DB}=\{y,p_{y}\}_{DB}={\tfrac {1}{2}}}$

mientras los términos cruzados desaparecen, y

${\displaystyle \{p_{x},p_{y}\}_{DB}=-{\frac {qB}{4c}}.}$

Por lo tanto, la correcta implementación de la cuantificación canónica dicta las relaciones de conmutación,

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {y}}]=-i{\frac {\hbar c}{qB}}}$

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i{\frac {\hbar }{2}}}$

con los términos cruzados desapareciendo, y

${\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=-i{\frac {\hbar qB}{4c}}~.}$

Este ejemplo tiene un conmutador no desvanecido entre ∧incógnitay ∧y, lo que significa que esta estructura especifica una geometría no conmutativa . (Dado que las dos coordenadas no conmutan, habrá un principio de incertidumbre para las posiciones x e y ).

Otra ilustración de una hiperesfera

De manera similar, para el movimiento libre en una hiperesfera S ⁿ , las coordenadas n + 1 están restringidas, x _i x ⁱ = 1 . A partir de un lagrangiano cinético simple, es evidente que sus momentos son perpendiculares a ellas, x _i p ⁱ = 0 . Por lo tanto, los corchetes de Dirac correspondientes también son fáciles de calcular, ^[8]

${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}_{DB}=0,}$

${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}_{DB}=\delta _{ij}-x_{i}x_{j},}$

${\displaystyle \{p_{i},p_{j}\}_{DB}=x_{j}p_{i}-x_{i}p_{j}~.}$

Las variables del espacio de fases con restricciones ( 2 n + 1) ( x _i , p _i ) obedecen a corchetes de Dirac mucho más simples que las 2 n variables sin restricciones, si se eliminara una de las x y una de las p mediante las dos restricciones ab initio, que obedecerían a corchetes de Poisson simples. Los corchetes de Dirac agregan simplicidad y elegancia, a costa de variables excesivas del espacio de fases (con restricciones).

Por ejemplo, para el movimiento libre en un círculo, n = 1 , para x ₁ ≡ z y eliminando x ₂ de la restricción del círculo se obtiene el movimiento libre sin restricciones

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}~,}$

con ecuaciones de movimiento

${\displaystyle {\ddot {z}}=-z{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}=-z2E~,}$

una oscilación; mientras que el sistema restringido equivalente con H = p ² /2 = E produce

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}=\{x^{i},H\}_{DB}=p^{i}~,}$

${\displaystyle {\dot {p}}^{i}=\{p^{i},H\}_{DB}=-x^{i}~p^{2}~,}$

De donde, instantáneamente, prácticamente por inspección, la oscilación de ambas variables,

${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-x^{i}2E~.}$

Véase también

• Cuantización canónica
• Mecánica hamiltoniana
• Soporte de Poisson
• Soporte Moyal
• Restricción de primera clase
• Restricciones de segunda clase
• Lagrangiano
• Estructura simpléctica
• Sobrecompletitud

Referencias

1. Dirac, PAM (1950). "Dinámica hamiltoniana generalizada". Revista Canadiense de Matemáticas . 2 : 129–014. doi : 10.4153/CJM-1950-012-1 . S2CID  119748805.
2. Dirac, Paul AM (1964). Lecciones sobre mecánica cuántica. Serie de monografías de la Belfer Graduate School of Science. Vol. 2. Belfer Graduate School of Science, Nueva York. ISBN 9780486417134.Señor 2220894  .;Dover, ISBN 0486417131 . 
3. Véanse las páginas 48-58 del capítulo 2 en Henneaux, Marc y Teitelboim, Claudio, Quantization of Gauge Systems . Princeton University Press, 1992. ISBN 0-691-08775-X 
4. Dunne, G.; Jackiw, R .; Pi, SY ; Trugenberger, C. (1991). "Solitones de Chern-Simons autoduales y ecuaciones no lineales bidimensionales". Physical Review D . 43 (4): 1332–1345. Bibcode :1991PhRvD..43.1332D. doi :10.1103/PhysRevD.43.1332. PMID  10013503.
5. Véase la página 8 en Henneaux y Teitelboim en las referencias.
6. Weinberg, Steven, La teoría cuántica de campos , volumen 1. Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-55001-7 
7. Véase Henneaux y Teitelboim, páginas 18-19.
8. Corrigan, E.; Zachos, CK (1979). "Cargas no locales para el modelo σ supersimétrico". Physics Letters B . 88 (3–4): 273. Bibcode :1979PhLB...88..273C. doi :10.1016/0370-2693(79)90465-9.