espinor

En geometría y física, los espinores / s p ɪ n ər / son elementos de un espacio vectorial basado en números complejos que pueden asociarse con el espacio euclidiano . ^[b] Un espinor se transforma linealmente cuando el espacio euclidiano se somete a una ligera rotación ( infinitésimo ), ^[c] pero a diferencia de los vectores y tensores geométricos , un espinor se transforma a su negativo cuando el espacio gira 360° (ver imagen). Se necesita una rotación de 720° para que un espinor vuelva a su estado original. Esta propiedad caracteriza a los espinores: los espinores pueden verse como las "raíces cuadradas" de vectores (aunque esto es inexacto y puede inducir a error; se ven mejor como "raíces cuadradas" de secciones de haces de vectores , en el caso del haz de álgebra exterior del fibrado cotangente, se convierten así en "raíces cuadradas" de formas diferenciales).

También es posible asociar una noción de espinor sustancialmente similar al espacio de Minkowski , en cuyo caso las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial desempeñan el papel de rotaciones. Los espinores fueron introducidos en geometría por Élie Cartan en 1913. ^[1]^[d] En la década de 1920, los físicos descubrieron que los espinores son esenciales para describir el momento angular intrínseco , o "espín", del electrón y otras partículas subatómicas. ^[mi]

Los espinores se caracterizan por la forma específica en que se comportan bajo rotaciones. Cambian de diferentes maneras dependiendo no solo de la rotación final general, sino también de los detalles de cómo se logró esa rotación (mediante una ruta continua en el grupo de rotación ). Hay dos clases topológicamente distinguibles ( clases de homotopía ) de caminos a través de rotaciones que resultan en la misma rotación general, como lo ilustra el rompecabezas del truco del cinturón . Estas dos clases no equivalentes producen transformaciones de espinor de signo opuesto. El grupo de giro es el grupo de todas las rotaciones que realizan un seguimiento de la clase. ^[f] Cubre doblemente el grupo de rotación, ya que cada rotación se puede obtener de dos formas no equivalentes como punto final de un camino. El espacio de espinores, por definición, está equipado con una representación lineal (compleja) del grupo de espines, lo que significa que los elementos del grupo de espines actúan como transformaciones lineales en el espacio de espinores, de una manera que realmente depende de la clase de homotopía. ^{[g] En términos matemáticos, los espinores se describen mediante una}representación proyectiva de doble valor del grupo de rotación SO(3).

Aunque los espinores pueden definirse puramente como elementos de un espacio de representación del grupo de espines (o su álgebra de Lie de rotaciones infinitesimales), normalmente se definen como elementos de un espacio vectorial que lleva una representación lineal del álgebra de Clifford . El álgebra de Clifford es un álgebra asociativa que se puede construir a partir del espacio euclidiano y su producto interno de forma independiente de las bases. Tanto el grupo de espín como su álgebra de Lie están integrados dentro del álgebra de Clifford de forma natural y, en aplicaciones, el álgebra de Clifford suele ser la más fácil de trabajar. ^[h] Un espacio de Clifford opera en un espacio de espinor, y los elementos de un espacio de espinor son espinores. ^[3] Después de elegir una base ortonormal del espacio euclidiano, se genera una representación del álgebra de Clifford mediante matrices gamma , matrices que satisfacen un conjunto de relaciones canónicas anti-conmutación. Los espinores son los vectores columna sobre los que actúan estas matrices. En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, las matrices de espín de Pauli son un conjunto de matrices gamma, ^{[i] y los}vectores columna complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices son espinores. Sin embargo, la representación matricial particular del álgebra de Clifford, de ahí lo que constituye precisamente un "vector columna" (o espinor), implica la elección de las matrices base y gamma de manera esencial. Como representación del grupo de espín, esta realización de espinores como vectores de columna (complejos ^[j] ) será irreducible si la dimensión es impar, o se descompondrá en un par de los llamados "medio giro" o representaciones de Weyl. si la dimensión es par. ^[k]

Introducción

Una rotación gradual se puede visualizar como una cinta en el espacio. ^{[l] Aquí en el rompecabezas del}truco del cinturón se ilustran dos rotaciones graduales con diferentes clases, una de 360° y otra de 720° . Una solución al enigma es una manipulación continua del cinturón, fijando los extremos, que lo desenrosca. Esto es imposible con la rotación de 360°, pero posible con la rotación de 720°. Una solución, que se muestra en la segunda animación, proporciona una homotopía explícita en el grupo de rotación entre la rotación de 720° y la rotación de identidad de 0°.

Un objeto sujeto a cinturones o cuerdas puede girar continuamente sin enredarse. Observe que después de que el cubo completa una rotación de 360°, la espiral se invierte respecto de su configuración inicial. Las correas vuelven a su configuración original después de girar 720° completos.

Un ejemplo más extremo que demuestra que esto funciona con cualquier número de cadenas. En el límite, un trozo de espacio sólido y continuo puede girar en su lugar de esta manera sin romperse ni intersectarse.

Lo que caracteriza a los espinores y los distingue de los vectores geométricos y otros tensores es sutil. Considere aplicar una rotación a las coordenadas de un sistema. Ningún objeto en el sistema se ha movido, solo las coordenadas, por lo que siempre habrá un cambio compensador en esos valores de coordenadas cuando se aplican a cualquier objeto del sistema. Los vectores geométricos, por ejemplo, tienen componentes que sufrirán la misma rotación que las coordenadas. En términos más generales, cualquier tensor asociado con el sistema (por ejemplo, la tensión de algún medio) también tiene descripciones de coordenadas que se ajustan para compensar los cambios en el propio sistema de coordenadas.

Los espinores no aparecen en este nivel de descripción de un sistema físico, cuando sólo nos preocupamos por las propiedades de una única rotación aislada de las coordenadas. Más bien, los espinores aparecen cuando imaginamos que, en lugar de una sola rotación, el sistema de coordenadas gira gradualmente ( continuamente ) entre alguna configuración inicial y final. Para cualquiera de las cantidades familiares e intuitivas ("tensoriales") asociadas con el sistema, la ley de transformación no depende de los detalles precisos de cómo llegaron las coordenadas a su configuración final. Los espinores, por otro lado, están construidos de tal manera que los hace sensibles a cómo llegó allí la rotación gradual de las coordenadas: exhiben dependencia de la trayectoria. Resulta que, para cualquier configuración final de las coordenadas, en realidad hay dos rotaciones graduales (continuas) (" topológicamente ") desiguales del sistema de coordenadas que dan como resultado esta misma configuración. Esta ambigüedad se denomina clase de homotopía de la rotación gradual. El rompecabezas del truco del cinturón (que se muestra) demuestra dos rotaciones diferentes, una en un ángulo de 2 $π$ y la otra en un ángulo de 4 $π$ , que tienen las mismas configuraciones finales pero diferentes clases. Los espinores en realidad exhiben una inversión de signos que realmente depende de esta clase de homotopía. Esto los distingue de los vectores y otros tensores, ninguno de los cuales puede sentir la clase.

Los espinores se pueden exhibir como objetos concretos utilizando una selección de coordenadas cartesianas . En tres dimensiones euclidianas, por ejemplo, los espinores se pueden construir eligiendo matrices de espín de Pauli correspondientes a ( momentos angulares alrededor de) los tres ejes de coordenadas. Se trata de matrices de 2 × 2 con entradas complejas , y los vectores columna complejos de dos componentes sobre los que actúan estas matrices mediante la multiplicación de matrices son los espinores. En este caso, el grupo de espín es isomorfo al grupo de matrices unitarias de 2 × 2 con determinante uno, que naturalmente se encuentra dentro del álgebra matricial. Este grupo actúa por conjugación sobre el espacio vectorial real abarcado por las propias matrices de Pauli, ^[m] realizándolo como un grupo de rotaciones entre ellas, ^[n] pero también actúa sobre los vectores columna (es decir, los espinores).

De manera más general, se puede construir un álgebra de Clifford a partir de cualquier espacio vectorial V equipado con una forma cuadrática (no degenerada) , como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar o el espacio de Minkowski con su métrica de Lorentz estándar. El espacio de espinores es el espacio de vectores columna con componentes. El álgebra de Lie ortogonal (es decir, las "rotaciones" infinitesimales) y el grupo de espín asociado a la forma cuadrática están contenidos (canónicamente) en el álgebra de Clifford, por lo que cada representación del álgebra de Clifford también define una representación del álgebra de Lie y el grupo de espín. . ^[o] Dependiendo de la dimensión y la firma métrica , esta realización de los espinores como vectores de columna puede ser irreducible o puede descomponerse en un par de las llamadas representaciones de "medio giro" o de Weyl. ^[p] Cuando el espacio vectorial V es de cuatro dimensiones, el álgebra se describe mediante las matrices gamma . $2^{\lfloor \dim V/2\rfloor }$

Definición matemática

El espacio de espinores se define formalmente como la representación fundamental del álgebra de Clifford . (Esto puede o no descomponerse en representaciones irreducibles). El espacio de espinores también puede definirse como una representación de espín del álgebra de Lie ortogonal . Estas representaciones de espín también se caracterizan como representaciones proyectivas de dimensión finita del grupo ortogonal especial que no factorizan a través de representaciones lineales. De manera equivalente, un espinor es un elemento de una representación de grupo de dimensión finita del grupo de espín sobre el cual el centro actúa de manera no trivial.

Descripción general

Básicamente, existen dos marcos para ver la noción de espinor: el punto de vista teórico de la representación y el punto de vista geométrico .

Punto de vista teórico de la representación.

Desde el punto de vista de la teoría de la representación , se sabe de antemano que hay algunas representaciones del álgebra de Lie del grupo ortogonal que no pueden formarse mediante las construcciones tensoriales habituales. Estas representaciones faltantes se denominan entonces representaciones de espín y sus constituyentes espinores . Desde este punto de vista, un espinor debe pertenecer a una representación de la doble cobertura del grupo de rotación $\mathbb {R}$ , o más generalmente de una doble cobertura del grupo ortogonal especial generalizado $\mathbb {R}$ en espacios con un firma métrica de $(p, q)$ . Estas cubiertas dobles son grupos de Lie , llamados grupos de espín $Spin(n)$ o $Spin(p, q)$ . Todas las propiedades de los espinores, sus aplicaciones y objetos derivados, se manifiestan primero en el grupo de espines. Las representaciones de las dobles coberturas de estos grupos producen representaciones proyectivas de doble valor de los propios grupos. (Esto significa que la acción de una rotación particular sobre vectores en el espacio cuántico de Hilbert solo se define hasta un signo).

En resumen, dada una representación especificada por los datos donde es un espacio vectorial sobre o y es un homomorfismo , un espinor es un elemento del espacio vectorial . $(V,{\text{Girar}}(p,q),\rho )$ $V$ $K=\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\displaystyle\rho}$ $\rho :{\text{Girar}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)$ $V$

Punto de vista geométrico

Desde un punto de vista geométrico, se pueden construir explícitamente los espinores y luego examinar cómo se comportan bajo la acción de los grupos de Lie relevantes. Este último enfoque tiene la ventaja de proporcionar una descripción concreta y elemental de qué es un espinor. Sin embargo, tal descripción se vuelve difícil de manejar cuando se necesitan propiedades complicadas de los espinores, como las identidades de Fierz .

Álgebras de Clifford

El lenguaje de las álgebras de Clifford ^[5] (a veces llamadas álgebras geométricas ) proporciona una imagen completa de las representaciones de espín de todos los grupos de espines y las diversas relaciones entre esas representaciones, a través de la clasificación de las álgebras de Clifford . Elimina en gran medida la necesidad de construcciones ad hoc .

En detalle, sea V un espacio vectorial complejo de dimensión finita con forma bilineal simétrica no degenerada g . El álgebra de Clifford $Cℓ(V, g)$ es el álgebra generada por V junto con la relación de anticonmutación $xy + yx = 2 g (x, y)$ . Es una versión abstracta del álgebra generada por las matrices gamma o de Pauli . Si V = , con la forma estándar $g$ $($ $x$ $,$ $y$ $) =$ $x$ $T$ $y$ $=$ $x$ $1$ $y$ $1$ $+ ... +$ $x$ $n$ $y$ $n$ denotamos el álgebra de Clifford por Cℓ _n ( ). Dado que, por la elección de una base ortonormal, todo espacio vectorial complejo con forma no degenerada es isomorfo a este ejemplo estándar, se abusa de esta notación de manera más general si $dim$ $($ $V$ $) =$ $n$ . Si $n$ $= 2$ $k$ es par, $Cℓ$ $n$ $($ $)$ es isomorfo como álgebra (de forma no única) al álgebra $Mat(2$ $k$ $,$ $)$ de matrices complejas de $2$ $k$ $\times 2$ $k$ (según el teorema de Artin-Wedderburn y el hecho fácil de demostrar de que el álgebra de Clifford es central simple ). Si $n$ $= 2$ $k$ $+ 1$ es impar, $Cℓ$ $2$ $k$ $+1$ $($ $)$ es isomorfo al álgebra $Mat(2$ $k$ $,$ $) \oplus Mat(2$ $k$ $,$ $)$ de dos copias de las matrices complejas de $2$ $k$ $\times 2$ $k .$ Por lo tanto, en cualquier caso $Cℓ($ $V$ $,$ $g$ $)$ tiene una representación irreducible única (hasta isomorfismo) (también llamada módulo de Clifford simple ), comúnmente denotada por Δ, de dimensión 2 ^[ⁿ^/2] . $Dado$ que el álgebra de Lie $($ $V$ $,$ $g$ $)$ está incrustada como una subálgebra de Lie en $Cℓ($ $V$ $,$ $g$ $)$ equipada con el álgebra de Clifford $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ conmutador como corchete de Lie, el espacio Δ también es una representación del álgebra de Lie de $(V, g) llamada$ representación de espín . Si n es impar, esta representación del álgebra de Lie es irreducible. Si n es par, se divide aún más ^{[ se necesita aclaración ]} en dos representaciones irreducibles $Δ = Δ + \oplus Δ -$ llamadas representaciones de Weyl o de medio giro .

Las representaciones irreducibles sobre los reales en el caso de que V sea un espacio vectorial real son mucho más complejas y se remite al lector al artículo de álgebra de Clifford para obtener más detalles.

Grupos de giro

Los espinores forman un espacio vectorial , generalmente sobre números complejos , equipado con una representación de grupo lineal del grupo de espín que no factoriza a través de una representación del grupo de rotaciones (ver diagrama). El grupo de giro es el grupo de rotaciones que realiza un seguimiento de la clase de homotopía. Los espinores son necesarios para codificar información básica sobre la topología del grupo de rotaciones porque ese grupo no está simplemente conexo , sino que el grupo de espín simplemente conexo es su doble cubierta . Entonces, para cada rotación hay dos elementos del grupo de giro que la representan. Los vectores geométricos y otros tensores no pueden sentir la diferencia entre estos dos elementos, pero producen signos opuestos cuando afectan cualquier espinor bajo la representación. Pensando en los elementos del grupo de espín como clases de homotopía de familias de rotaciones de un parámetro, cada rotación está representada por dos clases de homotopía distintas de caminos hacia la identidad. Si una familia de rotaciones de un solo parámetro se visualiza como una cinta en el espacio, siendo el parámetro de longitud de arco de esa cinta el parámetro (su marco tangente, normal y binormal en realidad da la rotación), entonces estas dos clases distintas de homotopía se visualizan en los dos estados del rompecabezas del truco del cinturón (arriba). El espacio de espinores es un espacio vectorial auxiliar que se puede construir explícitamente en coordenadas, pero en última instancia sólo existe hasta el isomorfismo en el sentido de que no existe una construcción "natural" de ellos que no dependa de elecciones arbitrarias, como los sistemas de coordenadas. Una noción de espinores puede asociarse, como objeto matemático auxiliar, con cualquier espacio vectorial equipado con una forma cuadrática, como el espacio euclidiano con su producto escalar estándar , o el espacio de Minkowski con su métrica de Lorentz . En el último caso, las "rotaciones" incluyen los impulsos de Lorentz , pero por lo demás la teoría es sustancialmente similar. ^{[ cita necesaria ]}

Campos de espinor en física

Se puede considerar que las construcciones dadas anteriormente, en términos del álgebra de Clifford o teoría de la representación, definen los espinores como objetos geométricos en el espacio-tiempo de dimensión cero . Para obtener los espinores de la física, como el espinor de Dirac , se extiende la construcción para obtener una estructura de espín en el espacio-tiempo de 4 dimensiones ( espacio de Minkowski ). Efectivamente, se comienza con la variedad tangente del espacio-tiempo, cada punto del cual es un espacio vectorial de 4 dimensiones con simetría SO(3,1), y luego se construye el grupo de espín en cada punto. Las vecindades de puntos están dotadas de conceptos de suavidad y diferenciabilidad: la construcción estándar es la de un haz de fibras , cuyas fibras son espacios afines que se transforman bajo el grupo de espín. Después de construir el haz de fibras, se pueden considerar ecuaciones diferenciales, como la ecuación de Dirac o la ecuación de Weyl sobre el haz de fibras. Estas ecuaciones (Dirac o Weyl) tienen soluciones que son ondas planas , que tienen simetrías características de las fibras, es decir, que tienen simetrías de espinores, tal como se obtienen a partir de la teoría de representación de espín/álgebra de Clifford (de dimensión cero) descrita anteriormente. Estas soluciones de ondas planas (u otras soluciones) de las ecuaciones diferenciales pueden denominarse propiamente fermiones ; Los fermiones tienen las cualidades algebraicas de los espinores. Por convención general, los términos "fermión" y "espinor" se utilizan a menudo indistintamente en física, como sinónimos entre sí. ^{[ cita necesaria ]}

Parece que todas las partículas fundamentales de la naturaleza que tienen espín 1/2 están descritas por la ecuación de Dirac, con la posible excepción del neutrino . No parece haber ninguna razón a priori por la que esto sería así. Una elección perfectamente válida para los espinores sería la versión no complejada de $\mathbb {R}$ , el espinor de Majorana . ^[6] Tampoco parece haber ninguna prohibición particular de que los espinores de Weyl aparezcan en la naturaleza como partículas fundamentales.

Los espinores de Dirac, Weyl y Majorana están interrelacionados y su relación puede dilucidarse sobre la base del álgebra geométrica real. ^[7] Los espinores de Dirac y Weyl son representaciones complejas, mientras que los espinores de Majorana son representaciones reales.

Los espinores de Weyl son insuficientes para describir partículas masivas, como los electrones , ya que las soluciones de ondas planas de Weyl viajan necesariamente a la velocidad de la luz; para partículas masivas, se necesita la ecuación de Dirac . La construcción inicial del modelo estándar de física de partículas comienza con el electrón y el neutrino como espinores de Weyl sin masa; el mecanismo de Higgs da masa a los electrones; el neutrino clásico permaneció sin masa y, por tanto, era un ejemplo de espinor de Weyl. ^[q] Sin embargo, debido a la oscilación de neutrinos observada , ahora se cree que no son espinores de Weyl, sino quizás espinores de Majorana. ^[8] No se sabe si las partículas fundamentales del espinor de Weyl existen en la naturaleza.

La situación de la física de la materia condensada es diferente: se pueden construir "espacio-tiempos" bidimensionales y tridimensionales con una gran variedad de materiales físicos diferentes, desde semiconductores hasta materiales mucho más exóticos. En 2015, un equipo internacional dirigido por científicos de la Universidad de Princeton anunció que había encontrado una cuasipartícula que se comporta como un fermión de Weyl. ^[9]

Espinores en la teoría de la representación

Una aplicación matemática importante de la construcción de espinores es hacer posible la construcción explícita de representaciones lineales de las álgebras de Lie de los grupos ortogonales especiales y, en consecuencia, representaciones de espinores de los propios grupos. En un nivel más profundo, se ha descubierto que los espinores están en el centro de los enfoques del teorema del índice de Atiyah-Singer y proporcionan construcciones en particular para representaciones de series discretas de grupos semisimples .

Las representaciones de espín de las álgebras de Lie ortogonales especiales se distinguen de las representaciones tensoriales dadas por la construcción de Weyl mediante los pesos . Mientras que los pesos de las representaciones de tensor son combinaciones lineales enteras de las raíces del álgebra de Lie, los de las representaciones de espín son combinaciones lineales semienteras de las mismas. Se pueden encontrar detalles explícitos en el artículo sobre representación de giros .

Intentos de comprensión intuitiva.

El espinor puede describirse, en términos simples, como "vectores de un espacio cuyas transformaciones están relacionadas de manera particular con las rotaciones en el espacio físico". ^[10] Dicho de otra manera:

Los espinores... proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número de dimensiones, teniendo cada espinor componentes donde o . ^[2] $n$ $2^{\nu }$ $n=2\nu +1$ $2\nu$

Se han formulado varias formas de ilustrar analogías cotidianas en términos del truco de las placas , los tangloides y otros ejemplos de entrelazamiento de orientación .

No obstante, el concepto generalmente se considera notoriamente difícil de entender, como lo ilustra la declaración de Michael Atiyah relatada por el biógrafo de Dirac, Graham Farmelo:

Nadie comprende completamente los espinores. Su álgebra se entiende formalmente pero su significado general es misterioso. En cierto sentido describen la "raíz cuadrada" de la geometría y, así como comprender la raíz cuadrada de −1 llevó siglos, lo mismo podría aplicarse a los espinores. ^[11]

Historia

La forma matemática más general de espinores fue descubierta por Élie Cartan en 1913. ^[12] La palabra "espinor" fue acuñada por Paul Ehrenfest en su trabajo sobre física cuántica . ^[13]

Los espinores fueron aplicados por primera vez a la física matemática por Wolfgang Pauli en 1927, cuando introdujo sus matrices de espín . ^[14] Al año siguiente, Paul Dirac descubrió la teoría totalmente relativista del espín del electrón al mostrar la conexión entre los espinores y el grupo de Lorentz . ^[15] En la década de 1930, Dirac, Piet Hein y otros en el Instituto Niels Bohr (entonces conocido como el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Copenhague) crearon juguetes como los Tangloides para enseñar y modelar el cálculo de espinores.

Los espacios de espinor fueron representados como ideales izquierdos de un álgebra matricial en 1930, por Gustave Juvett ^[16] y por Fritz Sauter . ^[17]^[18] Más específicamente, en lugar de representar los espinores como vectores de columna 2D de valores complejos como lo había hecho Pauli, los representaron como matrices 2 × 2 de valores complejos en las que solo los elementos de la columna de la izquierda son distintos de cero. De esta manera, el espacio espinor se convirtió en un ideal mínimo izquierdo en $\mathbb {C}$ . ^[r]^[20]

En 1947, Marcel Riesz construyó espacios de espinores como elementos de un ideal mínimo izquierdo de las álgebras de Clifford . En 1966/1967, David Hestenes ^[21]^[22] reemplazó los espacios de espinor por la subálgebra par Cℓ ⁰_1,3 ( ) del álgebra espacio-temporal Cℓ _1,3 ( ). ^[18]^[20] A partir de la década de 1980, el grupo de física teórica del Birkbeck College en torno a David Bohm y Basil Hiley ha estado desarrollando enfoques algebraicos para la teoría cuántica que se basan en la identificación de Sauter y Riesz de espinores con ideales mínimos de izquierda. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Ejemplos

Algunos ejemplos simples de espinores en dimensiones bajas surgen al considerar las subálgebras de grado par del álgebra de Clifford $\mathbb {R}$ . Esta es un álgebra construida a partir de una base ortonormal de $n = p + q$ vectores mutuamente ortogonales bajo suma y multiplicación, de los cuales p tienen norma +1 y q tienen norma −1, con la regla del producto para los vectores base.

e_{i}e_{j}={\begin{casos}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p +1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}

Dos dimensiones

El álgebra de Clifford Cℓ _2,0 ( ) se construye a partir de una unidad escalar, 1, dos vectores unitarios ortogonales, σ ₁ y σ ₂ , y una unidad pseudoescalar $i$ $=$ $σ$ $1$ $σ$ $2$ . De las definiciones anteriores, es evidente que $($ $σ$ $1$ $)$ $2$ $= ($ $σ$ $2$ $)$ $2$ $= 1$ , y $($ $σ$ $1$ $σ$ $2$ $) ($ $σ$ $1$ $σ$ $2$ $) = -$ $σ$ $1$ $σ$ $1$ $σ$ $2$ $σ$ $2$ $= -1$ . $\mathbb {R}$

La subálgebra par Cℓ ⁰_2,0 ( ), abarcada por elementos básicos de grado par de Cℓ _2,0 ( ), determina el espacio de espinores a través de sus representaciones. Está formado por combinaciones lineales reales de 1 y σ ₁σ ₂ . Como álgebra real, Cℓ ⁰_2,0 ( ) es isomorfa al campo de números complejos . Como resultado, admite una operación de conjugación (análoga a la conjugación compleja ), a veces llamada la inversa de un elemento de Clifford, definida por $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.

(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}.

La acción de un elemento Clifford par $\mathbb {R}$ sobre vectores, considerados como elementos de 1 grado de Cℓ _2,0 ( ), se determina mapeando un vector general $u$ $=$ $a$ $1$ $σ$ $1$ $+$ $a$ $2$ $σ$ $2$ al vector $\mathbb {R}$

\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},

espinor ^[s]

\gamma ^{*}

\gamma

\gamma

\phi

\gamma (\phi )=\gamma \phi .

Una característica importante de esta definición es la distinción entre vectores ordinarios y espinores, que se manifiesta en cómo los elementos pares actúan sobre cada uno de ellos de diferentes maneras. En general, una comprobación rápida de las relaciones de Clifford revela que los elementos pares se conjugan-conmutan con vectores ordinarios:

\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.

Por otro lado, en comparación con su acción sobre los espinores , la acción de sobre los vectores ordinarios aparece como el cuadrado de su acción sobre los espinores. $\gamma (\phi )=\gamma \phi$ $\gamma$

Consideremos, por ejemplo, las implicaciones que esto tiene para las rotaciones de los planos. Girar un vector en un ángulo de θ corresponde a $γ 2 = exp(θ σ 1 σ 2)$ , de modo que la acción correspondiente sobre los espinores es a través de $γ = \pm exp(θ σ 1 σ 2 /2)$ . En general, debido a la ramificación logarítmica , es imposible elegir un signo de forma consistente. Por tanto, la representación de rotaciones planas en espinores tiene dos valores.

En aplicaciones de espinores en dos dimensiones, es común explotar el hecho de que el álgebra de elementos pares (es decir, el anillo de números complejos) es idéntico al espacio de espinores. Entonces, por abuso del lenguaje , los dos a menudo se combinan. Entonces se puede hablar de "la acción de un espinor sobre un vector". En un contexto general, tales declaraciones no tienen sentido. Pero en las dimensiones 2 y 3 (aplicadas, por ejemplo, a los gráficos por ordenador ) tienen sentido.

Ejemplos

El elemento de grado par $\gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})$ corresponde a una rotación vectorial de 90° desde σ ₁ hacia σ ₂ , que se puede comprobar confirmando que ${\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}$ Sin embargo, corresponde a una rotación del espinor de sólo 45°: ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}$
De manera similar, el elemento de grado par $γ = - σ 1 σ 2$ corresponde a una rotación vectorial de 180°: $(-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}$ pero una rotación del espinor de sólo 90°: $(-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}$
Continuando más adelante, el elemento de grado par $γ = -1$ corresponde a una rotación vectorial de 360°: $(-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}$ sino una rotación del espinor de 180°.

Tres dimensiones

El álgebra de Clifford Cℓ _3,0 ( ) se construye a partir de una unidad escalar, 1, tres vectores unitarios ortogonales, σ 1 , σ 2 y σ 3 , los tres bivectores unitarios σ ₁σ ₂ , σ ₂σ ₃ , σ ₃σ ₁ y el pseudoescalar $i$ $=$ $σ$ $1$ $σ$ $2$ $σ$ $3$ . Es sencillo demostrar que $($ $σ$ $1$ $)$ $2$ $= ($ $σ$ $2$ $)$ $2$ $= ($ $σ$ $3$ $)$ $2$ $= 1$ , y $($ $σ$ $1$ $σ$ $2$ $)$ $2$ $= ($ $σ$ $2$ $σ$ $3$ $)$ $2$ $= ($ $σ$ $3$ $σ$ $1$ $)$ $2$ $= ($ $σ$ $1$ $σ$ $2$ $σ$ $3$ $)$ $2$ $= -1$ . $\mathbb {R}$

La subálgebra de elementos pares se compone de dilataciones escalares,

u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,

u'=\gamma u\gamma ^{*},

corresponde a una rotación del vector a través de un ángulo θ alrededor de un eje definido por un vector unitario $v = a 1 σ 1 + a 2 σ 2 + a 3 σ 3$ .

Como caso especial, es fácil ver que, si $v = σ 3$ , esto reproduce la rotación σ ₁σ ₂ considerada en la sección anterior; y que tal rotación deja invariantes los coeficientes de los vectores en la dirección σ _{3 , ya que}

\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.

Los bivectores σ ₂σ ₃ , σ ₃σ ₁ y σ ₁σ ₂ son de hecho los cuaterniones i , j y k de Hamilton , descubiertos en 1843:

{\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}

Con la identificación de los elementos pares con el álgebra de cuaterniones, como en el caso de dos dimensiones, la única representación del álgebra de elementos pares es sobre sí misma. ^[t] Así, los espinores (reales ^[u] ) en tres dimensiones son cuaterniones, y la acción de un elemento de grado par sobre un espinor viene dada por la multiplicación cuaterniónica ordinaria. $\mathbb {H}$

Tenga en cuenta que la expresión (1) para una rotación vectorial a través de un ángulo $θ$ , el ángulo que aparece en γ se redujo a la mitad . Por lo tanto, la rotación del espinor $γ (ψ) = γψ$ (multiplicación cuaterniónica ordinaria) hará girar el espinor $ψ$ en un ángulo la mitad de la medida del ángulo de la rotación del vector correspondiente. Una vez más, el problema de elevar una rotación vectorial a una rotación de espinor tiene dos valores: la expresión (1) con $(180° + θ /2)$ en lugar de θ /2 producirá la misma rotación vectorial, pero el negativo de la rotación del espinor.

La representación espinor/cuaternión de rotaciones en 3D se está volviendo cada vez más frecuente en geometría informática y otras aplicaciones, debido a la notable brevedad de la matriz de espín correspondiente y a la simplicidad con la que se pueden multiplicar para calcular el efecto combinado de rotaciones sucesivas sobre diferentes ejes.

Construcciones explícitas

Un espacio de espinores se puede construir explícitamente con construcciones concretas y abstractas. La equivalencia de estas construcciones es consecuencia de la unicidad de la representación espinorial del álgebra compleja de Clifford. Para ver un ejemplo completo en la dimensión 3, consulte espinores en tres dimensiones .

Espinores componentes

Dado un espacio vectorial V y una forma cuadrática g, una representación matricial explícita del álgebra de Clifford $Cℓ(V, g)$ se puede definir de la siguiente manera. Elija una base ortonormal $e 1 ... e n$ para V ie $g (e μ e ν) = η μν$ donde $η μμ = \pm1$ y $η μν = 0$ para $μ \neq ν$ . Sea $k = ⌊ n /2⌋$ . Fije un conjunto de matrices $2 k \times 2 k$ $γ 1 ... γ n$ tal que $γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μν 1$ (es decir, fije una convención para las matrices gamma ). Entonces la asignación $e μ \to γ μ$ se extiende únicamente a un homomorfismo de álgebra $\mathbb {C}$ enviando el monomio $e μ 1 \cdot\cdot\cdot e μ k$ en el álgebra de Clifford al producto $γ μ 1 \cdot\cdot\cdot γ μ k$ de matrices y extendiéndose linealmente. El espacio sobre el que actúan las matrices gamma es ahora un espacio de espinores. Sin embargo, es necesario construir tales matrices explícitamente. En la dimensión 3, definir las matrices gamma como matrices sigma de Pauli da lugar a los familiares espinores de dos componentes utilizados en la mecánica cuántica no relativista . Del mismo modo, el uso de matrices gamma de Dirac $de 4 \times 4$ da lugar a los espinores de Dirac de 4 componentes utilizados en la teoría cuántica de campos relativista 3+1 dimensional . En general, para definir matrices gamma del tipo requerido, se pueden utilizar las matrices de Weyl-Brauer . $\Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}$

En esta construcción, la representación del álgebra de Clifford $Cℓ(V, g)$ , el álgebra de Lie $so (V, g)$ y el grupo Spin $Spin(V, g)$ dependen de la elección de la base ortonormal y de la elección de las matrices gamma. Esto puede causar confusión sobre las convenciones, pero las invariantes como las trazas son independientes de las elecciones. En particular, todas las cantidades físicamente observables deben ser independientes de tales elecciones. En esta construcción, un espinor se puede representar como un vector de 2 ^k números complejos y se denota con índices de espinor (normalmente α , β , γ ). En la literatura de física, estos índices se utilizan a menudo para indicar espinores incluso cuando se utiliza una construcción abstracta de espinores.

Espinores abstractos

Hay al menos dos formas diferentes, pero esencialmente equivalentes, de definir los espinores de forma abstracta. Un enfoque busca identificar los ideales mínimos para la acción izquierda de $Cℓ(V, g)$ sobre sí mismo. Estos son subespacios del álgebra de Clifford de la forma $Cℓ(V, g) ω$ , admitiendo la acción evidente de $Cℓ(V, g)$ por multiplicación por la izquierda: $c : xω \to cxω$ . Hay dos variaciones sobre este tema: se puede encontrar un elemento primitivo $ω$ que sea un elemento nilpotente del álgebra de Clifford, o uno que sea idempotente . La construcción mediante elementos nilpotentes es más fundamental en el sentido de que a partir de ella se puede producir un idempotente. ^[23] De esta manera, las representaciones de espinores se identifican con ciertos subespacios del propio álgebra de Clifford. El segundo enfoque consiste en construir un espacio vectorial utilizando un subespacio distinguido de $V$ y luego especificar la acción del álgebra de Clifford externamente a ese espacio vectorial.

En cualquier enfoque, la noción fundamental es la de un subespacio isotrópico $W.$ Cada construcción depende de una libertad inicial en la elección de este subespacio. En términos físicos, esto corresponde al hecho de que no existe ningún protocolo de medición que pueda especificar una base del espacio de espín, incluso si se da una base preferida de $V.$

Como arriba, dejamos que $(V, g)$ sea un espacio vectorial complejo de $n$ dimensiones equipado con una forma bilineal no degenerada. Si $V$ es un espacio vectorial real, entonces reemplazamos $V$ por su complejización y dejamos $que g$ denote la forma bilineal inducida en . Sea $W$ un subespacio isotrópico máximo, es decir, un subespacio máximo de $V$ tal que $g$ $|$ $W$ $= 0$ . Si $n$ $= 2$ $k$ es par, entonces sea $W$ $'$ un subespacio isotrópico complementario de $W$ . Si $n$ $= 2$ $k$ $+ 1$ es impar, sea $W$ $'$ un subespacio isotrópico máximo con $W$ $\cap$ $W$ $'$ $= 0$ , y sea $U$ el complemento ortogonal de $W$ $\oplus$ $W$ $'$ . Tanto en el caso de dimensión par como en el de dimensión impar, $W$ y $W$ $'$ tienen dimensión $k$ . En el caso de dimensión impar, $U$ es unidimensional, abarcado por un vector unitario $u$ . $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

Ideales mínimos

Dado que W ′ es isotrópico, la multiplicación de elementos de W ′ dentro de $Cℓ(V, g)$ es sesgada . Por lo tanto, los vectores en W ′ anti-conmutación, y $Cℓ(W', g | W') = Cℓ(W', 0)$ es solo el álgebra exterior Λ ^∗W ′ . En consecuencia, el producto k veces mayor de W ′ consigo mismo, W ′ ^k , es unidimensional. Sea ω un generador de W ′ ^k . En términos de una base $w' 1, ..., w' k$ de en W ′ , una posibilidad es establecer

\omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.

Tenga en cuenta que $ω 2 = 0$ (es decir, ω es nilpotente de orden 2) y, además, $w' ω = 0$ para todo $w' \in W'$ . Los siguientes hechos se pueden probar fácilmente:

Si $n = 2 k$ , entonces el ideal izquierdo $Δ = Cℓ(V, g) ω$ es un ideal izquierdo mínimo. Además, esto se divide en los dos espacios de espín $Δ + = Cℓ par ω$ y $Δ - = Cℓ impar ω$ por restricción a la acción del álgebra par de Clifford.
Si $n = 2 k + 1$ , entonces la acción del vector unitario u sobre el ideal izquierdo $Cℓ(V, g) ω$ descompone el espacio en un par de espacios propios isomórficos irreducibles (ambos denotados por Δ), correspondientes a los respectivos valores propios + 1 y −1.

En detalle, supongamos, por ejemplo, que n es par. Supongamos que I es un ideal izquierdo distinto de cero contenido en $Cℓ(V, g) ω$ . Demostraremos que I debe ser igual a $Cℓ(V, g) ω$ demostrando que contiene un múltiplo escalar distinto de cero de ω .

Fijar una base w _i de W y una base complementaria w _i ′ de W ′ de modo que

w _i w _j ′ + w _j ′ w _i = δ _ij , y

( w _yo ) ² = 0, ( w _yo ′) ² = 0.

Tenga en cuenta que cualquier elemento de I debe tener la forma αω , en virtud de nuestra suposición de que $I \subset Cℓ(V, g) ω$ . Sea $αω \in I$ cualquier elemento de este tipo. Usando la base elegida, podemos escribir

\alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}

a _{i ₁ ... i _p}B _j

\alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .

enαw _i

a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}

w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega

Tenga en cuenta que para n par, este cálculo también muestra que

\Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega

Wespacio de Fock la creaciónWω

Construcción de álgebra exterior

Los cálculos con la construcción ideal mínima sugieren que una representación de espinor también se puede definir directamente usando el álgebra exterior $Λ * W = \oplus j Λ j W$ del subespacio isotrópico W. Sea $Δ = Λ * W$ el álgebra exterior de W considerado únicamente como espacio vectorial. Esta será la representación del espín y sus elementos se denominarán espinores. ^[24]^[25]

La acción del álgebra de Clifford sobre Δ se define primero dando la acción de un elemento de V sobre Δ, y luego mostrando que esta acción respeta la relación de Clifford y por lo tanto se extiende a un homomorfismo del álgebra de Clifford completa en el anillo de endomorfismo Fin( Δ) por la propiedad universal de las álgebras de Clifford . Los detalles difieren ligeramente según si la dimensión de V es par o impar.

Cuando dim( $V$ ) es par, $V = W \oplus W'$ donde W ′ es el complemento isotrópico elegido. Por lo tanto, cualquier $v \in V$ se descompone únicamente como $v = w + w'$ con $w \in W$ y $w' \in W'$ . La acción de $v$ sobre un espinor está dada por

c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)

iw ′el producto interiorw ′VV ^∗εwproducto exteriorproducto Clifford

c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,

c

La representación de espín Δ se descompone aún más en un par de representaciones complejas irreducibles del grupo Spin ^[26] (las representaciones de medio espín, o espinores de Weyl) a través de

\Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.

Cuando dim( V ) es impar, $V = W \oplus U \oplus W'$ , donde U está abarcado por un vector unitario u ortogonal a W . La acción de Clifford c se define como antes en $W \oplus W'$ , mientras que la acción de Clifford de (múltiplos de) u se define por

c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}

Espacios vectoriales hermitianos y espinores

Si el espacio vectorial V tiene una estructura adicional que proporciona una descomposición de su complejización en dos subespacios isotrópicos máximos, entonces la definición de espinores (por cualquiera de los métodos) se vuelve natural.

El ejemplo principal es el caso de que el espacio vectorial real V es un espacio vectorial hermitiano $(V, h)$ , es decir, V está equipado con una estructura compleja J que es una transformación ortogonal con respecto al producto interno g en V. Luego se divide en los espacios propios $\pm$ $i$ de J . Estos espacios propios son isotrópicos para la complejización de g y pueden identificarse con el espacio vectorial complejo $($ $V$ $,$ $J$ $)$ y su conjugado complejo $($ $V$ $, -$ $J$ $)$ . Por lo tanto, para un espacio vectorial hermitiano $($ $V$ $,$ $h$ $)$ , el espacio vectorial (así como su conjugado complejo es un espacio de espinor para el espacio vectorial euclidiano real subyacente. $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V$

Con la acción de Clifford como arriba pero con contracción usando la forma hermitiana, esta construcción da un espacio de espinor en cada punto de una variedad casi hermitiana y es la razón por la cual cada variedad casi compleja (en particular cada variedad simpléctica ) tiene una estructura Spin ^c . Asimismo, todo paquete de vectores complejo en una variedad lleva una estructura de Spin ^c . ^[27]

Descomposición de Clebsch-Gordan

Son posibles varias descomposiciones de Clebsch-Gordan en el producto tensorial de una representación de espín por otra. ^[28] Estas descomposiciones expresan el producto tensorial en términos de las representaciones alternas del grupo ortogonal.

Para el caso real o complejo, las representaciones alternas son

$Γ r = Λ r V$ , la representación del grupo ortogonal en tensores sesgados de rango r .

Además, para los grupos ortogonales reales, hay tres caracteres (representaciones unidimensionales)

σ ₊ : O( p , q ) → {−1, +1} dado por $σ + (R) = -1$ , si R invierte la orientación espacial de V , +1, si R preserva la orientación espacial de V . ( El carácter espacial .)
σ ₋ : O( p , q ) → {−1, +1} dado por $σ - (R) = -1$ , si R invierte la orientación temporal de V , +1, si R preserva la orientación temporal de V . ( El carácter temporal .)
σ = σ ₊σ ₋ . ( El carácter de orientación .)

La descomposición de Clebsch-Gordan permite definir, entre otras cosas:

Una acción de espinores sobre vectores.
Una métrica hermitiana sobre las representaciones complejas de los grupos de espines reales.
Un operador de Dirac en cada representación de giro.

Dimensiones pares

Si $n = 2 k$ es par, entonces el producto tensorial de Δ con la representación contragrediente se descompone como

\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}

αω \otimes βω'

operador estrella de Hodge

Γ p \oplus σ Γ p

Existe una identificación natural de Δ con su representación contragrediente mediante la conjugación en el álgebra de Clifford:

(\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).

Δ \otimes Δ

{\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}

Para las representaciones complejas de las álgebras de Clifford reales, la estructura de realidad asociada en el álgebra de Clifford compleja desciende al espacio de espinores (a través de la construcción explícita en términos de ideales mínimos, por ejemplo). De esta manera, obtenemos el conjugado complejo Δ de la representación Δ, y se cumple el siguiente isomorfismo:

{\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}

En particular, tenga en cuenta que la representación Δ del grupo de espín ortocrónico es una representación unitaria . En general, existen descomposiciones de Clebsch-Gordan.

\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).

En la firma métrica $(p, q)$ , los siguientes isomorfismos son válidos para las representaciones conjugadas de medio giro

Si q es par, entonces y ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}$ ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.$
Si q es impar, entonces y ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}$ ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.$

Usando estos isomorfismos, se pueden deducir descomposiciones análogas para los productos tensoriales de las representaciones de medio espín $Δ \pm \otimes Δ \pm$ .

Dimensiones impares

Si $n = 2 k + 1$ es impar, entonces

\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.

{\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.

\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}

Consecuencias

Hay muchas consecuencias de gran alcance de las descomposiciones de Clebsch-Gordan de los espacios de espinor. Los más fundamentales pertenecen a la teoría del electrón de Dirac, entre cuyos requisitos básicos se encuentran

Una manera de considerar el producto de dos espinores ϕ ψ como un escalar. En términos físicos, un espinor debería determinar una amplitud de probabilidad para el estado cuántico .
Una manera de considerar el producto ψ ϕ como un vector. Ésta es una característica esencial de la teoría de Dirac, que vincula el formalismo del espinor con la geometría del espacio físico.
Una manera de considerar que un espinor actúa sobre un vector, mediante una expresión como ψv ψ . En términos físicos, esto representa una corriente eléctrica de la teoría electromagnética de Maxwell o, más generalmente, una corriente de probabilidad .

Resumen en dimensiones bajas

En 1 dimensión (un ejemplo trivial), la representación de espinor único es formalmente Majorana, una representación unidimensional real que no se transforma.
En 2 dimensiones euclidianas, el espinor de Weyl zurdo y derecho son representaciones complejas de 1 componente , es decir, números complejos que se multiplican por e ^{± iφ /2} bajo una rotación de ángulo φ .
En 3 dimensiones euclidianas, la representación del espinor único es bidimensional y cuaterniónica . La existencia de espinores en 3 dimensiones se deriva del isomorfismo de los grupos $SU(2) ≅ Spin(3)$ que nos permite definir la acción de Spin(3) sobre una columna compleja de 2 componentes (un espinor); los generadores de SU(2) se pueden escribir como matrices de Pauli .
En 4 dimensiones euclidianas, el isomorfismo correspondiente es $Spin(4) ≅ SU(2) \times SU(2)$ . Hay dos espinores de Weyl de 2 componentes cuaterniónicos no equivalentes y cada uno de ellos se transforma bajo uno de los factores SU(2) únicamente.
En 5 dimensiones euclidianas, el isomorfismo relevante es $Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2),$ lo que implica que la representación del espinor único es tetradimensional y cuaterniónica.
En 6 dimensiones euclidianas, el isomorfismo $Spin(6) ≅ SU(4)$ garantiza que hay dos representaciones de Weyl complejas de 4 dimensiones que son conjugadas complejas entre sí.
En 7 dimensiones euclidianas, la representación del espinor único es de 8 dimensiones y real; no existen isomorfismos con un álgebra de Lie de otra serie (A o C) a partir de esta dimensión.
En 8 dimensiones euclidianas, hay dos representaciones reales de 8 dimensiones de Weyl-Majorana que están relacionadas con la representación del vector real de 8 dimensiones mediante una propiedad especial de Spin(8) llamada trialidad .
En $d + 8$ dimensiones, el número de distintas representaciones de espinores irreductibles y su realidad (ya sean reales, pseudorreales o complejas) imita la estructura en d dimensiones, pero sus dimensiones son 16 veces más grandes; esto permite comprender todos los casos restantes. Ver periodicidad de Bott .
En los espacios-tiempos con p direcciones espaciales y q temporales, las dimensiones vistas como dimensiones sobre los números complejos coinciden con el caso del espacio euclidiano $(p + q)$ -dimensional, pero las proyecciones de la realidad imitan la estructura en $| pag - q |$ Dimensiones euclidianas. Por ejemplo, en $3 + 1$ dimensiones hay dos espinores de complejo de Weyl no equivalentes (como en 2 dimensiones) de 2 componentes (como en 4 dimensiones), lo que se deriva del isomorfismo $\mathbb {C}$ .

Ver también

Notas

^ Los espinores en tres dimensiones son puntos de un haz de líneas sobre una cónica en el plano proyectivo. En esta imagen, que está asociada a los espinores de un espacio de firma pseudoeuclidiano tridimensional (1,2), la cónica es una cónica real ordinaria (aquí el círculo), el haz de líneas es el haz de Möbius y el espín El grupo es $\mathbb {R}$ . En la firma euclidiana, el plano proyectivo, la cónica y el haz de líneas están sobre el complejo, y esta imagen es solo una porción real.
^ Los espinores siempre se pueden definir sobre números complejos. Sin embargo, en algunas firmas existen espinores reales. Los detalles se pueden encontrar en la representación de giro .
^ Una definición formal de espinores en este nivel es que el espacio de espinores es una representación lineal del álgebra de Lie de rotaciones infinitesimales de cierto tipo .
^ "Los espinores fueron utilizados por primera vez con ese nombre por los físicos en el campo de la mecánica cuántica. En su forma más general, los espinores fueron descubiertos en 1913 por el autor de este trabajo, en sus investigaciones sobre las representaciones lineales de grupos simples*; Proporcionan una representación lineal del grupo de rotaciones en un espacio con cualquier número de dimensiones, cada espinor tiene componentes donde o ." ^[2] La estrella (*) se refiere a Cartan (1913). $n$ $2^{\nu }$ $n=2\nu +1$ $2\nu$
^ Más precisamente, son los fermiones del espín-1/2 los que describen los espinores, lo cual es cierto tanto en la teoría relativista como en la no relativista. La función de onda del electrón no relativista tiene valores en espinores de 2 componentes que se transforman bajo rotaciones infinitesimales tridimensionales. La ecuación relativista de Dirac para el electrón es una ecuación para espinores de 4 componentes que se transforman bajo transformaciones de Lorentz infinitesimales, para las cuales existe una teoría de espinores sustancialmente similar.
^ Formalmente, el grupo de giro es el grupo de clases de homotopía relativa con puntos finales fijos en el grupo de rotación.
^ Más formalmente, el espacio de espinores se puede definir como una representación ( irreducible ) del grupo de espín que no factoriza una representación del grupo de rotación (en general, el componente conectado de la identidad del grupo ortogonal ).
^ Álgebra geométrica es el nombre del álgebra de Clifford en un entorno aplicado.
^ Las matrices de Pauli corresponden a operadores de momentos angulares alrededor de los tres ejes de coordenadas. Esto las convierte en matrices gamma ligeramente atípicas porque, además de su relación de anticonmutación, también satisfacen relaciones de conmutación.
^ La firma métrica también es relevante si nos referimos a espinores reales. Ver representación de giro .
^ Si la representación se descompone depende de si se consideran representaciones del grupo de espín (o su álgebra de Lie), en cuyo caso se descompone en dimensiones pares pero no impares, o el álgebra de Clifford cuando es al revés. También pueden existir otras estructuras además de esta descomposición; Se tratan criterios precisos en la representación de espín y el álgebra de Clifford .
^ El marco TNB de la cinta define una rotación continua para cada valor del parámetro de longitud del arco.
^ Este es el conjunto de matrices hermitianas complejas sin rastro de 2 × 2 .
^ Excepto por un núcleo correspondiente a los dos elementos diferentes del grupo de giro que van a la misma rotación. ^[4] $\{\pm 1\}$
^ Por tanto, la ambigüedad a la hora de identificar los propios espinores persiste desde el punto de vista de la teoría de grupos y todavía depende de las elecciones.
^ Al álgebra de Clifford se le puede dar una clasificación par/impar a partir de la paridad del grado en las gammas, y el grupo de espín y su álgebra de Lie se encuentran en la parte par. Si aquí por "representación" nos referimos a representaciones del grupo de espines o al álgebra de Clifford afectará la determinación de su reducibilidad. También pueden existir otras estructuras además de esta división; Se tratan criterios precisos en la representación de espín y el álgebra de Clifford .
^ Más precisamente, el electrón comienza como dos espinores de Weyl sin masa, izquierdo y derecho. Al romperse la simetría, ambos ganan masa y se acoplan para formar un espinor de Dirac.
^ Las matrices de dimensión N × N en las que solo los elementos de la columna de la izquierda son distintos de cero forman un ideal de izquierda en el álgebra matricial N × N $\mathbb {C}$ : multiplicar dicha matriz M desde la izquierda por cualquier N × La matriz N A da el resultado AM , que es nuevamente una matriz N × N en la que solo los elementos de la columna de la izquierda son distintos de cero. Además, se puede demostrar que es un ideal mínimo de izquierda . ^[19]
^ Estos son los espinores de Weyl diestros en dos dimensiones. Para los espinores de Weyl zurdos, la representación es mediante $γ (ϕ) = γ ϕ$ . Los espinores de Majorana son la representación real subyacente común a las representaciones de Weyl.
^ Dado que, para un campo sesgado , el núcleo de la representación debe ser trivial. Por tanto, las representaciones desiguales sólo pueden surgir mediante un automorfismo del campo sesgado. En este caso, existen un par de representaciones equivalentes: $γ (ϕ) = γϕ$ , y su conjugado cuaterniónico $γ (ϕ) = ϕ γ$ .
^ Los espinores complejos se obtienen como representaciones del producto tensorial $= Mat$ $2$ $($ $)$ . Estos se consideran con más detalle en espinores en tres dimensiones . $\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

Referencias

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^ Véase también: Pertti Lounesto: Álgebras y espinores de Clifford , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society 286, Cambridge University Press, segunda edición 2001, ISBN 978-0-521-00551-7 , p. 52
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↑ Esta construcción se debe a Cartan (1913). El tratamiento aquí se basa en Chevalley (1954) .
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^ A través del álgebra de Clifford de grado par.
^ Lawson y Michelsohn 1989, Apéndice D.
^ Brauer y Weyl 1935.

Otras lecturas

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