álgebra geométrica

Estructura algebraica diseñada para geometría.

En matemáticas , un álgebra geométrica (también conocida como álgebra de Clifford ) es una extensión del álgebra elemental para trabajar con objetos geométricos como vectores . El álgebra geométrica se construye a partir de dos operaciones fundamentales, la suma y el producto geométrico. La multiplicación de vectores da como resultado objetos de dimensiones superiores llamados multivectores . En comparación con otros formalismos para manipular objetos geométricos, el álgebra geométrica se destaca por apoyar la división de vectores (aunque generalmente no para todos los elementos) y la suma de objetos de diferentes dimensiones.

El producto geométrico fue mencionado brevemente por primera vez por Hermann Grassmann , ^{[1] quien estaba principalmente interesado en desarrollar el} álgebra exterior estrechamente relacionada . En 1878, William Kingdon Clifford amplió enormemente el trabajo de Grassmann para formar lo que ahora se suele llamar álgebras de Clifford en su honor (aunque el propio Clifford decidió llamarlas "álgebras geométricas"). Clifford definió el álgebra de Clifford y su producto como una unificación del álgebra de Grassmann y el álgebra de cuaterniones de Hamilton . Agregar el dual del producto exterior de Grassmann (el "encuentro") permite el uso del álgebra de Grassmann-Cayley , y una versión conforme de esta última junto con un álgebra de Clifford conforme produce un álgebra geométrica conforme (CGA) que proporciona un marco para la clásica geometrías . ^[2] En la práctica, estas y varias operaciones derivadas permiten una correspondencia de elementos, subespacios y operaciones del álgebra con interpretaciones geométricas. Durante varias décadas, las álgebras geométricas fueron algo ignoradas, en gran medida eclipsadas por el cálculo vectorial recientemente desarrollado para describir el electromagnetismo. El término "álgebra geométrica" ​​fue repopularizado en la década de 1960 por Hestenes , quien defendió su importancia para la física relativista. ^[3]

Los escalares y vectores tienen su interpretación habitual y constituyen subespacios distintos de un álgebra geométrica. Los bivectores proporcionan una representación más natural de las cantidades pseudovectoriales del cálculo vectorial normalmente definidas mediante un producto cruzado , como el área orientada, el ángulo de rotación orientado, el par, el momento angular y el campo magnético . Un trivector puede representar un volumen orientado, etc. Se puede utilizar un elemento llamado cuchilla para representar un subespacio y proyecciones ortogonales sobre ese subespacio. Las rotaciones y reflexiones se representan como elementos. A diferencia del álgebra vectorial, el álgebra geométrica se adapta naturalmente a cualquier número de dimensiones y cualquier forma cuadrática, como en la relatividad . ${\displaystyle V}$

Ejemplos de álgebras geométricas aplicadas en física incluyen el álgebra espacio-temporal (y el álgebra menos común del espacio físico ) y el álgebra geométrica conforme . El cálculo geométrico , una extensión de GA que incorpora diferenciación e integración , se puede utilizar para formular otras teorías como el análisis complejo y la geometría diferencial , por ejemplo, utilizando el álgebra de Clifford en lugar de formas diferenciales . El álgebra geométrica ha sido defendida, sobre todo por David Hestenes ^[4] y Chris Doran , ^[5] como el marco matemático preferido para la física . Sus defensores afirman que proporciona descripciones compactas e intuitivas en muchas áreas, incluidas la mecánica clásica y cuántica , la teoría electromagnética y la relatividad . ^[6] GA también ha encontrado uso como herramienta computacional en gráficos por computadora ^[7] y robótica .

Definición y notación

Hay varias formas diferentes de definir un álgebra geométrica. El enfoque original de Hestenes era axiomático, ^[8] "lleno de significado geométrico" y equivalente al álgebra universal ^[a] de Clifford. ^[9] Dado un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo con una forma bilineal simétrica (el producto interno , ^[b] por ejemplo, la métrica euclidiana o lorentziana ) , el álgebra geométrica del espacio cuadrático es el álgebra de Clifford , un elemento del cual se llama multivector. El álgebra de Clifford se define comúnmente como un álgebra cociente del álgebra tensorial , aunque esta definición es abstracta, por lo que la siguiente definición se presenta sin requerir álgebra abstracta . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ ${\displaystyle (V,g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$

Definición

Un álgebra asociativa unital con una forma bilineal simétrica no degenerada es el álgebra de Clifford del espacio cuadrático si ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$ ${\displaystyle g:V\times V\to F}$ ${\displaystyle (V,g)}$

• contiene y como subespacios distintos ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$para ${\displaystyle a\in V}$
• ${\displaystyle V}$genera como un álgebra ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,g)}$no es generado por ningún subespacio adecuado de . ${\displaystyle V}$

Para cubrir formas bilineales simétricas degeneradas, se debe modificar la última condición. ^[c] Se puede demostrar que estas condiciones caracterizan de forma única el producto geométrico.

Para el resto de este artículo, sólo se considerará el caso real . La notación (respectivamente ) se utilizará para indicar un álgebra geométrica para la cual la forma bilineal tiene la firma (respectivamente ). ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q,r)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p,q,r)}$

El producto en álgebra se llama producto geométrico , y el producto en el álgebra exterior contenida se llama producto exterior (frecuentemente llamado producto de cuña y con menos frecuencia producto exterior ^[d] ). Es estándar denotarlos respectivamente mediante yuxtaposición (es decir, suprimiendo cualquier símbolo de multiplicación explícito) y el símbolo . ${\displaystyle \wedge }$

La definición anterior de álgebra geométrica es todavía algo abstracta, por lo que aquí resumimos las propiedades del producto geométrico. Para multivectores : ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {G}}(p,q)}$

• ${\displaystyle AB\in {\mathcal {G}}(p,q)}$( cierre )
• ${\displaystyle 1A=A1=A}$, donde está el elemento identidad (existencia de un elemento identidad ) ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle A(BC)=(AB)C}$( asociatividad )
• ${\displaystyle A(B+C)=AB+AC}$y ( distributividad ) ${\displaystyle (B+C)A=BA+CA}$
• ${\displaystyle a^{2}=g(a,a)1}$para . ${\displaystyle a\in V}$

El producto exterior tiene las mismas propiedades, excepto que la última propiedad anterior se reemplaza por for . ${\displaystyle a\wedge a=0}$ ${\displaystyle a\in V}$

Tenga en cuenta que en la última propiedad anterior, el número real no tiene por qué ser no negativo si no es positivo-definido. Una propiedad importante del producto geométrico es la existencia de elementos que tienen inverso multiplicativo. Para un vector , si entonces existe y es igual a . Un elemento distinto de cero del álgebra no necesariamente tiene un inverso multiplicativo. Por ejemplo, si es un vector tal que , el elemento es a la vez un elemento idempotente no trivial y un divisor cero distinto de cero y, por lo tanto, no tiene inverso. ^[mi] ${\displaystyle g(a,a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{2}\neq 0}$ ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle g(a,a)^{-1}a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}(1+u)}$

Es habitual identificarse con sus imágenes bajo las incrustaciones naturales y . En este artículo se asume esta identificación. En todo momento, los términos escalar y vector se refieren a elementos de y respectivamente (y de sus imágenes bajo esta incorporación). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle V\to {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

Producto geométrico

Dados dos vectores y , si el producto geométrico es ^[13] anticonmutativo; son perpendiculares (arriba) porque , si es conmutativo; son paralelos (abajo) porque . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b=0}$ ${\displaystyle a\wedge b=0}$

Interpretación geométrica de elementos de grado en un álgebra exterior real para (punto con signo), (segmento de línea dirigido o vector), (elemento plano orientado), (volumen orientado). El producto exterior de los vectores se puede visualizar como una forma de cualquier dimensión (p. ej ., paralelotopo , elipsoide ); con magnitud ( hipervolumen ) y orientación definida por aquello en su límite dimensional y de qué lado está el interior. ^{[14] [15]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Para vectores y , podemos escribir el producto geométrico de dos vectores cualesquiera y como la suma de un producto simétrico y un producto antisimétrico: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle ab={\frac {1}{2}}(ab+ba)+{\frac {1}{2}}(ab-ba).}$

Por tanto, podemos definir el producto interno ^[b] de vectores como

${\displaystyle a\cdot b:=g(a,b),}$

de modo que el producto simétrico se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(ab+ba)={\frac {1}{2}}\left((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}\right)=a\cdot b.}$

Por el contrario, está completamente determinado por el álgebra. La parte antisimétrica es el producto exterior de los dos vectores, producto del álgebra exterior contenida : ${\displaystyle g}$

${\displaystyle a\wedge b:={\frac {1}{2}}(ab-ba)=-(b\wedge a).}$

Luego por simple suma:

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$la forma no generalizada o vectorial del producto geométrico.

Los productos interior y exterior están asociados con conceptos familiares del álgebra vectorial estándar. Geométricamente, y son paralelos si su producto geométrico es igual a su producto interior, mientras que y son perpendiculares si su producto geométrico es igual a su producto exterior. En un álgebra geométrica para la cual el cuadrado de cualquier vector distinto de cero es positivo, el producto interno de dos vectores se puede identificar con el producto escalar del álgebra vectorial estándar. El producto exterior de dos vectores se puede identificar con el área con signo encerrada por un paralelogramo cuyos lados son los vectores. El producto cruzado de dos vectores en dimensiones con forma cuadrática definida positiva está estrechamente relacionado con su producto exterior. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 3}$

La mayoría de los casos de álgebras geométricas de interés tienen una forma cuadrática no degenerada. Si la forma cuadrática es completamente degenerada , el producto interno de dos vectores cualesquiera es siempre cero, y el álgebra geométrica es entonces simplemente un álgebra exterior. A menos que se indique lo contrario, este artículo tratará únicamente álgebras geométricas no degeneradas.

El producto exterior se extiende naturalmente como un operador binario bilineal asociativo entre dos elementos cualesquiera del álgebra, satisfaciendo las identidades

${\displaystyle {\begin{aligned}1\wedge a_{i}&=a_{i}\wedge 1=a_{i}\\a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}&={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )a_{\sigma (1)}a_{\sigma (2)}\cdots a_{\sigma (r)},\end{aligned}}}$

donde la suma es sobre todas las permutaciones de los índices, con el signo de la permutación , y son vectores (no elementos generales del álgebra). Dado que cada elemento del álgebra se puede expresar como la suma de productos de esta forma, esto define el producto exterior de cada par de elementos del álgebra. De la definición se deduce que el producto exterior forma un álgebra alterna . ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ ${\displaystyle a_{i}}$

La ecuación de estructura equivalente para el álgebra de Clifford es ^{[16] [17]}

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}=\sum _{i=0}^{[{\frac {n}{2}}]}\sum _{\mu \in {}{\mathcal {C}}}(-1)^{k}Pf(a_{\mu _{1}}\cdot a_{\mu _{2}},\dots ,a_{\mu _{2i-1}}\cdot a_{\mu _{2i}})a_{\mu _{2i+1}}\land \dots \land a_{\mu _{n}}}$

donde es el pfaffiano de y proporciona combinaciones , , de índices divididos en y partes y es la paridad de la combinación . ${\displaystyle Pf(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle {\mathcal {C}}={\binom {n}{2i}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle n-2i}$ ${\displaystyle k}$

El Pfaffiano proporciona una métrica para el álgebra exterior y, como señaló Claude Chevalley, el álgebra de Clifford se reduce al álgebra exterior con una forma cuadrática cero. ^[18] El papel que desempeña el pfaffiano puede entenderse desde un punto de vista geométrico desarrollando el álgebra de Clifford a partir de simples . ^[19] Esta derivación proporciona una mejor conexión entre el triángulo de Pascal y los simples porque proporciona una interpretación de la primera columna de unos.

Cuchillas, grados y base canónica.

Un multivector que es el producto exterior de vectores linealmente independientes se llama pala y se dice que es de grado . ^[f] Un multivector que es la suma de palas de grado se llama multivector (homogéneo) de grado . De los axiomas, con cierre, todo multivector del álgebra geométrica es una suma de palas. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Considere un conjunto de vectores linealmente independientes que abarcan un subespacio -dimensional del espacio vectorial. Con estos, podemos definir una matriz simétrica real (de la misma manera que una matriz de Gramian ) ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{r}\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{ij}=a_{i}\cdot a_{j}}$

Según el teorema espectral , se puede diagonalizar a una matriz diagonal mediante una matriz ortogonal mediante ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {O} }$

${\displaystyle \sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {A} ]_{kl}[\mathbf {O} ^{\mathrm {T} }]_{lj}=\sum _{k,l}[\mathbf {O} ]_{ik}[\mathbf {O} ]_{jl}[\mathbf {A} ]_{kl}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$

Definir un nuevo conjunto de vectores , conocidos como vectores de base ortogonal, que serán aquellos transformados por la matriz ortogonal: ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$

${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{ij}a_{j}}$

Dado que las transformaciones ortogonales preservan los productos internos, se deduce que y por tanto son perpendiculares. En otras palabras, el producto geométrico de dos vectores distintos está completamente especificado por su producto exterior, o más generalmente ${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=[\mathbf {D} ]_{ij}}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{r}\}}$ ${\displaystyle e_{i}\neq e_{j}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}e_{1}e_{2}\cdots e_{r}&=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{r}\\&=\left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{1j}a_{j}\right)\wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{2j}a_{j}\right)\wedge \cdots \wedge \left(\sum _{j}[\mathbf {O} ]_{rj}a_{j}\right)\\&=(\det \mathbf {O} )a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r}\end{array}}}$

Por lo tanto, cada hoja de grado puede escribirse como el producto exterior de vectores. De manera más general, si se permite un álgebra geométrica degenerada, entonces la matriz ortogonal se reemplaza por una matriz de bloques que es ortogonal en el bloque no degenerado, y la matriz diagonal tiene entradas con valor cero a lo largo de las dimensiones degeneradas. Si los nuevos vectores del subespacio no degenerado se normalizan según ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\frac {1}{\sqrt {|e_{i}\cdot e_{i}|}}}e_{i},}$

entonces estos vectores normalizados deben elevarse al cuadrado o . Según la ley de inercia de Sylvester , el número total de y el número total de s a lo largo de la matriz diagonal es invariante. Por extensión, el número total de estos vectores que cuadran y el número total que cuadran es invariante. (El número total de vectores base que cuadran a cero también es invariante y puede ser distinto de cero si se permite el caso degenerado). Denotamos este álgebra . Por ejemplo, modela el espacio euclidiano tridimensional , el espaciotiempo relativista y un álgebra geométrica conforme de un espacio tridimensional. ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

El conjunto de todos los productos posibles de vectores de base ortogonales con índices en orden creciente, incluido el producto vacío, forma la base de todo el álgebra geométrica (un análogo del teorema PBW ). Por ejemplo, la siguiente es una base para el álgebra geométrica : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle \{1,e_{1},e_{2},e_{3},e_{1}e_{2},e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}e_{3}\}}$

Una base formada de esta manera se llama base canónica para el álgebra geométrica, y cualquier otra base ortogonal producirá otra base canónica. Cada base canónica consta de elementos. Todo multivector del álgebra geométrica se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de la base canónica. Si los elementos de la base canónica son un conjunto de índices, entonces el producto geométrico de dos multivectores cualesquiera es ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\mid i\in S\}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \left(\sum _{i}\alpha _{i}B_{i}\right)\left(\sum _{j}\beta _{j}B_{j}\right)=\sum _{i,j}\alpha _{i}\beta _{j}B_{i}B_{j}.}$

La terminología " -vector" se utiliza a menudo para describir multivectores que contienen elementos de un solo grado. En el espacio de dimensiones superiores, algunos de estos multivectores no son cuchillas (no se pueden factorizar en el producto exterior de los vectores). A modo de ejemplo, no se puede factorizar; Sin embargo, normalmente estos elementos del álgebra no ceden a la interpretación geométrica como objetos, aunque pueden representar cantidades geométricas como rotaciones. Sólo los vectores -, -, - y -son siempre cuchillas en el -espacio. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{1}\wedge e_{2}+e_{3}\wedge e_{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

versor

Un -versor es un multivector que se puede expresar como el producto geométrico de vectores invertibles. ^{[g] [21]} Los cuaterniones unitarios (originalmente llamados versores por Hamilton) pueden identificarse con rotores en el espacio 3D de la misma manera que los rotores 2D reales subsumen números complejos; Para obtener más información, consulte Dorst. ^[22] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Algunos autores utilizan el término "producto versor" para referirse al caso frecuente en el que un operando está "intercalado" entre operadores. Las descripciones de rotaciones y reflexiones, incluidos sus morfismos externos, son ejemplos de este tipo de intercalación. Estos morfismos externos tienen una forma algebraica particularmente simple. ^[h] Específicamente, un mapeo de vectores de la forma

${\displaystyle V\to V:a\mapsto RaR^{-1}}$se extiende al morfismo externo ${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)\to {\mathcal {G}}(V):A\mapsto RAR^{-1}.}$

Dado que tanto los operadores como el operando son versores, existe la posibilidad de ejemplos alternativos, como girar un rotor o reflejar un espinor, siempre que se pueda atribuir algún significado geométrico o físico a tales operaciones.

Según el teorema de Cartan-Dieudonné, tenemos que toda isometría se puede dar como reflexiones en hiperplanos y, dado que las reflexiones compuestas proporcionan rotaciones, tenemos que las transformaciones ortogonales son versoras.

En términos de grupo, para un real, no degenerado , habiendo identificado el grupo como el grupo de todos los elementos invertibles de , Lundholm da una prueba de que el "grupo versor" (el conjunto de versores invertibles) es igual al grupo de Lipschitz ( también conocido como grupo Clifford, aunque Lundholm desaprueba este uso). ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,q)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \{v_{1}v_{2}\cdots v_{k}\in {\mathcal {G}}:v_{i}\in V^{\times }\}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Subgrupos del grupo Lipschitz

Denotamos el grado de involución como y la reversión como . ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Aunque los grupos de Lipschitz (definidos como ) y el grupo versor (definidos como ) tienen definiciones divergentes, son el mismo grupo. Lundholm define los subgrupos , y del grupo Lipschitz. ^[24] ${\displaystyle \{X\in {\mathcal {G}}^{\times }\mid {\hat {X}}VX^{-1}\subseteq V\}}$ ${\displaystyle \textstyle \{\prod _{i=0}^{k}v_{i}\mid v_{i}\in V^{\times },k\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle \operatorname {Pin} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} }$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{+}}$

Múltiples análisis de espinores utilizan GA como representación. ^[25]

Proyección de calificaciones

La estructura del espacio vectorial graduado A se puede establecer en un álgebra geométrica mediante el uso del producto exterior que es inducido naturalmente por el producto geométrico. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Dado que el producto geométrico y el producto exterior son iguales en vectores ortogonales, esta clasificación se puede construir convenientemente utilizando una base ortogonal . ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

Los elementos del álgebra geométrica que son múltiplos escalares son de grado y se llaman escalares . Los elementos que están en el lapso de son de grado y son los vectores ordinarios. Los elementos en el lapso de son de grado y son los bivectores. Esta terminología continúa hasta el último grado de -vectores. Alternativamente, los vectores se denominan pseudoescalares , los vectores se denominan pseudovectores, etc. Muchos de los elementos del álgebra no se clasifican mediante este esquema, ya que son sumas de elementos de diferente grado. Estos elementos se denominan de calidad mixta . La clasificación de multivectores es independiente de la base elegida originalmente. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \{e_{i}e_{j}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$

Esta es una calificación como espacio vectorial, pero no como álgebra. Debido a que el producto de una cuchilla y una cuchilla está contenido en el espacio de las cuchillas pasantes , el álgebra geométrica es un álgebra filtrada . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle r+s}$

Un multivector se puede descomponer con el operador de proyección de grado , que genera la porción de grado de . Como resultado: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{r=0}^{n}\langle A\rangle _{r}}$

Como ejemplo, el producto geométrico de dos vectores desde y y , para distintos de y . ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b=\langle ab\rangle _{0}+\langle ab\rangle _{2}}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{0}=a\cdot b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{2}=a\wedge b}$ ${\displaystyle \langle ab\rangle _{i}=0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

La descomposición de un multivector también se puede dividir en aquellos componentes que son pares y los que son impares: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{+}=\langle A\rangle _{0}+\langle A\rangle _{2}+\langle A\rangle _{4}+\cdots }$

${\displaystyle A^{-}=\langle A\rangle _{1}+\langle A\rangle _{3}+\langle A\rangle _{5}+\cdots }$

Este es el resultado de olvidar la estructura de un espacio vectorial graduado a un espacio vectorial graduado . El producto geométrico respeta esta granulometría más burda. Así, además de ser un espacio vectorial graduado , el álgebra geométrica es un álgebra graduada o superálgebra . ${\displaystyle \mathrm {Z} }$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}$

Si nos limitamos a la parte par, el producto de dos elementos pares también es par. Esto significa que los multivectores pares definen una subálgebra par . La subálgebra par de un álgebra geométrica de dimensiones es isomorfa (sin conservar ni la filtración ni la clasificación) a un álgebra geométrica de dimensiones completa . Los ejemplos incluyen y . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{+}(2,0)\cong {\mathcal {G}}(0,1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}^{+}(1,3)\cong {\mathcal {G}}(3,0)}$

Representación de subespacios

El álgebra geométrica representa subespacios de as palas, por lo que coexisten en la misma álgebra con vectores de . Un subespacio dimensional de se representa tomando una base ortogonal y usando el producto geométrico para formar la hoja . Hay varias hojas que representan ; todos los que representan son múltiplos escalares de . Estas hojas se pueden separar en dos conjuntos: múltiplos positivos de y múltiplos negativos de . Se dice que los múltiplos positivos de tienen la misma orientación que , y los múltiplos negativos la orientación opuesta . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k}\}}$ ${\displaystyle D=b_{1}b_{2}\cdots b_{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Las palas son importantes ya que las operaciones geométricas como proyecciones, rotaciones y reflexiones dependen de la factorabilidad a través del producto exterior que (la clase restringida de) -blades proporciona, pero que (la clase generalizada de) grados- multivectores no lo hacen . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 4}$

unidades pseudoescalares

Los pseudoescalares unitarios son hojas que desempeñan funciones importantes en GA. Una unidad pseudoescalar para un subespacio no degenerado de es una cuchilla que es el producto de los miembros de una base ortonormal para . Se puede demostrar que si y son ambos pseudoescalares unitarios para , entonces y . Si no se elige una base ortonormal para , entonces la incrustación de Plücker proporciona un vector en el álgebra exterior, pero solo hasta la escala. Usando el isomorfismo del espacio vectorial entre el álgebra geométrica y el álgebra exterior, esto da la clase de equivalencia de para todos . La ortonormalidad elimina esta ambigüedad excepto por los signos anteriores. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I'}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle I=\pm I'}$ ${\displaystyle I^{2}=\pm 1}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \alpha I}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$

Supongamos que se forma el álgebra geométrica con el conocido producto interno definido positivo . Dado un plano (subespacio bidimensional) de  , se puede encontrar una base ortonormal que abarque el plano y, por lo tanto, encontrar una unidad pseudoescalar que represente este plano. El producto geométrico de dos vectores cualesquiera en el intervalo de y se encuentra en , es decir, es la suma de un vector y un vector. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(n,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{b_{1},b_{2}\}}$ ${\displaystyle I=b_{1}b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

Por las propiedades del producto geométrico, . El parecido con la unidad imaginaria no es casual: el subespacio es -álgebra isomorfo a los números complejos . De esta manera, se incrusta una copia de los números complejos en el álgebra geométrica para cada subespacio bidimensional en el que la forma cuadrática es definida. ${\displaystyle I^{2}=b_{1}b_{2}b_{1}b_{2}=-b_{1}b_{2}b_{2}b_{1}=-1}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+\alpha _{1}I\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

A veces es posible identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Estas unidades surgen de una de las muchas cantidades del álgebra real que cuadran con , y tienen significado geométrico debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios. ${\displaystyle -1}$

En , ocurre otro caso familiar. Dada una base canónica que consta de vectores ortonormales de , el conjunto de todos los vectores está abarcado por ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \{e_{3}e_{2},e_{1}e_{3},e_{2}e_{1}\}.}$

Al etiquetarlos y ( desviándonos momentáneamente de nuestra convención de mayúsculas), el subespacio generado por -vectors y -vectors es exactamente . Este conjunto se considera la subálgebra par de , y además es isomorfo como un álgebra de los cuaterniones , otro sistema algebraico importante. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \{\alpha _{0}+i\alpha _{1}+j\alpha _{2}+k\alpha _{3}\mid \alpha _{i}\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Extensiones de los productos interiores y exteriores.

Es una práctica común extender el producto exterior de vectores a todo el álgebra. Esto se puede hacer mediante el uso del operador de proyección de grado mencionado anteriormente:

${\displaystyle C\wedge D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r+s}}$     (el producto exterior )

Esta generalización es consistente con la definición anterior que involucra antisimetrización. Otra generalización relacionada con el producto exterior es el producto del conmutador:

${\displaystyle C\times D:={\tfrac {1}{2}}(CD-DC)}$     (el producto del conmutador )

El producto regresivo es el dual del producto exterior (correspondientemente a "encontrarse" y "unirse" en este contexto). ^[i] La especificación dual de elementos permite, para palas y , la intersección (o encuentro) donde se debe tomar la dualidad en relación con una pala que contiene tanto y (siendo la unión la pala más pequeña). ^[27] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle C\vee D:=((CI^{-1})\wedge (DI^{-1}))I}$

con la unidad pseudoescalar del álgebra. El producto regresivo, al igual que el producto exterior, es asociativo. ^[28] ${\displaystyle I}$

El producto interno de los vectores también se puede generalizar, pero en más de una forma no equivalente. El artículo (Dorst 2002) ofrece un tratamiento completo de varios productos internos diferentes desarrollados para álgebras geométricas y sus interrelaciones, y la notación se toma de allí. Muchos autores utilizan el mismo símbolo que para el producto interno de los vectores para la extensión elegida (por ejemplo, Hestenes y Perwass). No ha surgido ninguna notación consistente.

Entre estas varias generalizaciones diferentes del producto interno en vectores se encuentran:

${\displaystyle C\;\rfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{s-r}}$   (la contracción izquierda )

${\displaystyle C\;\lfloor \;D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{r-s}}$   (la contracción correcta )

${\displaystyle C*D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{0}}$   (el producto escalar )

${\displaystyle C\bullet D:=\sum _{r,s}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{|s-r|}}$   (el producto "punto (gordo)") ^[j]

Dorst (2002) defiende el uso de contracciones con preferencia al producto interno de Hestenes; son algebraicamente más regulares y tienen interpretaciones geométricas más limpias. Varias identidades que incorporan las contracciones son válidas sin restricción de sus entradas. Por ejemplo,

${\displaystyle C\;\rfloor \;D=(C\wedge (DI^{-1}))I}$

${\displaystyle C\;\lfloor \;D=I((I^{-1}C)\wedge D)}$

${\displaystyle (A\wedge B)*C=A*(B\;\rfloor \;C)}$

${\displaystyle C*(B\wedge A)=(C\;\lfloor \;B)*A}$

${\displaystyle A\;\rfloor \;(B\;\rfloor \;C)=(A\wedge B)\;\rfloor \;C}$

${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\lfloor \;C=A\;\rfloor \;(B\;\lfloor \;C).}$

Los beneficios de usar la contracción izquierda como una extensión del producto interno en vectores incluyen que la identidad se extiende a cualquier vector y multivector , y que la operación de proyección se extiende a cualquier hoja y cualquier multivector (con una modificación menor para acomodar valores nulos). , dada a continuación). ${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$ ${\displaystyle aB=a\;\rfloor \;B+a\wedge B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{b}(a)=(a\cdot b^{-1})b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{-1})\;\rfloor \;B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

base dual

Sea una base de , es decir, un conjunto de vectores linealmente independientes que abarcan el espacio vectorial dimensional . La base que es dual es el conjunto de elementos del espacio vectorial dual que forma un sistema biortogonal con esta base, siendo así los elementos denotados que satisfacen ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \{e^{1},\ldots ,e^{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}\cdot e_{j}=\delta ^{i}{}_{j},}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? ${\displaystyle \delta }$

Dada una forma cuadrática no degenerada en , se identifica naturalmente con , y la base dual puede considerarse como elementos de , pero en general no son el mismo conjunto que la base original. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Dado además un GA de , sea ${\displaystyle V}$

${\displaystyle I=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}}$

Sea el pseudoescalar (que no necesariamente cuadra a ) formado a partir de la base . Los vectores de base dual se pueden construir como ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle e^{i}=(-1)^{i-1}(e_{1}\wedge \cdots \wedge {\check {e}}_{i}\wedge \cdots \wedge e_{n})I^{-1},}$

donde denota que el vector base ésimo se omite del producto. ${\displaystyle {\check {e}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Una base dual también se conoce como base recíproca o marco recíproco.

Un uso importante de una base dual es separar vectores en componentes. Dado un vector , los componentes escalares se pueden definir como ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{i}}$

${\displaystyle a^{i}=a\cdot e^{i}\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en componentes vectoriales como ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a^{i}e_{i}\ .}$

También podemos definir componentes escalares como ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle a_{i}=a\cdot e_{i}\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en componentes vectoriales en términos de la base dual como ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\sum _{i}a_{i}e^{i}\ .}$

Una base dual como la definida anteriormente para el subespacio vectorial de un álgebra geométrica se puede extender para cubrir todo el álgebra. ^[29] Para que sea más compacto, usaremos una sola letra mayúscula para representar un conjunto ordenado de índices vectoriales. es decir, escribiendo

${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{n})\ ,}$

donde , podemos escribir una hoja base como ${\displaystyle j_{1}<j_{2}<\dots <j_{n}}$

${\displaystyle e_{J}=e_{j_{1}}\wedge e_{j_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{j_{n}}\ .}$

La pala recíproca correspondiente tiene los índices en orden inverso:

${\displaystyle e^{J}=e^{j_{n}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{2}}\wedge e^{j_{1}}\ .}$

De manera similar al caso anterior con los vectores, se puede demostrar que

${\displaystyle e^{J}*e_{K}=\delta _{K}^{J}\ ,}$

¿ Dónde está el producto escalar? ${\displaystyle *}$

Con un multivector, podemos definir componentes escalares como ^[30] ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{ij\cdots k}=(e^{k}\wedge \cdots \wedge e^{j}\wedge e^{i})*A\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en hojas componentes como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A^{ij\cdots k}e_{i}\wedge e_{j}\wedge \cdots \wedge e_{k}\ .}$

Alternativamente podemos definir componentes escalares.

${\displaystyle A_{ij\cdots k}=(e_{k}\wedge \cdots \wedge e_{j}\wedge e_{i})*A\ ,}$

en términos de los cuales se pueden separar en hojas componentes como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i<j<\cdots <k}A_{ij\cdots k}e^{i}\wedge e^{j}\wedge \cdots \wedge e^{k}\ .}$

Funciones lineales

Aunque es más fácil trabajar con un versor porque se puede representar directamente en álgebra como un multivector, los versores son un subgrupo de funciones lineales en multivectores, que aún se pueden usar cuando sea necesario. El álgebra geométrica de un espacio vectorial de dimensión está abarcada por una base de elementos. Si un multivector se representa mediante una matriz de columnas reales de coeficientes de una base del álgebra, entonces todas las transformaciones lineales del multivector se pueden expresar como la multiplicación de una matriz por una matriz real. Sin embargo, una transformación lineal tan general permite intercambios arbitrarios entre grados, como una "rotación" de un escalar en un vector, que no tiene una interpretación geométrica evidente. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 1}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$

Es de interés una transformación lineal general de vectores a vectores. Con la restricción natural de preservar el álgebra exterior inducida, el morfismo externo de la transformación lineal es la extensión única ^[k] del versor. Si es una función lineal que asigna vectores a vectores, entonces su morfismo externo es la función que obedece a la regla ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(a_{1}\wedge a_{2}\wedge \cdots \wedge a_{r})=f(a_{1})\wedge f(a_{2})\wedge \cdots \wedge f(a_{r})}$

para una cuchilla, extendida a todo el álgebra mediante linealidad.

Geometrías de modelado

Aunque se ha prestado mucha atención a CGA, cabe señalar que GA no es sólo un álgebra, sino que forma parte de una familia de álgebras con la misma estructura esencial. ^[31]

Modelo de espacio vectorial

La subálgebra par de es isomorfa a los números complejos , como se puede ver escribiendo un vector en términos de sus componentes en una base ortonormal y multiplicando a la izquierda por el vector de base , obteniéndose ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,0)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle Z=e_{1}P=e_{1}(xe_{1}+ye_{2})=x(1)+y(e_{1}e_{2}),}$

donde nos identificamos desde ${\displaystyle i\mapsto e_{1}e_{2}}$

${\displaystyle (e_{1}e_{2})^{2}=e_{1}e_{2}e_{1}e_{2}=-e_{1}e_{1}e_{2}e_{2}=-1.}$

De manera similar, la subálgebra par de con base es isomorfa a los cuaterniones , como puede verse al identificar , y . ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$ ${\displaystyle \{1,e_{2}e_{3},e_{3}e_{1},e_{1}e_{2}\}}$ ${\displaystyle i\mapsto -e_{2}e_{3}}$ ${\displaystyle j\mapsto -e_{3}e_{1}}$ ${\displaystyle k\mapsto -e_{1}e_{2}}$

Toda álgebra asociativa tiene una representación matricial; reemplazando los tres vectores de base cartesiana por las matrices de Pauli se obtiene una representación de : ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}=\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\e_{2}=\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\\e_{3}=\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Poniendo puntos en el " vector de Pauli " (una díada ):

${\displaystyle \sigma =\sigma _{1}e_{1}+\sigma _{2}e_{2}+\sigma _{3}e_{3}}$con vectores arbitrarios y y multiplicando da: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (\sigma \cdot a)(\sigma \cdot b)=a\cdot b+a\wedge b}$(Equivalentemente, mediante inspección, ) ${\displaystyle a\cdot b+i\sigma \cdot (a\times b)}$

Modelo espacio-temporal

En física, las principales aplicaciones son el álgebra geométrica del espacio-tiempo de Minkowski 3+1 , llamada álgebra del espacio-tiempo (STA), ^[3] o, menos comúnmente, interpretada como álgebra del espacio físico (APS). ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

Mientras que en STA, los puntos del espacio-tiempo se representan simplemente mediante vectores, en APS, los puntos del espacio-tiempo -dimensionales se representan mediante paravectores , un vector tridimensional (espacio) más un escalar unidimensional (tiempo). ${\displaystyle (3+1)}$

En álgebra del espacio-tiempo, el tensor de campo electromagnético tiene una representación bivectorial . ^[32] Aquí, es la unidad pseudoescalar (o elemento de volumen de cuatro dimensiones), es el vector unitario en la dirección del tiempo y son los vectores clásicos de campo eléctrico y magnético (con un componente de tiempo cero). Usando las cuatro corrientes , las ecuaciones de Maxwell se convierten en ${\displaystyle {F}=({E}+ic{B})\gamma _{0}}$ ${\displaystyle i=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {J}}$

En cálculo geométrico, la yuxtaposición de vectores como en indica el producto geométrico y se puede descomponer en partes como . Aquí está la derivada del covector en cualquier espacio-tiempo y se reduce a un espacio-tiempo plano. Donde juega un papel en el espacio-tiempo de Minkowski que es sinónimo del papel del espacio-euclidiano y está relacionado con el d'alembertiano por . De hecho, dado un observador representado por un vector temporal que apunta al futuro, tenemos ${\displaystyle DF}$ ${\displaystyle DF=D~\rfloor ~F+D\wedge F}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \bigtriangledown }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \Box =\bigtriangledown ^{2}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\cdot \bigtriangledown ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}}$

${\displaystyle \gamma _{0}\wedge \bigtriangledown =\nabla }$

Los impulsos en este espacio métrico lorentziano tienen la misma expresión que la rotación en el espacio euclidiano, donde es el bivector generado por las direcciones temporal y espacial involucradas, mientras que en el caso euclidiano es el bivector generado por las dos direcciones espaciales, fortaleciendo la "analogía". "hasta casi la identidad. ${\displaystyle e^{\beta }}$ ${\displaystyle {\beta }}$

Las matrices de Dirac son una representación de , mostrando la equivalencia con las representaciones matriciales utilizadas por los físicos. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3)}$

Modelos homogéneos

Los modelos homogéneos generalmente se refieren a una representación proyectiva en la que los elementos de los subespacios unidimensionales de un espacio vectorial representan puntos de una geometría.

En un álgebra geométrica de un espacio de dimensiones, los rotores representan un conjunto de transformaciones con grados de libertad, correspondientes a rotaciones (por ejemplo, cuándo y cuándo ). El álgebra geométrica se utiliza a menudo para modelar un espacio proyectivo , es decir, como modelo homogéneo : un punto, una recta, un plano, etc. se representa mediante una clase de equivalencia de elementos del álgebra que se diferencian por un factor escalar invertible. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n(n-1)/2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle n=4}$

Los rotores en un espacio de dimensión tienen grados de libertad, los mismos que el número de grados de libertad en las rotaciones y traslaciones combinadas para un espacio de dimensión. ${\displaystyle n+1}$ $n(n-1)/2+n$ ${\displaystyle n}$

Este es el caso del Álgebra Geométrica Proyectiva (PGA), que se utiliza ^{[33] [34] [35]} para representar isometrías euclidianas en geometría euclidiana (cubriendo así la gran mayoría de las aplicaciones de ingeniería de la geometría). En este modelo, se añade una dimensión degenerada a las tres dimensiones euclidianas para formar el álgebra . Con una adecuada identificación de subespacios para representar puntos, rectas y planos, los versores de esta álgebra representan todas las isometrías euclidianas propias, que son siempre movimientos de tornillo en un espacio tridimensional, junto con todas las isometrías euclidianas impropias, que incluyen reflexiones, reflexiones de rotor, transflexiones. y reflexiones puntuales. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$

PGA se combina  con un operador dual para obtener fórmulas de encuentro, unión, distancia y ángulo. Dependiendo del autor, ^{[36] [37]} esto podría significar la estrella de Hodge o el dual proyectivo , aunque ambos dan como resultado ecuaciones idénticas, aunque con notación diferente. En efecto, el dual cambia los vectores de base que están presentes y ausentes en la expresión de cada término de la representación algebraica. Por ejemplo, en el PGA o espacio tridimensional, el dual de la línea es la línea , porque y son elementos base que no están contenidos en pero sí en . En el PGA del espacio bidimensional, el dual de es , ya que no hay ningún elemento. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0,1)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{03}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{12}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{0}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{3}}$

PGA es un sistema ampliamente utilizado que combina álgebra geométrica con representaciones homogéneas en geometría, pero existen varios otros sistemas similares. El modelo conforme que se analiza a continuación es homogéneo, al igual que el "Álgebra geométrica cónica", ^[38] y consulte Álgebra geométrica basada en planos para una discusión de modelos homogéneos de geometría elíptica e hiperbólica en comparación con la geometría euclidiana derivada de PGA.

modelo conforme

Trabajando dentro de GA, el espacio euclidiano (junto con un punto conforme en el infinito) está incrustado proyectivamente en el CGA mediante la identificación de puntos euclidianos con subespacios 1D en el cono nulo 4D del subespacio vectorial 5D CGA. Esto permite que todas las transformaciones conformes se realicen como rotaciones y reflexiones y es covariante , extendiendo las relaciones de incidencia de la geometría proyectiva a círculos y esferas. ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(4,1)}$

Específicamente, agregamos vectores de base ortogonales y tales que y a la base del espacio vectorial que genera e identifica vectores nulos . ${\displaystyle e_{+}}$ ${\displaystyle e_{-}}$ ${\displaystyle e_{+}^{2}=+1}$ ${\displaystyle e_{-}^{2}=-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$

${\displaystyle n_{\infty }=e_{-}+e_{+}}$como un punto conforme en el infinito (ver Compactificación ) y

${\displaystyle n_{\text{o}}={\tfrac {1}{2}}(e_{-}-e_{+})}$como el punto en el origen, dando

${\displaystyle n_{\infty }\cdot n_{\text{o}}=-1.}$

Este procedimiento tiene algunas similitudes con el procedimiento para trabajar con coordenadas homogéneas en geometría proyectiva y en este caso permite modelar transformaciones euclidianas como transformaciones ortogonales de un subconjunto de . ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{4,1}}$

CGA, un área fluida y de rápido cambio de GA, también se está investigando para aplicaciones en la física relativista.

Tabla de modelos

Tenga en cuenta en esta lista que y se pueden intercambiar y se aplica el mismo nombre; por ejemplo, cuando se producen relativamente pocos cambios, consulte convención de signos . Por ejemplo, y ambos se conocen como álgebra del espacio-tiempo. ^[39] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1,0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}(1,3,0)}$

Interpretación geométrica en el modelo del espacio vectorial.

Proyección y rechazo

En el espacio 3D, un bivector define un subespacio plano 2D (azul claro, se extiende infinitamente en las direcciones indicadas). Cualquier vector en el espacio 3D se puede descomponer en su proyección sobre un plano y su rechazo de este plano. ${\displaystyle a\land b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c_{\Vert }}$ ${\displaystyle c_{\perp }}$

Para cualquier vector y cualquier vector invertible , ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a=amm^{-1}=(a\cdot m+a\wedge m)m^{-1}=a_{\|m}+a_{\perp m},}$

donde la proyección de sobre (o la parte paralela) es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\|m}=(a\cdot m)m^{-1}}$

y el rechazo de from (o la parte ortogonal) es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{\perp m}=a-a_{\|m}=(a\wedge m)m^{-1}.}$

Usando el concepto de una -blade como representación de un subespacio de y cada multivector expresado en última instancia en términos de vectores, esto se generaliza a la proyección de un multivector general sobre cualquier -blade invertible como ^[l] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{-1},}$

definiéndose el rechazo como

${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}^{\perp }(A)=A-{\mathcal {P}}_{B}(A).}$

La proyección y el rechazo se generalizan a palas nulas al sustituir la inversa por la pseudoinversa respecto al producto contractivo. ^[m] El resultado de la proyección coincide en ambos casos para palas no nulas. ^{[46] [47]} Para hojas nulas , se debe usar la definición de la proyección dada aquí con la primera contracción en lugar de la segunda en el pseudoinverso, ^[n] ya que solo entonces el resultado está necesariamente en el subespacio representado por . ^[46] La proyección se generaliza mediante linealidad a multivectores generales . ^[o] La proyección no es lineal y no se generaliza a objetos que no sean palas. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{-1}}$ ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

Reflexión

Las reflexiones simples en un hiperplano se expresan fácilmente en álgebra mediante la conjugación con un solo vector. Estos sirven para generar el conjunto de reflexiones y rotaciones generales del rotor .

Reflexión de un vector a lo largo de un vector . Sólo se niega el componente del paralelo a . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$

La reflexión de un vector a lo largo de un vector , o equivalentemente en el hiperplano ortogonal a , es lo mismo que negar la componente de un vector paralelo a . El resultado de la reflexión será ${\displaystyle c'}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle c'={-c_{\|m}+c_{\perp m}}={-(c\cdot m)m^{-1}+(c\wedge m)m^{-1}}={(-m\cdot c-m\wedge c)m^{-1}}=-mcm^{-1}}$

Esta no es la operación más general que puede considerarse como un reflejo de la dimensión . Una reflexión general puede expresarse como la combinación de cualquier número impar de reflexiones de un solo eje. Por tanto, se puede escribir una reflexión general de un vector. ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\mapsto a'=-MaM^{-1},}$

dónde

${\displaystyle M=pq\cdots r}$y ${\displaystyle M^{-1}=(pq\cdots r)^{-1}=r^{-1}\cdots q^{-1}p^{-1}.}$

Si definimos la reflexión a lo largo de un vector no nulo del producto de vectores como la reflexión de cada vector del producto a lo largo del mismo vector, obtenemos para cualquier producto de un número impar de vectores que, a modo de ejemplo, ${\displaystyle m}$

${\displaystyle (abc)'=a'b'c'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})=-ma(m^{-1}m)b(m^{-1}m)cm^{-1}=-mabcm^{-1}\,}$

y para el producto de un número par de vectores que

${\displaystyle (abcd)'=a'b'c'd'=(-mam^{-1})(-mbm^{-1})(-mcm^{-1})(-mdm^{-1})=mabcdm^{-1}.}$

Usando el concepto de que cada multivector se expresa en última instancia en términos de vectores, se puede escribir la reflexión de un multivector general usando cualquier versor de reflexión. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle A\mapsto M\alpha (A)M^{-1},}$

donde está el automorfismo de la reflexión a través del origen del espacio vectorial ( ) extendido a través de la linealidad a todo el álgebra. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v\mapsto -v}$

Rotaciones

Un rotor que gira vectores en un plano gira vectores a través de un ángulo , es decir, es una rotación de un ángulo pasante . El ángulo entre y es . Interpretaciones similares son válidas para un multivector general en lugar del vector . ^[13] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x\mapsto R_{\theta }x{\tilde {R}}_{\theta }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta /2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

Si tenemos un producto de vectores entonces denotamos lo inverso como ${\displaystyle R=a_{1}a_{2}\cdots a_{r}}$

${\displaystyle {\tilde {R}}=a_{r}\cdots a_{2}a_{1}.}$

Como ejemplo, supongamos que obtenemos ${\displaystyle R=ab}$

${\displaystyle R{\tilde {R}}=abba=ab^{2}a=a^{2}b^{2}=ba^{2}b=baab={\tilde {R}}R.}$

Escalando para que luego ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R{\tilde {R}}=1}$

${\displaystyle (Rv{\tilde {R}})^{2}=Rv^{2}{\tilde {R}}=v^{2}R{\tilde {R}}=v^{2}}$

por lo que deja la longitud sin cambios. También podemos demostrar que ${\displaystyle Rv{\tilde {R}}}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle (Rv_{1}{\tilde {R}})\cdot (Rv_{2}{\tilde {R}})=v_{1}\cdot v_{2}}$

entonces la transformación conserva tanto la longitud como el ángulo. Por tanto, puede identificarse como una rotación o reflexión del rotor; Se llama rotor si se trata de una rotación propia (como lo es si se puede expresar como producto de un número par de vectores) y es un ejemplo de lo que en GA se conoce como versor . ${\displaystyle Rv{\tilde {R}}}$ ${\displaystyle R}$

Existe un método general para rotar un vector que implica la formación de un multivector de la forma que produce una rotación en el plano y con la orientación definida por una pala . ${\displaystyle R=e^{-B\theta /2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle B}$

Los rotores son una generalización de cuaterniones a espacios -dimensionales. ${\displaystyle n}$

Ejemplos y aplicaciones

Hipervolumen de un paralelotopo atravesado por vectores

Para vectores que abarcan un paralelogramo tenemos ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a\wedge b=((a\wedge b)b^{-1})b=a_{\perp b}b}$

con el resultado de que es lineal en el producto de la “altitud” y la “base” del paralelogramo, es decir, su área. ${\displaystyle a\wedge b}$

Interpretaciones similares son válidas para cualquier número de vectores que abarquen un paralelotopo dimensional ; el producto exterior de los vectores , es decir , tiene una magnitud igual al volumen del paralelotopo. Un vector no necesariamente tiene la forma de un paralelotopo; esta es una visualización conveniente. Podría tener cualquier forma, aunque el volumen sea igual al del paralelotopo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Intersección de una recta y un plano.

Una recta L definida por los puntos T y P (que buscamos) y un plano definido por un bivector B que contiene los puntos P y Q.

Podemos definir la recta paramétricamente mediante , donde y son vectores de posición para los puntos P y T y es el vector director de la recta. ${\displaystyle p=t+\alpha \ v}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$

Entonces

${\displaystyle B\wedge (p-q)=0}$y ${\displaystyle B\wedge (t+\alpha v-q)=0}$

entonces

${\displaystyle \alpha ={\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}}$

y

${\displaystyle p=t+\left({\frac {B\wedge (q-t)}{B\wedge v}}\right)v.}$

Sistemas rotativos

Una cantidad de rotación como el par o el momento angular se describe en álgebra geométrica como un bivector. Supongamos una trayectoria circular en un plano arbitrario que contiene vectores ortonormales y está parametrizada por ángulo. ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

${\displaystyle \mathbf {r} =r({\hat {u}}\cos \theta +{\hat {v}}\sin \theta )=r{\hat {u}}(\cos \theta +{\hat {u}}{\hat {v}}\sin \theta )}$

Designando el bivector unitario de este plano como el número imaginario

${\displaystyle {i}={\hat {u}}{\hat {v}}={\hat {u}}\wedge {\hat {v}}}$

${\displaystyle i^{2}=-1}$

este vector de ruta se puede escribir convenientemente en forma exponencial compleja

${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {u}}e^{i\theta }}$

y la derivada con respecto al ángulo es

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}=r{\hat {u}}ie^{i\theta }=\mathbf {r} i.}$

El producto cruzado en relación con el producto exterior. En rojo están el vector unitario normal y el bivector unitario "paralelo".

Por ejemplo, el torque generalmente se define como la magnitud del componente de fuerza perpendicular multiplicado por la distancia, o trabajo por unidad de ángulo. Por tanto, el par, la tasa de cambio de trabajo con respecto al ángulo, debido a una fuerza , es ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \tau ={\frac {dW}{d\theta }}=F\cdot {\frac {dr}{d\theta }}=F\cdot (\mathbf {r} i).}$

Las cantidades rotacionales se representan en cálculo vectorial en tres dimensiones mediante el producto vectorial . Junto con la elección de una forma de volumen orientada , estos pueden relacionarse con el producto exterior con su interpretación geométrica más natural de cantidades tales como bivectores mediante el uso de la relación dual . ${\displaystyle I}$

${\displaystyle a\times b=-I(a\wedge b).}$

A diferencia de la descripción del producto cruzado del par, la descripción del álgebra geométrica no introduce un vector en la dirección normal; un vector que no existe en dos y que no es único en más de tres dimensiones. El bivector unitario describe el plano y la orientación de la rotación, y el sentido de la rotación es relativo al ángulo entre los vectores y . ${\displaystyle \tau =\mathbf {r} \times F}$ ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

cálculo geométrico

El cálculo geométrico extiende el formalismo para incluir la diferenciación y la integración, incluidas la geometría diferencial y las formas diferenciales . ^[48]

Esencialmente, la derivada del vector se define de modo que la versión GA del teorema de Green sea verdadera,

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

y luego uno puede escribir

${\displaystyle \nabla f=\nabla \cdot f+\nabla \wedge f}$

como un producto geométrico, generalizando efectivamente el teorema de Stokes (incluida su versión en forma diferencial).

En 1D, cuando es una curva con puntos finales y , entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \int _{A}dA\,\nabla f=\oint _{\partial A}dx\,f}$

reduce a

${\displaystyle \int _{a}^{b}dx\,\nabla f=\int _{a}^{b}dx\cdot \nabla f=\int _{a}^{b}df=f(b)-f(a)}$

o el teorema fundamental del cálculo integral.

También se desarrollan el concepto de variedad vectorial y la teoría de la integración geométrica (que generaliza las formas diferenciales).

Historia

Antes del siglo XX

Aunque la conexión de la geometría con el álgebra se remonta al menos a los Elementos de Euclides en el siglo III a. C. (ver álgebra geométrica griega ), GA en el sentido utilizado en este artículo no se desarrolló hasta 1844, cuando se utilizó en un Manera sistemática de describir las propiedades geométricas y las transformaciones de un espacio. En ese año, Hermann Grassmann introdujo la idea de un álgebra geométrica en plena generalidad como un cierto cálculo (análogo al cálculo proposicional ) que codificaba toda la información geométrica de un espacio. ^[49] El sistema algebraico de Grassmann podría aplicarse a varios tipos diferentes de espacios, siendo el principal el espacio euclidiano , el espacio afín y el espacio proyectivo . Siguiendo a Grassmann, en 1878 William Kingdon Clifford examinó el sistema algebraico de Grassmann junto con los cuaterniones de William Rowan Hamilton en (Clifford 1878). Desde su punto de vista, los cuaterniones describían ciertas transformaciones (a las que llamó rotores ), mientras que el álgebra de Grassmann describía ciertas propiedades (o Strecken como longitud, área y volumen). Su contribución fue definir un nuevo producto, el producto geométrico  , en un álgebra de Grassmann existente, que comprendía que los cuaterniones vivían dentro de esa álgebra. Posteriormente, Rudolf Lipschitz en 1886 generalizó la interpretación de Clifford de los cuaterniones y los aplicó a la geometría de rotaciones en dimensiones. Posteriormente, estos desarrollos llevarían a otros matemáticos del siglo XX a formalizar y explorar las propiedades del álgebra de Clifford. ${\displaystyle n}$

Sin embargo, otro desarrollo revolucionario del siglo XIX eclipsaría por completo las álgebras geométricas: el análisis vectorial , desarrollado de forma independiente por Josiah Willard Gibbs y Oliver Heaviside . El análisis vectorial fue motivado por los estudios de electromagnetismo de James Clerk Maxwell , y específicamente por la necesidad de expresar y manipular convenientemente ciertas ecuaciones diferenciales . El análisis vectorial tenía cierto atractivo intuitivo comparado con los rigores de las nuevas álgebras. Tanto los físicos como los matemáticos lo adoptaron fácilmente como su kit de herramientas geométricas preferido, particularmente después del influyente libro de texto de 1901 Análisis vectorial de Edwin Bidwell Wilson , luego de las conferencias de Gibbs.

Más detalladamente, ha habido tres enfoques del álgebra geométrica: el análisis cuaterniónico , iniciado por Hamilton en 1843 y geometrizado como rotores por Clifford en 1878; álgebra geométrica, iniciada por Grassmann en 1844; y el análisis vectorial, desarrollado a partir del análisis cuaterniónico a finales del siglo XIX por Gibbs y Heaviside. El legado del análisis cuaterniónico en el análisis vectorial se puede ver en el uso de , , para indicar los vectores base de : se considera como cuaterniones puramente imaginarios. Desde la perspectiva del álgebra geométrica, la subálgebra par del Álgebra del espacio-tiempo es isomorfa al GA del espacio euclidiano 3D y los cuaterniones son isomorfos a la subálgebra par del GA del espacio euclidiano 3D, lo que unifica los tres enfoques. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

Siglo XX y presente

Los avances en el estudio de las álgebras de Clifford avanzaron silenciosamente a lo largo del siglo XX, aunque en gran parte debido al trabajo de algebristas abstractos como Élie Cartan , Hermann Weyl y Claude Chevalley . El enfoque geométrico de las álgebras geométricas ha experimentado varios resurgimientos en el siglo XX. En matemáticas, Álgebra geométrica de Emil Artin ^[50] analiza el álgebra asociada con cada una de una serie de geometrías, incluida la geometría afín , la geometría proyectiva , la geometría simpléctica y la geometría ortogonal . En física, las álgebras geométricas han resurgido como una "nueva" forma de estudiar la mecánica clásica y el electromagnetismo, junto con temas más avanzados como la mecánica cuántica y la teoría de calibre. ^[5] David Hestenes reinterpretó las matrices de Pauli y Dirac como vectores en el espacio ordinario y el espacio-tiempo, respectivamente, y ha sido uno de los principales defensores contemporáneos del uso del álgebra geométrica.

En gráficos por computadora y robótica, se han revivido las álgebras geométricas para representar eficientemente rotaciones y otras transformaciones. Para aplicaciones de GA en robótica ( teoría de tornillos , cinemática y dinámica mediante versores), visión por computadora, control y computación neuronal (aprendizaje geométrico), consulte Bayro (2010).

Ver también

• Comparación de álgebra vectorial y álgebra geométrica.
• Álgebra de Clifford
• Álgebra de Grassmann-Cayley
• Álgebra espacio-temporal
• espinor
• Cuaternio
• Álgebra del espacio físico
• Álgebra geométrica universal

Notas

1. Un álgebra 'universal' es el álgebra más "completa" o menos degenerada que satisface todas las ecuaciones definitorias. En este artículo, por 'álgebra de Clifford' nos referimos al álgebra de Clifford universal.
2. El término producto interno tal como se usa en álgebra geométrica se refiere a la forma bilineal simétrica en el subespacio vectorial y es sinónimo del producto escalar de un espacio vectorial pseudoeuclidiano , no del producto interno en un espacio vectorial normado. Algunos autores pueden extender el significado de producto interno a todo el álgebra, pero hay poco consenso al respecto. Incluso en textos sobre álgebras geométricas, el término no se utiliza universalmente. ${\displaystyle 1}$
3. Puede reemplazarse por la condición de que ^[11] el producto de cualquier conjunto de vectores linealmente independientes no debe estar en o que ^[12] la dimensión del álgebra debe ser . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 2^{\dim V}}$
4. El término producto exterior utilizado en álgebra geométrica entra en conflicto con el significado de producto exterior en otras partes de las matemáticas.
5. Dado , tenemos que , lo que demuestra que es idempotente, y que , lo que demuestra que es un divisor de cero distinto de cero. ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\textstyle ({\tfrac {1}{2}}(1+u))^{2}}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{4}}(1+2u+1)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+u)(1-u)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-uu)}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}(1-1)=0}$
6. Grado es sinónimo de grado de un elemento homogéneo bajo la calificación como un álgebra con el producto exterior (una calificación), y no bajo el producto geométrico. ${\displaystyle \mathrm {Z} }$
7. "revivir y generalizar un poco un término del cálculo de cuaterniones de Hamilton que ha caído en desuso" Hestenes definió un -versor como un multivector que se puede factorizar en un producto de vectores. ^[20] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
8. Sólo los morfismos externos de transformaciones lineales que respetan la forma cuadrática se ajustan a esta descripción; Los morfismos externos no son en general expresables en términos de operaciones algebraicas.
9. [...] la operación del producto externo y la relación de unión tienen esencialmente el mismo significado. El álgebra de Grassmann-Cayley considera la relación de encuentro como su contraparte y proporciona un marco unificador en el que estas dos operaciones tienen igualdad de condiciones [...] El propio Grassmann definió la operación de encuentro como el dual de la operación del producto externo, pero los matemáticos posteriores definieron la Operador de encuentro independientemente del producto externo a través de un proceso llamado barajar , y la operación de encuentro se denomina producto barajado. Se muestra que se trata de una operación antisimétrica que satisface la asociatividad, definiendo un álgebra por derecho propio. Por tanto, el álgebra de Grassmann-Cayley tiene dos estructuras algebraicas simultáneamente: una basada en el producto externo (o unión), la otra basada en el producto aleatorio (o encuentro). De ahí el nombre "álgebra doble", y se muestra que los dos son duales entre sí. ^[26]
10. Esto no debe confundirse con la generalización irregular de Hestenes , donde la notación distintiva proviene de Dorst, Fontijne & Mann (2007), p. 590, §B.1, que señala que los componentes escalares deben manipularse por separado con este producto. ${\displaystyle \textstyle C\bullet _{\text{H}}D:=\sum _{r\neq 0,s\neq 0}\langle \langle C\rangle _{r}\langle D\rangle _{s}\rangle _{\vert s-r\vert }}$
11. La condición que normalmente se agrega para garantizar que el mapa cero sea único. ${\displaystyle {\underline {\mathsf {f}}}(1)=1}$
12. Esta definición sigue a Dorst, Fontijne & Mann (2007) y Perwass (2009): la contracción izquierda utilizada por Dorst reemplaza el producto interno ("punto gordo") que usa Perwass, de acuerdo con la restricción de Perwass de que el grado de no puede exceder el de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
13. Dorst parece simplemente asumir que , mientras que Perwass (2009) define dónde está el conjugado de , equivalente al reverso de hasta un signo. ${\displaystyle B^{+}}$ ${\displaystyle B\;\rfloor \;B^{+}=1}$ ${\displaystyle B^{+}=B^{\dagger }/(B\;\rfloor \;B^{\dagger })}$ ${\displaystyle B^{\dagger }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
14. Es decir, la proyección debe definirse como y no como , aunque las dos son equivalentes para hojas no nulas . ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{B}(A)=(A\;\rfloor \;B^{+})\;\rfloor \;B}$ ${\displaystyle (A\;\rfloor \;B)\;\rfloor \;B^{+}}$ ${\displaystyle B}$
15. Perwass o Dorst aparentemente no consideran esta generalización para todos . ${\displaystyle A}$

Citas

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Referencias y lecturas adicionales

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enlaces externos

• Un estudio de álgebra geométrica y cálculo geométrico Alan Macdonald, Luther College, Iowa.
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• Álgebra Geométrica 2015, Curso de Maestría en Computación Científica, del Dr. Chris Doran (Cambridge).
• Matemáticas para programadores (de juegos): 5 – Métodos multivectoriales. Introducción completa y referencia para programadores, de Ian Bell .
• Escuela de Verano IMPA 2010 Fernandes Oliveira Introducción y diapositivas.
• Publicaciones de ESM Hitzer de la Universidad de Fukui y Japón GA.
• Grupo de Google para GA
• Introducción al álgebra geométrica Introducción a GA, Jaap Suter.
• Wiki curador de recursos de álgebra geométrica, Pablo Bleyer.
• Álgebras geométricas aplicadas en informática e ingeniería 2018 Actas iniciales
• Minievento de álgebra geométrica GAME2020
• Vídeos de AGACSE 2021

Traducciones al inglés de primeros libros y artículos.

• G. Combebiac, "cálculo de tricuaterniones" (Tesis doctoral)
• M. Markic, "Transformantes: un nuevo vehículo matemático. Una síntesis de los tricuaterniones de Combebiac y el sistema geométrico de Grassmann. El cálculo de los cuadricuaterniones"
• C. Burali-Forti, "El método Grassmann en geometría proyectiva" Una recopilación de tres notas sobre la aplicación del álgebra exterior a la geometría proyectiva.
• C. Burali-Forti, "Introducción a la geometría diferencial, siguiendo el método de H. Grassmann" Libro inicial sobre la aplicación del álgebra de Grassmann
• H. Grassmann, "La mecánica según los principios de la teoría de la extensión" Uno de sus artículos sobre las aplicaciones del álgebra exterior.

Grupos de investigación

• Cálculo Geométrico Internacional. Enlaces a grupos de investigación, software y conferencias a nivel mundial.
• Grupo de Álgebra Geométrica de Cambridge. Publicaciones en línea de texto completo y otro material.
• Grupo de la Universidad de Amsterdam
• Investigación y desarrollo de cálculo geométrico (Universidad Estatal de Arizona).
• Archivo de blogs y boletines de GA-Net. Noticias sobre el desarrollo de Álgebra geométrica/Álgebra de Clifford.
• Álgebra geométrica para sistemas de percepción-acción. Grupo de Cibernética Geométrica (CINVESTAV, Campus Guadalajara, México).