Comparación entre el álgebra vectorial y el álgebra geométrica

El álgebra geométrica es una extensión del álgebra vectorial , que proporciona estructuras algebraicas adicionales en espacios vectoriales, con interpretaciones geométricas.

El álgebra vectorial utiliza todas las dimensiones y firmas, al igual que el álgebra geométrica, en particular el espacio-tiempo 3+1 y 2 dimensiones.

Conceptos y operaciones básicas

El álgebra geométrica (AG) es una extensión o complemento del álgebra vectorial (AV). ^[1] Se supone que el lector está familiarizado con los conceptos y operaciones básicas del AV y este artículo se ocupará principalmente de las operaciones en el AG del espacio 3D (este artículo no pretende ser matemáticamente riguroso). En el AG, los vectores normalmente no se escriben en negrita, ya que el significado suele quedar claro en el contexto. ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{3}}$

La diferencia fundamental es que GA proporciona un nuevo producto de vectores llamado "producto geométrico". Los elementos de GA son multivectores graduados : los escalares son grado 0, los vectores habituales son grado 1, los bivectores son grado 2 y el grado más alto (3 en el caso 3D) se denomina tradicionalmente pseudoescalar y se designa como . ${\displaystyle I}$

La forma vectorial 3D no generalizada del producto geométrico es: ^[2]

${\displaystyle ab=a\cdot b+a\wedge b}$

que es la suma del producto escalar (interno) habitual y el producto externo (exterior) (este último está estrechamente relacionado con el producto vectorial y se explicará a continuación).

En VA, es necesario agregar entidades como pseudovectores y pseudoescalares , mientras que en GA el bivector y el pseudovector equivalentes, respectivamente, existen naturalmente como subespacios del álgebra.

Por ejemplo, la aplicación del cálculo vectorial en dos dimensiones, como para calcular el par o el rizo , requiere añadir una tercera dimensión artificial y extender el campo vectorial para que sea constante en esa dimensión, o alternativamente considerarlos como escalares. El par o el rizo es entonces un campo vectorial normal en esta tercera dimensión. Por el contrario, el álgebra geométrica en dos dimensiones los define como un campo pseudoescalar (un bivector), sin requerir una tercera dimensión. De manera similar, el triple producto escalar es ad hoc y, en cambio, se puede expresar de manera uniforme utilizando el producto exterior y el producto geométrico.

Traducciones entre formalismos

A continuación se presentan algunas comparaciones entre las relaciones vectoriales estándar y sus productos exteriores y productos geométricos equivalentes correspondientes. Todos los productos exteriores y geométricos equivalentes aquí son válidos para más de tres dimensiones, y algunos también para dos. En dos dimensiones, el producto vectorial no está definido incluso si lo que describe (como el par) está perfectamente bien definido en un plano sin introducir un vector normal arbitrario fuera del espacio. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

Muchas de estas relaciones sólo requieren la introducción del producto exterior para generalizarse, pero como esto puede no resultar familiar para alguien con sólo conocimientos de álgebra vectorial y cálculo, se dan algunos ejemplos.

Productos transversales y exteriores

El producto vectorial en relación con el producto exterior. En rojo se muestran el vector unitario ortogonal y el bivector unitario "paralelo".

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }$es perpendicular al plano que contiene y . es una representación orientada del mismo plano. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$
${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }$

Tenemos el pseudoescalar (marco ortonormal de mano derecha) y entonces ${\displaystyle I=e_{1}e_{2}e_{3}}$

${\displaystyle e_{1}I=Ie_{1}=e_{2}e_{3}}$devuelve un bivector y

${\displaystyle I(e_{2}\wedge e_{3})=Ie_{2}e_{3}=-e_{1}}$devuelve un vector perpendicular al plano. ${\displaystyle e_{2}\wedge e_{3}}$

Esto produce una definición conveniente para el producto vectorial del álgebra vectorial tradicional:

${\displaystyle {u}\times {v}=-I({u}\wedge {v})}$

(esto es antisimétrico). Es relevante la distinción entre vectores polares y axiales en el álgebra vectorial, que es natural en el álgebra geométrica como la distinción entre vectores y bivectores (elementos de segundo grado).

Aquí hay una unidad pseudoescalar del 3-espacio euclidiano, que establece una dualidad entre los vectores y los bivectores, y se llama así debido a la propiedad esperada ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{1}e_{2}e_{3}=-e_{1}e_{2}e_{1}e_{3}e_{2}e_{3}=e_{1}e_{1}e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2}e_{2}e_{3}=-1}$

La equivalencia del producto vectorial y la expresión del producto exterior anterior se puede confirmar mediante la multiplicación directa de con una expansión determinante del producto exterior ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle -I=-{e_{1}}{e_{2}}{e_{3}}}$

${\displaystyle u\wedge v=\sum _{1\leq i<j\leq 3}(u_{i}v_{j}-v_{i}u_{j}){e_{i}}\wedge {e_{j}}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}(u_{i}v_{j}-v_{i}u_{j}){e_{i}}{e_{j}}}$

Véase también Producto vectorial como producto exterior . En esencia, el producto geométrico de un bivector y el pseudoescalar del espacio euclidiano tridimensional proporciona un método de cálculo del dual de Hodge .

Productos cruzados y conmutadores

Las subálgebras pseudovectoriales / bivectoriales del álgebra geométrica del espacio tridimensional euclidiano forman un espacio vectorial tridimensional . Sean los pseudovectores/bivectores unitarios estándar de la subálgebra , , y , y el producto conmutador anticonmutativo se defina como , donde es el producto geométrico . El producto conmutador es distributivo sobre la suma y lineal , ya que el producto geométrico es distributivo sobre la suma y lineal. ${\displaystyle \mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} }$ ${\displaystyle A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)}$ ${\displaystyle AB}$

De la definición del producto conmutador, , y satisfacen las siguientes igualdades: que implican, por la anticonmutatividad del producto conmutador, que ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {j} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {i} \mathbf {j} -\mathbf {j} \mathbf {i} )={\tfrac {1}{2}}((\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )=\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} =\mathbf {k} }$$ $${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {k} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {j} \mathbf {k} -\mathbf {k} \mathbf {j} )={\tfrac {1}{2}}((\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} -\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(-\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} +\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} )=\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} =\mathbf {i} }$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {i} ={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {k} \mathbf {i} -\mathbf {i} \mathbf {k} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{1}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} -\mathbf {e_{3}} \mathbf {e_{1}} )={\tfrac {1}{2}}(\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} +\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} )=\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}} =\mathbf {j} }$$ $${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k} }$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i} }$$ $${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} }$$

La anticonmutatividad del producto conmutador también implica que $${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =0}$$

Estas igualdades y propiedades son suficientes para determinar el producto conmutador de dos pseudovectores/bivectores cualesquiera y . Como los pseudovectores/bivectores forman un espacio vectorial, cada pseudovector/bivector puede definirse como la suma de tres componentes ortogonales paralelas a los pseudovectores/bivectores de base estándar: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1}\mathbf {i} +A_{2}\mathbf {j} +A_{3}\mathbf {k} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {B} =(B_{1}\mathbf {i} +B_{2}\mathbf {j} +B_{3}\mathbf {k} )}$$

Su producto conmutador se puede expandir usando su propiedad distributiva: que es precisamente el producto vectorial en álgebra vectorial para pseudovectores. ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \times \mathbf {B} &=(A_{1}\mathbf {i} +A_{2}\mathbf {j} +A_{3}\mathbf {k} )\times (B_{1}\mathbf {i} +B_{2}\mathbf {j} +B_{3}\mathbf {k} )\\&=A_{1}B_{1}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +A_{1}B_{2}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +A_{1}B_{3}\mathbf {i} \times \mathbf {k} +A_{2}B_{1}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +A_{2}B_{2}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +A_{2}B_{3}\mathbf {j} \times \mathbf {k} +A_{3}B_{1}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +A_{3}B_{2}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +A_{3}B_{3}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\&=A_{1}B_{2}\mathbf {k} -A_{1}B_{3}\mathbf {j} -A_{2}B_{1}\mathbf {k} +A_{2}B_{3}\mathbf {i} +A_{3}B_{1}\mathbf {j} -A_{3}B_{2}\mathbf {i} =(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2})\mathbf {i} +(A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3})\mathbf {j} +(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1})\mathbf {k} \end{aligned}}}$$

Norma de un vector

Ordinariamente,

${\displaystyle {\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }$

Haciendo uso del producto geométrico y del hecho de que el producto exterior de un vector consigo mismo es cero:

${\displaystyle \mathbf {u} \,\mathbf {u} ={\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}={\mathbf {u} }^{2}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }$

Identidad de Lagrange

En tres dimensiones, el producto de dos longitudes vectoriales se puede expresar en términos de los productos puntual y vectorial.

${\displaystyle {\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} })^{2}+{\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}}$

La generalización correspondiente expresada mediante el producto geométrico es

${\displaystyle {\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} })^{2}-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}}$

Esto se deduce de la expansión del producto geométrico de un par de vectores con su inverso.

${\displaystyle (\mathbf {u} \mathbf {v} )(\mathbf {v} \mathbf {u} )=({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }+{\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} })({\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }-{\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} })}$

Expansión determinante de productos en cruz y en cuña

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\mathbf {e} }_{i}\times {\mathbf {e} }_{j}}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\mathbf {e} }_{i}\wedge {\mathbf {e} }_{j}}}$

Los textos de álgebra lineal a menudo utilizan el determinante para la solución de sistemas lineales mediante la regla de Cramer o para la inversión de matrices.

Un tratamiento alternativo consiste en introducir axiomáticamente el producto de cuña y luego demostrar que se puede utilizar directamente para resolver sistemas lineales. Esto se muestra a continuación y no requiere conocimientos matemáticos sofisticados para comprenderlo.

Es posible entonces definir los determinantes como nada más que los coeficientes del producto de cuña en términos de expansiones de " k -vectores unitarios" ( términos) como los indicados anteriormente. ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i}\wedge {\mathbf {e} }_{j}}$

Un determinante uno por uno es el coeficiente de para un vector 1. ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Un determinante de dos por dos es el coeficiente de para un bivector ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Un determinante de tres por tres es el coeficiente de para un trivector ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

...

Cuando se introduce la solución del sistema lineal a través del producto de cuña, la regla de Cramer se deduce como efecto secundario y no hay necesidad de llegar a los resultados finales con definiciones de menores, matrices, invertibilidad de matrices, adjuntos, cofactores, expansiones de Laplace, teoremas sobre multiplicación de determinantes e intercambios de filas y columnas, etcétera.

Relacionado con la matriz

La inversión de matrices (regla de Cramer) y los determinantes se pueden expresar naturalmente en términos del producto cuña.

El uso del producto cuña en la solución de ecuaciones lineales puede ser bastante útil para diversos cálculos de productos geométricos.

Tradicionalmente, en lugar de utilizar el producto de cuña, la regla de Cramer suele presentarse como un algoritmo genérico que puede utilizarse para resolver ecuaciones lineales de la forma (o equivalentemente para invertir una matriz). Es decir: ${\displaystyle Ax=b}$

${\displaystyle x={\frac {1}{|A|}}\operatorname {adj} (A)b.}$

Este es un resultado teórico útil. Para problemas numéricos, la reducción de filas con pivotes y otros métodos es más estable y eficiente.

Cuando el producto de cuña se combina con el producto de Clifford y se coloca en un contexto geométrico natural, el hecho de que los determinantes se utilicen en la expresión del área de paralelogramos y volúmenes de paralelepípedos (y generalizaciones de dimensiones superiores de los mismos) también resulta un efecto secundario interesante. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$

Como se muestra también a continuación, los resultados como la regla de Cramer también se derivan directamente de la selección de elementos no idénticos del producto de cuña. El resultado es entonces lo suficientemente simple como para que se pueda derivar fácilmente si es necesario en lugar de tener que recordar o buscar una regla.

Ejemplo de dos variables

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=ax+by=c.}$

Pre y post multiplicación por y , ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle (ax+by)\wedge b=(a\wedge b)x=c\wedge b}$

${\displaystyle a\wedge (ax+by)=(a\wedge b)y=a\wedge c}$

Siempre que la solución sea ${\displaystyle a\wedge b\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{a\wedge b}}{\begin{bmatrix}c\wedge b\\a\wedge c\end{bmatrix}}.}$

Para , esta es la regla de Cramer ya que los factores de los productos de cuña ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {R} }^{2}}$ ${\displaystyle {e}_{1}\wedge {e}_{2}}$

${\displaystyle u\wedge v={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}}{e}_{1}\wedge {e}_{2}}$

dividir.

De manera similar, para tres, o N variables, se aplican las mismas ideas.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=d}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {1}{a\wedge b\wedge c}}{\begin{bmatrix}d\wedge b\wedge c\\a\wedge d\wedge c\\a\wedge b\wedge d\end{bmatrix}}}$

Nuevamente, para el caso de tres ecuaciones con tres variables, esta es la regla de Cramer, ya que los factores de todos los productos de cuña se dividen, dejando los determinantes familiares. ${\displaystyle {e}_{1}\wedge {e}_{2}\wedge {e}_{3}}$

Un ejemplo numérico con tres ecuaciones y dos incógnitas: En caso de que haya más ecuaciones que variables y las ecuaciones tengan solución, entonces cada uno de los cocientes del k-vector serán escalares.

Para ilustrarlo aquí se presenta la solución de un ejemplo sencillo con tres ecuaciones y dos incógnitas.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}y={\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}}$

El producto de cuña adecuado resuelve el problema ${\displaystyle (1,1,1)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}x={\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}}$

y un producto de cuña izquierda con soluciones para ${\displaystyle (1,1,0)}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}y={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}\wedge {\begin{bmatrix}1\\1\\2\end{bmatrix}}.}$

Observe que ambas ecuaciones tienen el mismo factor, por lo que solo se puede calcular una vez (si fuera cero indicaría que el sistema de ecuaciones no tiene solución).

La colección de resultados para y produce una forma similar a la regla de Cramer: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{(1,1,0)\wedge (1,1,1)}}{\begin{bmatrix}(1,1,2)\wedge (1,1,1)\\(1,1,0)\wedge (1,1,2)\end{bmatrix}}.}$

Escribiendo , tenemos el resultado: ${\displaystyle {e}_{i}\wedge {e}_{j}={e}_{ij}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{{e}_{13}+{e}_{23}}}{\begin{bmatrix}{-{e}_{13}-{e}_{23}}\\{2{e}_{13}+2{e}_{23}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}.}$

Ecuación de un plano

Para el plano de todos los puntos a través del plano que pasa por tres puntos independientes , , y , la forma normal de la ecuación es ${\displaystyle {\mathbf {r} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{0}}$ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {r} }_{2}}$

${\displaystyle (({\mathbf {r} }_{2}-{\mathbf {r} }_{0})\times ({\mathbf {r} }_{1}-{\mathbf {r} }_{0}))\cdot ({\mathbf {r} }-{\mathbf {r} }_{0})=0.}$

La ecuación del producto de cuña equivalente es

${\displaystyle ({\mathbf {r} }_{2}-{\mathbf {r} }_{0})\wedge ({\mathbf {r} }_{1}-{\mathbf {r} }_{0})\wedge ({\mathbf {r} }-{\mathbf {r} }_{0})=0.}$

Proyección y rechazo

Utilizando el proceso de Gram-Schmidt, un solo vector se puede descomponer en dos componentes con respecto a un vector de referencia, es decir, la proyección sobre un vector unitario en una dirección de referencia y la diferencia entre el vector y esa proyección.

Con , la proyección de sobre es ${\displaystyle {\hat {u}}=u/{\Vert u\Vert }}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\hat {u}}}$

${\displaystyle \mathrm {Proj} _{\hat {u}}\,{v}={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)}$

Ortogonal a ese vector es la diferencia, denominada rechazo,

${\displaystyle v-{\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)={\frac {1}{{\Vert u\Vert }^{2}}}({\Vert u\Vert }^{2}v-u(u\cdot v))}$

El rechazo se puede expresar como un único producto algebraico geométrico de varias maneras diferentes.

${\displaystyle {\frac {u}{{u}^{2}}}(uv-u\cdot v)={\frac {1}{u}}(u\wedge v)={\hat {u}}({\hat {u}}\wedge v)=(v\wedge {\hat {u}}){\hat {u}}}$

Es notable la similitud en la forma entre la proyección y el rechazo. La suma de estos recupera el vector original.

${\displaystyle v={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)+{\hat {u}}({\hat {u}}\wedge v)}$

Aquí la proyección está en su forma vectorial habitual. Es posible una formulación alternativa que coloque la proyección en una forma que difiera de la formulación vectorial habitual.

${\displaystyle v={\frac {1}{u}}({u}\cdot v)+{\frac {1}{u}}({u}\wedge v)=({v}\cdot u){\frac {1}{u}}+(v\wedge u){\frac {1}{u}}}$

Trabajando hacia atrás a partir del resultado, se puede observar que este resultado de descomposición ortogonal puede, de hecho, derivar más directamente de la definición del producto geométrico mismo.

${\displaystyle v={\hat {u}}{\hat {u}}v={\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v+{\hat {u}}\wedge v)}$

Con este enfoque, la consideración geométrica original no es necesariamente obvia, pero es una forma mucho más rápida de llegar al mismo resultado algebraico.

Sin embargo, la sugerencia de que se puede trabajar al revés, junto con el conocimiento de que el producto de cuña se puede utilizar para resolver conjuntos de ecuaciones lineales (ver: [1]), el problema de la descomposición ortogonal se puede plantear directamente,

Sea , donde . Para descartar las porciones de que son colineales con , tome el producto exterior ${\displaystyle v=au+x}$ ${\displaystyle u\cdot x=0}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u\wedge v=u\wedge (au+x)=u\wedge x}$

Aquí se puede emplear el producto geométrico.

${\displaystyle u\wedge v=u\wedge x=ux-u\cdot x=ux}$

Como el producto geométrico es invertible, esto se puede resolver para x :

${\displaystyle x={\frac {1}{u}}(u\wedge v).}$

Las mismas técnicas se pueden aplicar a problemas similares, como el cálculo del componente de un vector en un plano y perpendicular al plano.

Para tres dimensiones, los componentes proyectivos y rechazativos de un vector con respecto a un vector unitario arbitrario distinto de cero, se pueden expresar en términos del producto escalar y vectorial.

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}+{\hat {\mathbf {u} }}\times (\mathbf {v} \times {\hat {\mathbf {u} }}).}$

Para el caso general, el mismo resultado se puede escribir en términos del producto puntual y de cuña y el producto geométrico de este y el vector unitario.

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}+(\mathbf {v} \wedge {\hat {\mathbf {u} }}){\hat {\mathbf {u} }}.}$

También vale la pena señalar que este resultado también se puede expresar mediante la división vectorial por la derecha o por la izquierda, según lo define el producto geométrico:

${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ){\frac {1}{\mathbf {u} }}+(\mathbf {v} \wedge \mathbf {u} ){\frac {1}{\mathbf {u} }}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\mathbf {u} }}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )+{\frac {1}{\mathbf {u} }}(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} ).}$

Al igual que la proyección y el rechazo vectorial, también son posibles análogos de dimensiones superiores de ese cálculo utilizando el producto geométrico.

A modo de ejemplo, se puede calcular la componente de un vector perpendicular a un plano y la proyección de ese vector sobre el plano.

Sea , donde . Como se indicó anteriormente, para descartar las porciones de que son colineales con o , tome el producto de cuña ${\displaystyle w=au+bv+x}$ ${\displaystyle u\cdot x=v\cdot x=0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle w\wedge u\wedge v=(au+bv+x)\wedge u\wedge v=x\wedge u\wedge v.}$

Habiendo realizado este cálculo con una proyección vectorial, se puede suponer que esta cantidad es igual a . También se puede suponer que existe una cantidad similar al producto escalar de un vector y un bivector tal que permite el cálculo del componente de un vector que está en la "dirección de un plano". Ambas suposiciones son correctas y vale la pena validar estos hechos. Sin embargo, si nos adelantamos un poco, este hecho que aún no se ha demostrado permite una solución en forma cerrada del componente vectorial fuera del plano: ${\displaystyle x(u\wedge v)}$

${\displaystyle x=(w\wedge u\wedge v){\frac {1}{u\wedge v}}={\frac {1}{u\wedge v}}(u\wedge v\wedge w).}$

Observe las similitudes entre este resultado de rechazo planar y el resultado de rechazo vectorial. Para calcular el componente de un vector fuera de un plano, tomamos el volumen abarcado por tres vectores (trivector) y "dividimos" el plano.

Independientemente de cualquier uso del producto geométrico, se puede demostrar que este rechazo en términos de la base estándar es

${\displaystyle x={\frac {1}{(A_{u,v})^{2}}}\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\{e}_{i}&{e}_{j}&{e}_{k}\\\end{vmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle (A_{u,v})^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}=-(u\wedge v)^{2}}$

es el área al cuadrado del paralelogramo formado por , y . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

La magnitud (al cuadrado) de es ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\Vert x\Vert }^{2}=x\cdot w={\frac {1}{(A_{u,v})^{2}}}\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}}$

Por lo tanto, el volumen (al cuadrado) del paralelepípedo (área de la base por la altura perpendicular) es

${\displaystyle \sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}}$

Nótese la similitud en la forma con el propio trivector w , u , v.

${\displaystyle \sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k},}$

Lo cual, si tomamos el conjunto de como base para el espacio trivectorial, sugiere que esta es la forma natural de definir la medida de un trivector. En términos generales, la medida de un vector es una longitud, la medida de un bivector es un área y la medida de un trivector es un volumen. ${\displaystyle {e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k}}$

Si un vector se factoriza directamente en términos proyectivos y rechazadores utilizando el producto geométrico , entonces no es necesariamente obvio que el término de rechazo, un producto de vector y bivector sea incluso un vector. La expansión del producto de vector bivector en términos de los vectores de base estándar tiene la siguiente forma ${\displaystyle v={\frac {1}{u}}(u\cdot v+u\wedge v)}$

Dejar ${\displaystyle r={\frac {1}{u}}(u\wedge v)={\frac {u}{u^{2}}}(u\wedge v)={\frac {1}{{\Vert u\Vert }^{2}}}u(u\wedge v)}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle r={\frac {1}{{\Vert {u}\Vert }^{2}}}\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\e_{i}&e_{j}\end{vmatrix}}}$

(un resultado que se puede demostrar más fácilmente directamente desde ). ${\displaystyle r=v-{\hat {u}}({\hat {u}}\cdot v)}$

El término rechazativo es perpendicular a , ya que implica . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\u_{i}&u_{j}\end{vmatrix}}=0}$ ${\displaystyle r\cdot u=0}$

La magnitud de es ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\Vert r\Vert }^{2}=r\cdot v={\frac {1}{{\Vert {u}\Vert }^{2}}}\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}.}$

Entonces, la cantidad

${\displaystyle {\Vert r\Vert }^{2}{\Vert {u}\Vert }^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}}$

es el área al cuadrado del paralelogramo formado por y . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

También es de destacar que el bivector se puede expresar como

${\displaystyle u\wedge v=\sum _{i<j}{{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}e_{i}\wedge e_{j}}.}$

Por lo tanto, es natural, si se considera cada término como un vector base del espacio bivectorial, definir la "longitud" (al cuadrado) de ese bivector como el área (al cuadrado). ${\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}}$

Volviendo a la expresión del producto geométrico de la longitud del rechazo vemos que la longitud del cociente, un vector, es en este caso la "longitud" del bivector dividida por la longitud del divisor. ${\displaystyle {\frac {1}{u}}(u\wedge v)}$

Puede que este no sea un resultado general para la longitud del producto de dos k -vectores , sin embargo es un resultado que puede ayudar a generar cierta intuición sobre el significado de las operaciones algebraicas. Es decir,

Cuando un vector se divide fuera del plano (tramo del paralelogramo) formado a partir de él y otro vector, lo que queda es el componente perpendicular del vector restante, y su longitud es el área plana dividida por la longitud del vector que se dividió.

Área del paralelogramo definido por u y v

Si A es el área del paralelogramo definido por u y v , entonces

${\displaystyle A^{2}={\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2},}$

y

${\displaystyle A^{2}=-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}=\sum _{i<j}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}^{2}.}$

Nótese que este bivector al cuadrado es una multiplicación geométrica; este cálculo puede enunciarse alternativamente como el determinante de Gram de los dos vectores.

Angulo entre dos vectores

${\displaystyle ({\sin \theta })^{2}={\frac {{\Vert \mathbf {u} \times \mathbf {v} \Vert }^{2}}{{\Vert \mathbf {u} \Vert }^{2}{\Vert \mathbf {v} \Vert }^{2}}}}$

${\displaystyle ({\sin \theta })^{2}=-{\frac {(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )^{2}}{{\mathbf {u} }^{2}{\mathbf {v} }^{2}}}}$

Volumen del paralelepípedo formado por tres vectores

En álgebra vectorial, el volumen de un paralelepípedo está dado por la raíz cuadrada de la norma al cuadrado del triple producto escalar : $${\displaystyle V^{2}={\Vert (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} \Vert }^{2}={\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}^{2}}$$ $${\displaystyle V^{2}=-(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )^{2}=-\left(\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\w_{i}&w_{j}&w_{k}\\\end{vmatrix}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)^{2}=\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\\w_{i}&w_{j}&w_{k}\\\end{vmatrix}}^{2}}$$

Producto de un vector y un bivector

Para justificar el resultado de la normal a un plano anterior, se requiere un examen general del producto de un vector y un bivector. Es decir, $${\displaystyle w(u\wedge v)=\sum _{i,j<k}w_{i}{e}_{i}{\begin{vmatrix}u_{j}&u_{k}\\v_{j}&v_{k}\\\end{vmatrix}}{e}_{j}\wedge {e}_{k}}$$

Esto tiene dos partes, la parte vectorial donde o , y las partes trivectoriales donde ningún índice es igual. Después de algunos trucos de suma de índices y términos de agrupación, etc., esto es ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle i=k}$ $${\displaystyle w(u\wedge v)=\sum _{i<j}(w_{i}e_{j}-w_{j}e_{i}){\begin{vmatrix}u_{i}&u_{j}\\v_{i}&v_{j}\end{vmatrix}}+\sum _{i<j<k}{\begin{vmatrix}w_{i}&w_{j}&w_{k}\\u_{i}&u_{j}&u_{k}\\v_{i}&v_{j}&v_{k}\end{vmatrix}}{e}_{i}\wedge {e}_{j}\wedge {e}_{k}}$$

El término trivectorial es . La expansión de da como resultado el mismo término trivectorial (es la parte completamente simétrica), y el término vectorial se niega. Al igual que el producto geométrico de dos vectores, este producto geométrico se puede agrupar en partes simétricas y antisimétricas, una de las cuales es un k-vector puro. En analogía, la parte antisimétrica de este producto se puede llamar un producto escalar generalizado y, en términos generales, es el producto escalar de un "plano" (bivector) y un vector. ${\displaystyle w\wedge u\wedge v}$ ${\displaystyle (u\wedge v)w}$

Las propiedades de este producto escalar generalizado aún quedan por explorar, pero primero aquí hay un resumen de la notación. $${\displaystyle w(u\wedge v)=w\cdot (u\wedge v)+w\wedge u\wedge v}$$ $${\displaystyle (u\wedge v)w=-w\cdot (u\wedge v)+w\wedge u\wedge v}$$ $${\displaystyle w\wedge u\wedge v={\frac {1}{2}}(w(u\wedge v)+(u\wedge v)w)}$$ $${\displaystyle w\cdot (u\wedge v)={\frac {1}{2}}(w(u\wedge v)-(u\wedge v)w)}$$

Sea , donde , y . Expresar y los productos en términos de estos componentes es ${\displaystyle w=x+y}$ ${\displaystyle x=au+bv}$ ${\displaystyle y\cdot u=y\cdot v=0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle u\wedge v}$ $${\displaystyle w(u\wedge v)=x(u\wedge v)+y(u\wedge v)=x\cdot (u\wedge v)+y\cdot (u\wedge v)+y\wedge u\wedge v}$$

Con las condiciones y definiciones anteriores, y alguna manipulación, se puede demostrar que el término , que justifica entonces la solución anterior del problema de la normal a un plano. Dado que el término vectorial del producto bivectorial vectorial, el nombre producto escalar, es cero cuando el vector es perpendicular al plano (bivector), y este producto escalar vectorial bivectorial selecciona solo los componentes que están en el plano, por lo que en analogía con el producto escalar vector-vectorial este nombre en sí mismo se justifica por algo más que el hecho de que este es el término de producto no cuña del producto geométrico vector-bivectorial. ${\displaystyle y\cdot (u\wedge v)=0}$

Derivada de un vector unitario

Se puede demostrar que una derivada de un vector unitario se puede expresar utilizando el producto vectorial

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{\Vert \mathbf {r} \Vert }}\right)={\frac {1}{{\Vert \mathbf {r} \Vert }^{3}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times \mathbf {r} =\left({\hat {\mathbf {r} }}\times {\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)\times {\hat {\mathbf {r} }}}$

La generalización del producto geométrico equivalente es

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{\Vert \mathbf {r} \Vert }}\right)={\frac {1}{{\Vert \mathbf {r} \Vert }^{3}}}\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)={\frac {1}{\mathbf {r} }}\left({\hat {\mathbf {r} }}\wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)}$

Por lo tanto, esta derivada es la componente de en la dirección perpendicular a . En otras palabras, es menos la proyección de ese vector sobre . ${\displaystyle {\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\Vert \mathbf {r} \Vert }}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

Esto tiene sentido intuitivamente (pero una imagen sería de ayuda) ya que un vector unitario está restringido al movimiento circular, y cualquier cambio en un vector unitario debido a un cambio en su vector generador tiene que ser en la dirección del rechazo de de . Ese rechazo tiene que escalarse por 1/|r| para obtener el resultado final. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$

Cuando el objetivo no es comparar con el producto vectorial, también es notable que esta derivada del vector unitario se puede escribir

${\displaystyle {\mathbf {r} }{\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\hat {\mathbf {r} }}\wedge {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}$

Véase también

• Álgebra geométrica
• Bivector

Citas

1. Vold 1993, pág. 1.
2. Gull, Lasenby y Doran 1993, pág. 6.

Referencias y lecturas adicionales

• Vold, Terje G. (1993), "Introducción al álgebra geométrica con una aplicación en la mecánica de cuerpos rígidos" (PDF) , American Journal of Physics , 61 (6): 491, Bibcode :1993AmJPh..61..491V, doi :10.1119/1.17201
• Gull, SF; Lasenby, AN; Doran, C:J:L (1993), Los números imaginarios no son reales: el álgebra geométrica del espacio-tiempo (PDF)