Sistema biortogonal

En matemáticas , un sistema biortogonal es un par de familias indexadas de vectores tales que donde y forman un par de espacios vectoriales topológicos que están en dualidad , es una aplicación bilineal y es el delta de Kronecker . $${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}{\text{ in }}E{\text{ and }}{\tilde {u}}_{i}{\text{ in }}F}$$ $${\displaystyle \left\langle {\tilde {v}}_{i},{\tilde {u}}_{j}\right\rangle =\delta _{i,j},}$$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle }$ ${\displaystyle \delta _{i,j}}$

Un ejemplo es el par de conjuntos de vectores propios respectivamente izquierdo y derecho de una matriz, indexados por el valor propio , si los valores propios son distintos. ^[1]

Un sistema biortogonal en el que y es un sistema ortonormal . ${\displaystyle E=F}$ ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}={\tilde {u}}_{i}}$

Proyección

Relacionado con un sistema biortogonal está la proyección donde su imagen es el tramo lineal de y el núcleo es $${\displaystyle P:=\sum _{i\in I}{\tilde {u}}_{i}\otimes {\tilde {v}}_{i},}$$ ${\displaystyle (u\otimes v)(x):=u\langle v,x\rangle ;}$ ${\displaystyle \left\{{\tilde {u}}_{i}:i\in I\right\},}$ ${\displaystyle \left\{\left\langle {\tilde {v}}_{i},\cdot \right\rangle =0:i\in I\right\}.}$

Construcción

Dado un conjunto de vectores posiblemente no ortogonales y la proyección relacionada es donde es la matriz con entradas ${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{i}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{i}\right)}$ $${\displaystyle P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j},}$$ ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$ ${\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\left\langle v_{i},u_{j}\right\rangle .}$

• ${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(I-P)u_{i},}$y luego es un sistema biortogonal. ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=(I-P)^{*}v_{i}}$

Véase también

• Base dual  – Concepto de álgebra lineal
• Espacio dual  – En matemáticas, espacio vectorial de formas lineales.
• Par doble
• Ortogonalidad  – Diversos significados de los términos
• Ortogonalización

Referencias

1. Bhushan, Datta, Kanti (2008). Álgebra lineal y de matrices, edición 2: CON LA ASISTENCIA DE MATLAB. PHI Learning Pvt. Ltd. pág. 239. ISBN 9788120336186.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )

• Jean Dieudonné, Sobre sistemas biortogonales Michigan Math. J. 2 (1953), núm. 1, 7–20 [1]