Concepto matemático
En matemáticas, un álgebra aleatoria es un álgebra de Hopf con una base correspondiente a palabras de algún conjunto, cuyo producto viene dado por el producto aleatorio X ⧢ Y de dos palabras X , Y : la suma de todas las formas de entrelazarlas. El entrelazado viene dado por la permutación aleatoria riffle .
El álgebra aleatoria en un conjunto finito es el dual graduado del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie libre en el conjunto.
Sobre los números racionales, el álgebra aleatoria es isomorfa al álgebra polinomial en las palabras de Lyndon .
El producto aleatorio ocurre en entornos genéricos en álgebras no conmutativas ; esto se debe a que es capaz de preservar el orden relativo de los factores que se multiplican: la permutación aleatoria . Esto puede contrastarse con la estructura de poder dividido , que resulta apropiada cuando los factores son conmutativos.
Producto aleatorio
El producto aleatorio de palabras de longitud m y n es una suma sobre el( m + n )!/m ! norte !formas de entrelazar las dos palabras, como se muestra en los siguientes ejemplos:
- ab ⧢ xy = abxy + axby + xaby + axyb + xayb + xyab
- aaa ⧢ aa = 10 aaaaa
Puede definirse inductivamente por [1]
- tu ⧢ ε = ε ⧢ tu = tu
- ua ⧢ vb = ( u ⧢ vb ) a + ( ua ⧢ v ) b
donde ε es la palabra vacía , a y b son elementos individuales y u y v son palabras arbitrarias.
El producto aleatorio fue introducido por Eilenberg y Mac Lane (1953). El nombre "producto aleatorio" se refiere al hecho de que el producto puede considerarse como una suma de todas las formas de mezclar dos palabras juntas: esta es la permutación aleatoria . El producto es conmutativo y asociativo . [2]
El producto aleatorio de dos palabras en algún alfabeto a menudo se indica con el símbolo del producto aleatorio ⧢ ( carácter Unicode U+29E2 SHUFFLE PRODUCT , derivado de la letra cirílica ⟨ш⟩ sha ).
Producto de infiltración
Chen, Fox y Lyndon (1958) introdujeron el producto de infiltración estrechamente relacionado . Se define inductivamente en palabras sobre un alfabeto A por
- fa ↑ ga = ( f ↑ ga ) a + ( fa ↑ g ) a + ( f ↑ g ) a
- fa ↑ gb = ( f ↑ gb ) a + ( fa ↑ g ) b
Por ejemplo:
- ab ↑ ab = ab + 2 aab + 2 abb + 4 aabb + 2 abab
- ab ↑ ba = aba + bab + abab + 2 abba + 2 baab + baba
El producto de infiltración también es conmutativo y asociativo. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Lothaire 1997, pag. 101,126
- ^ Lothaire 1997, pag. 126
- ^ Lothaire 1997, pag. 128
- Chen, Kuo-Tsai; Zorro, Ralph H .; Lyndon, Roger C. (1958), "Cálculo diferencial libre. IV. Los grupos de cocientes de la serie central inferior", Annals of Mathematics , Second Series, 68 (1): 81–95, doi :10.2307/1970044, JSTOR 1970044 , SEÑOR 0102539, Zbl 0142.22304
- Eilenberg, Samuel ; Mac Lane, Saunders (1953), "Sobre los grupos de H(Π,n). I", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 58 (1): 55–106, doi :10.2307/1969820, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969820, señor 0056295, Zbl 0050.39304
- Green, JA (1995), Álgebras aleatorias, álgebras de Lie y grupos cuánticos, Textos de Matemática. Serie B, vol. 9, Coimbra: Universidade de Coimbra Departamento de Matemática, MR 1399082
- Hazewinkel, M. (2001) [1994], "Álgebra aleatoria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos. Álgebras de Lie y álgebras de Hopf , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 168, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, doi :10.1090/surv/168, ISBN 978-0-8218-5262-0, SEÑOR 2724822, Zbl 1211.16023
- Lothaire, M. (1997), Combinatoria de palabras , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, vol. 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Alfiler, JE; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovich, J.; Simón, yo; Schützenberger, diputado; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Prólogo de Roger Lyndon (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
- Reutenauer, Christophe (1993), Álgebras de mentira libre, Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie, vol. 7, prensa de la Universidad de Oxford, ISBN 978-0-19-853679-6, SEÑOR 1231799, Zbl 0798.17001
enlaces externos
- Símbolo de producto aleatorio
